高中数学北师大版1第一章直线多边形圆-参赛作品

学业分层测评(九)§3圆与四边形圆内接四边形*托勒密定理(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1.设四边形ABCD为圆内接四边形，现给出四个关系式：①sinA＝sinC，②sinA＋sinC＝0，③cosB＋cosD＝0，④cosB＝cosD.其中恒成立的关系式的个数是() 【解析】因为圆内接四边形的对角互补，故∠A＝180°－∠C，且∠A，∠C均不为0°或180°，故①式恒成立，②式不成立.同样由∠B＝180°－∠D知，③式恒成立.④式只有当∠B＝∠D＝90°时成立.【答案】B2.已知四边形ABCD是圆内接四边形，下列结论中正确的有()①如果∠A＝∠C，则∠A＝90°；②如果∠A＝∠B，则四边形ABCD是等腰梯形；③∠A的外角与∠C的外角互补；④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4个 个个 个【解析】由“圆内接四边形的对角互补”可知：①相等且互补的两角必为直角；②两相等邻角的对角也相等(亦可能有∠A＝∠B＝∠C＝∠D的特例)；③互补两内角的外角也互补；④两组对角之和的份额必须相等(这里1＋3≠2＋4).因此得出①③正确，②④错误.【答案】B3.如图1­3­15，ABCD是⊙O的内接四边形，AH⊥CD，如果∠HAD＝30°，那么∠B等于()图1­3­15° °° °【解析】∵∠HAD＝30°，∠AHD＝90°，∴∠D＝60°，则∠B＝120°.【答案】B4.如图1­3­16，四边形ABCD内接于⊙O，∠DCE＝50°，则∠BOD等于()图1­3­16° °° °【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠DCE＝∠A，∴∠A＝50°，∴∠BOD＝2∠A＝100°.【答案】C5.如图1­3­17，四边形ABCD为圆内接四边形，AC为BD的垂直平分线，∠ACB＝60°，AB＝a，则CD等于()图1­3­17\f(\r(3),3)a \f(\r(6),2)a\f(1,2)a \f(1,3)a【解析】∵AC为BD的垂直平分线，∴AB＝AD＝a，AC⊥BD，∵∠ACB＝60°，∴∠ADB＝60°，∴AB＝AD＝BD，∴∠ACD＝∠ABD＝60°，∴∠CDB＝30°，∴∠ADC＝90°，∴CD＝tan30°·AD＝eq\f(\r(3),3)a.【答案】A二、填空题6.圆内接四边形ABCD中，∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3，则∠A＝__________，∠B＝__________，∠C＝__________.∠D＝__________.【导学号：96990039】【解析】∵∠B＋∠D＝180°，∠B∶∠D＝1∶3，∴∠B＝45°，∠D＝135°.又∠B∶∠C＝1∶2，∴∠C＝90°.又∠A＋∠C＝180°，∴∠A＝90°【答案】90°45°90°135°7.(陕西高考)如图1­3­18，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝________.图1­3­18【解析】法一：连接CE，则∠BEC＝90°，∵AC＝2AE.∴∠ACE＝30°，∠A＝60°，△ABC为等边三角形，在Rt△BCE中，∠BCE＝30°，∴CE为∠ACB的平分线，∴eq\o(\s\up14(︵),BE)＝eq\o(\s\up14(︵),EF)，∴BE＝EF＝eq\f(1,2)BC＝3.法二：∵B，C，F，E四点在同一个圆上，∴∠AEF＝∠ACB，又∠A＝∠A，∴△AEF∽△ACB，∴eq\f(AE,AC)＝eq\f(EF,BC)，即eq\f(1,2)＝eq\f(EF,6)，∴EF＝3.【答案】38.如图1­3­19，AB＝10cm，BC＝8cm，CD平分∠ACB，则AC＝__________，BD＝__________.图1­3­19【解析】∠ACB＝90°，∠ADB＝90°.在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝8，∴AC＝eq\r(AB2－BC2)＝6.又∵CD平分∠ACB，即∠ACD＝∠BCD，∴AD＝BD，∴BD＝eq\r(\f(AB2,2))＝5eq\r(2).【答案】6cm5eq\r(2)cm三、解答题9.如图1­3­20，BA是⊙O的直径，延长BA至E，使得AE＝AO，过E点作⊙O的割线交⊙O于D，C，使得AD＝DC.图1­3­20(1)求证：OD∥BC；(2)若ED＝2，求⊙O的内接四边形ABCD的周长.【解】(1)证明：连接AC，∵OD是⊙O的半径，AD＝DC，∴OD⊥AC，又∵∠BCA＝90°，∴BC⊥AC，∴OD∥BC.(2)由(1)及EA＝AO，ED＝2，知eq\f(OD,BC)＝eq\f(ED,EC)＝eq\f(EO,EB)＝eq\f(2,3)，∴EC＝3.∵ED·EC＝EA·EB＝3EA2，∴3EA2＝2×3，即EA＝eq\r(2).∵CD＝EC－ED＝1，BC＝eq\f(3,2)OD＝eq\f(3,2)EA＝eq\f(3\r(2),2)，∴四边形ABCD的周长为AD＋CD＋BC＋BA＝2＋eq\f(7\r(2),2).10.如图1­3­21，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合.已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0的两个根，图1­3­21(1)证明：C，B，D，E四点共圆；(2)若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径.【证明】(1)如图，连接DE，在△ADE和△ACB中，AD·AB＝mn＝AE·AC，即eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB).又∠DAE＝∠CAB，从而△ADE∽△ACB.因此∠ADE＝∠ACB.所以C，B，D，E四点共圆.(2)m＝4，n＝6时，方程x2－14x＋mn＝0的两根为x1＝2，x2＝12，故AD＝2，AB＝12.如图，取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.由于∠A＝90°，故GH∥AB，HF∥AC.从而HF＝AG＝5，DF＝eq\f(1,2)(12－2)＝5.故C，B，D，E四点所在圆的半径为5eq\r(2).能力提升]1.若AD，BE，CF为△ABC的三条高线，交于H，则图1­3­22中四点共圆的组数是()图1­3­22 C. 【解析】B，D，H，F共圆；C，D，H，E共圆；A，E，H，F共圆；A，F，D，C共圆；B，C，E，F共圆；A，B，D，E共圆.【答案】D2.如图1­3­23，AB是⊙O的弦，过A，O两点的圆交BA的延长线于C，交⊙O于D，若CD＝5cm，则CB等于()图1­3­23cm cmcm \f(5,2)cm【解析】连接OA，OB，OD，∵OA＝OB＝OD，∴∠OAB＝∠OBA，∠ODB＝∠OBD.∵C，D，O，A四点共圆，∴∠OAB＝∠CDO，∠CDO＝∠OBA，∴∠CDO＋∠ODB＝∠OBA＋∠OBD，即∠CDB＝∠CBD，∴CD＝CB，∵CD＝5cm，∴CB＝5cm.【答案】C3.若两条直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0，(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则实数a＝__________.【解析】∵两条直线与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则有对角互补，又两坐标轴互相垂直，∴这两条直线垂直，即(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0.∴a2＝1，∴a＝±1.【答案】±14.如图1­3­24，在直径是AB的半圆上有两点M，N，设AN与BM的交点为P.求证：AP·AN＋BP·BM＝AB2.图1­3­24【证明】作PE⊥AB于点E.∵AB为直径，∴∠AN