高中数学人教A版2本册总复习总复习2

模块综合检测(基础卷)时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2023·衡水中学高二检测)已知a，b∈R，且2＋ai，b＋i(i是虚数单位)是实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根，那么p，q的值分别是eq\x(导学号10510875)()A．p＝－4，q＝5 B．p＝－4，q＝3C．p＝4，q＝5 D．p＝4，q＝3[答案]A[解析]分别将2＋ai，b＋i代入方程得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋ai2＋p2＋ai＋q＝0①,b＋i2＋pb＋i＋q＝0②))对①②整理由复数相等的条件得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2p＋q－a2＋4＝0，,p＋4a＝0，,pb＋q＋b2－1＝0，,p＋2b＝0.))解得p＝－4，q＝5.本题也可以用“韦达定理”求解：2＋ai＋b＋i＝－p③，(2＋ai)(b＋i)＝q④由复数相等的条件对③④整理得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋b＝－p，,a＋1＝0，,2b－a＝q，,ab＋2＝0，))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝2，,p＝－4，,q＝5.))故选A.2．设曲线y＝eq\f(x＋1,x－1)在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋3＝0垂直，则a＝eq\x(导学号10510876)()A．－2 B．－eq\f(1,2)\f(1,2) D．2[答案]A[解析]y′＝eq\f(－2,x－12)，y′|x＝3＝－eq\f(1,2)，∵(－eq\f(1,2))·(－a)＝－1，∴a＝－2.3．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝eq\f(n＋3n＋4,2)(n∈N*)时，验证n＝1，左边应取的项是eq\x(导学号10510877)()A．1 B．1＋2C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4[答案]D[解析]当n＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故应选D.4．三次函数当x＝1时有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是eq\x(导学号10510878)()A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9xC．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x[答案]B[解析]由条件设f(x)＝ax3＋bx2＋cx，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝3a(x－1)(x－3)，∴b＝－6a，c＝∴f(x)＝ax3－6ax2＋9ax，∵f(1)＝4，∴a＝1.∴f(x)＝x3－6x2＋9x，故选B.5．在复平面内，点A对应的复数为1＋2i，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2,1)，则点B对应的复数的共轭复数为eq\x(导学号10510879)()A．1＋3i B．1－3iC．－1＋3i D．－1－3i[答案]D[解析]由条件知A(1,2)，又eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2,1)，∴B(－1,3)，∴点B对应复数z＝－1＋3i，故eq\o(z,\s\up6(－))＝－1－3i.6．已知函数f(x)＝x2＋bx的图象在点A(1，f(1))处的切线l与直线3x－y＋2＝0平行，若数列{eq\f(1,fn)}的前n项和为Sn，则S2023的值为eq\x(导学号10510880)()\f(2023,2023) \f(2023,2023)\f(2023,2023) D．eq\f(2023,2023)[答案]A[解析]f′(x)＝2x＋b，由f′(1)＝2＋b＝3，得b＝1.则f(x)＝x2＋x.于是eq\f(1,fn)＝eq\f(1,n2＋n)＝eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，S2023＝eq\f(1,f1)＋eq\f(1,f2)＋…＋eq\f(1,f2023)＝(1－eq\f(1,2))＋(eq\f(1,2)－eq\f(1,3))＋…＋(eq\f(1,2023)－eq\f(1,2023))＝1－eq\f(1,2023)＝eq\f(2023,2023).7．(2023·潍坊高二检测)已知函数f(x)＝x3－12x，若f(x)在区间(2m，m＋1)上单调递减，则实数m的取值范围是eq\x(导学号10510881)()A．－1≤m≤1 B．－1<m≤1C．－1<m<1 D．－1≤m<1[答案]D[解析]因为f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，令f′(x)<0⇒－2<x<2，所以函数f(x)＝x3－12x的单调递减区间为(－2,2)，要使f(x)在区间(2m，m＋1)上单调递减，则区间(2m，m＋1)是区间(－2,2)的子区间，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m≥－2，,m＋1≤2，,m＋1>2m.))从中解得－1≤m<1，选D.8．曲线y＝x3－3x和y＝x围成图形的面积为eq\x(导学号10510882)()A．4 B．8C．10 D．9[答案]B[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x3－3x，,y＝x，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－2.))∵y＝x3－3x与y＝x都是奇函数，∴围成图形的面积为S＝2eq\i\in(0,2,)[x－(x3－3x)]dx＝2eq\i\in(0,2,)(4x－x3)dx＝eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(2·2x2－\f(1,4)x4))|eq\o\al(2,0)＝8，故选B.9．函数y＝asinx＋eq\f(1,3)sin3x在x＝eq\f(π,3)处有极值，则a的值为eq\x(导学号10510883)()A．－6 B．6C．－2 D．2[答案]D[解析]y′＝acosx＋cos3x，由条件知，acoseq\f(π,3)＋cosπ＝0，∴a＝2，故选D.10．(2023·山东理，2)若复数z满足eq\f(\x\to(z),1－i)＝i，其中i为虚数单位，则z＝eq\x(导学号10510884)()A．1－i B．1＋iC．－1－i D．－1＋i[答案]A[解析]因为eq\f(\x\to(z),1－i)＝i，所以eq\x\to(z)＝i(1－i)＝1＋i，∴z＝1－i.故选A.11．如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n个图形中顶点个数为eq\x(导学号10510885)()A．(n＋1)(n＋2) B．(n＋2)(n＋3)C．n2 D．n[答案]B[解析]第一个图形共有12＝3×4个顶点，第二个图形共有20＝4×5个顶点，第三个图形共有30＝5×6个顶点，第四个图形共有42＝6×7个顶点，故第n个图形共有(n＋2)(n＋3)个顶点．12．函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间为eq\x(导学号10510886)()A．(－∞，－1]和[0,1]B．[－1,0]和[1，＋∞)C．[－1,1]D．(－∞，－1]和[1，＋∞)[答案]A[解析]y′＝4x3－4x，令y′<0，即4x3－4x<0，解得x<－1或0<x<1，所以函数的单调减区间为(－∞，－1)和(0,1)，故应选A.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．在等比数列{an}中，若前n项之积为Tn，则有T3n＝(eq\f(T2n,Tn))3.那么在等差数列{bn}中，若前n项之和为Sn，用类比的方法得到的结论是\x(导学号10510887)[答案]S3n＝3(S2n－Sn)[解析]由等比数列前n项积，前2n项的积，前3n项的积类比得到等差数列前n项的和，前2n项的和，前3n项的和，由等比数列中(eq\f(T2n,Tn))3类比得等差数列中3(S2n－Sn)，故有S3n＝3(S2n－Sn)．14．函数y＝x3＋x2－5x－5的单调递增区间是\x(导学号10510888)[答案](－∞，－eq\f(5,3))和(1，＋∞)[解析]∵y＝x3＋x2－5x－5，∴y′＝3x2＋2x－5，令y′＝3x2＋2x－5>0，解得x<－eq\f(5,3)，x>1，∴函数的单调递增区间为(－∞，－eq\f(5,3))和(1，＋∞)．15．(陕西高考)设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgx，x>0，,x＋\i\in(0,a,)3t2dt，x≤0，))若f(f(1))＝1，则a＝\x(导学号10510889)[答案]1[解析]∵f(1)＝0，∴f(f(1))＝f(0)＝0＋eq\i\in(0,a,)3t2dt＝t3|eq\o\al(a,0)＝a3＝1，∴a＝1.16．已知结论“a1、a2∈R＋，且a1＋a2＝1，则eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)≥4：若a1、a2、a3∈R＋，且a1＋a2＋a3＝1，则eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)≥9”，请猜想若a1、a2、…、an∈R＋，且a1＋a2＋…＋an＝1，则eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,an)≥\x(导学号10510890)[答案]n2[解析]结论左端各项分别是和为1的各数ai的倒数(i＝1,2，…，n)，右端n＝2时为4＝22，n＝3时为9＝32，故ai∈R＋，a1＋a2＋…＋an＝1时，结论为eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,an)≥n2(n≥2)．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)(2023·文昌中学高二检测)设复数z满足|z|＝1，且(3＋4i)·z是纯虚数，求\x(导学号10510891)[解析]设z＝a＋bi(a，b∈R)，由|z|＝1，得a2＋b2＝1，①由(3＋4i)·z＝(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(4a＋3b得3a－4b＝0联立①②解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(4,5)，,b＝－\f(3,5)，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(4,5)，,b＝\f(3,5).))∴z＝－eq\f(4,5)－eq\f(3,5)i或z＝eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)i.18．(本题满分12分)已知非零实数a、b、c构成公差不为0的等差数列，求证：eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)不可能构成等差数列.eq\x(导学号10510892)[解析]假设eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)能构成等差数列，则得eq\f(2,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)，于是得bc＋ab＝2ac.①而由于a，b，c构成等差数列，即2b＝a＋c.②所以由①②两式得，(a＋c)2＝4ac，即(a－c)2＝0，于是得a＝b＝c，这与a，b，c构成公差不为0的等差数列矛盾．故假设不成立，因此eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)不能构成等差数列．19．(本题满分12分)设函数f(x)＝ax＋eq\f(x,x－1)(x>1)，若a是从1、2、3三个数中任取的一个数，b是从2、3、4、5四个数中任取的一个数，求f(x)>b恒成立的概率.eq\x(导学号10510893)[解析]若使f(x)>b恒成立，只需使ax＋eq\f(x,x－1)－b>0在(1，＋∞)上恒成立．设g(x)＝ax＋eq\f(x,x－1)－b，则g′(x)＝a－eq\f(1,x－12)＝eq\f(ax－12－1,x－12)，令g′(x)＝0，则a(x－1)2－1＝0，解得：x＝±eq\f(\r(a),a)＋1，∴x∈(1，eq\f(\r(a),a)＋1)时，g′(x)<0，x∈(eq\f(\r(a),a)＋1，＋∞)时，g′(x)>0.∴x＝eq\f(\r(a),a)＋1时，函数g(x)取得最小值为g(eq\f(\r(a),a)＋1)＝2eq\r(a)＋a＋1－b，∴2eq\r(a)＋a＋1－b>0，∴当a＝1时，b的值可以是2或3，当a＝2时，b的值可以是2或3或4或5，当a＝3时，b的值可以是2或3或4或5.∴使f(x)>b恒成立的取法共有10种，而数对(a，b)的所有可能取法共有12种，∴使f(x)>b恒成立的概率为P＝eq\f(10,12)＝eq\f(5,6).20．(本题满分12分)(1)设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋eq\f(1,xy)≤eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋xy.(2)1≤a≤b≤c，证明：logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋\x(导学号10510894)[证明](1)由于x≥1，y≥1，所以x＋y＋eq\f(1,xy)≤eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.将上式中的右式减左式，得(y＋x＋(xy)2)－(xy(x＋y)＋1)＝((xy)2－1)－(xy(x＋y)－(x＋y))＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．由于x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．(2)设logab＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得logca＝eq\f(1,xy)，logba＝eq\f(1,x)，logcb＝eq\f(1,y)，logac＝xy.于是，所要证明的不等式即为x＋y＋eq\f(1,xy)≤eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋xy，其中x＝logab≥1，y＝logbc≥1.故由(1)知所要证明的不等式成立．21．(本题满分12分)已知函数f(x)＝eq\f(1,2)x2－ax＋(a－1)\x(导学号10510895)(1)若a>2，讨论函数f(x)的单调性；(2)已知a＝1，g(x)＝2f(x)＋x3，若数列{an}的前n项和为Sn＝g(n)，证明：eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)＋…＋eq\f(1,an)<eq\f(1,3)(n≥2，n∈N＋)．[解析](1)可知f(x)的定义域为(0，＋∞)．有f′(x)＝x－a＋eq\f(a－1,x)＝eq\f(x2－ax＋a－1,x)＝eq\f(x－1[x－a－1],x)，因为a>2，所以a－1>1.故当1<x<a－1时f′(x)<0；当0<x<1或x>a－1时f′(x)>0.∴函数f(x)在区间(1，a－1)上单调递减，在区间(0,1)和(a－1，＋∞)上单调增加．(2)由a＝1知g(x)＝x3＋x2－2x，所以Sn＝n3＋n2－2n.可得an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3n2－n－2，n≥2，,0，n＝1.))∴an＝3n2－n－2(n≥2)．所以eq\f(1,an)＝eq\f(1,3n＋2n－1)(n≥2)．因为eq\f(1,3n＋2n－1)<eq\f(1,3nn－1)＝eq\f(1,3)(eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n))，所以eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)＋…＋eq\f(1,an)<eq\f(1,3)[(1－eq\f(1,2))＋(eq\f(1,2)－eq\f(1,3))＋…＋(eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n))]＝eq\f(1,3)(1－eq\f(1,n))＝eq\f(1,3)－eq\f(1,3n)<eq\f(1,3)，综上，不等式得证．22．(本题满分12分)(2023·福建文，22)已知函数f(x)＝lnx－eq\f(x－12,2).eq\x(导学