高中数学人教A版1直线与圆的位置关系 学业分层测评10

学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．如图2­5­17，⊙O的两条弦AB与CD相交于点E，EC＝1，DE＝4，AE＝2，则BE＝()图2­5­17A．1 B．2C．3 D．4【解析】由相交弦定理得AE·EB＝DE·EC，即2EB＝4×1，∴BE＝2.【答案】B2．PT切⊙O于T，割线PAB经过点O交⊙O于A，B，若PT＝4，PA＝2，则cos∠BPT＝()\f(4,5) \f(1,2)\f(3,8) \f(3,4)【解析】如图所示，连接OT，根据切割线定理，可得PT2＝PA·PB，即42＝2×PB，∴PB＝8，∴AB＝PB－PA＝6，∴OT＝r＝3，PO＝PA＋r＝5，∴cos∠BPT＝eq\f(PT,PO)＝eq\f(4,5).【答案】A3．如图2­5­18，⊙O的直径CD与弦AB交于P点，若AP＝4，BP＝6，CP＝3，则⊙O的半径为()图2­5­18A． B．5C．6 D．【解析】由相交弦定理知AP·BP＝CP·PD，∵AP＝4，BP＝6，CP＝3，∴PD＝eq\f(AP·BP,CP)＝eq\f(4×6,3)＝8，∴CD＝3＋8＝11，∴⊙O的半径为.【答案】A4．如图2­5­19，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3.以BC上一点O为圆心作⊙O与AC，AB都相切，又⊙O与BC的另一个交点为D，则线段BD的长为()【导学号：07370047】图2­5­19A．1 \f(1,2)\f(1,3) \f(1,4)【解析】观察图形，AC与⊙O切于点C，AB与⊙O切于点E，则AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝5.如图，连接OE，由切线长定理得AE＝AC＝4，故BE＝AB－AE＝5－4＝1.根据切割线定理得BD·BC＝BE2，即3BD＝1，故BD＝eq\f(1,3).【答案】C5.如图2­5­20，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论：图2­5­20①AD＋AE＝AB＋BC＋AC；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG.其中正确结论的序号是()A．①② B．②③C．①③ D．①②③【解析】①项，∵BD＝BF，CE＝CF，∴AD＋AE＝AC＋CE＋AB＋BD＝AC＋AB＋CF＋BF＝AC＋AB＋BC，故①正确；②项，∵AD＝AE，AD2＝AF·AG，∴AF·AG＝AD·AE，故②正确；③项，延长AD于M，连接FD，∵AD与圆O切于点D，则∠GDM＝∠GFD，∴∠ADG＝∠AFD≠∠AFB，则△AFB与△ADG不相似，故③错误，故选A.【答案】A二、填空题6．如图2­5­21，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线交于D，过点C作BD的平行线与圆交于点E，与AB交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝eq\f(3,2)，则CD＝________.图2­5­21【解析】因为AF·BF＝EF·CF，解得CF＝2，由CE∥BD，得eq\f(AF,AB)＝eq\f(CF,BD)，所以eq\f(3,4)＝eq\f(2,BD)，即BD＝eq\f(8,3).设CD＝x，AD＝4x，所以4x2＝eq\f(64,9)，所以x＝eq\f(4,3).【答案】eq\f(4,3)7．如图2­5­22，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，则PD＝________，AB＝________.图2­5­22【解析】由于PD∶DB＝9∶16，设PD＝9a，则DB＝16a.根据切割线定理有PA2＝PD·P B.又PA＝3，PB＝25a，∴9＝9a·25a，∴a＝eq\f(1,5)，∴PD＝eq\f(9,5)，PB＝5.在Rt△PAB中，AB2＝PB2－AP2＝25－9＝16，故AB＝4.【答案】eq\f(9,5)48．如图2­5­23所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________．图2­5­23【解析】设⊙O的半径为r(r>0)，∵PA＝1，AB＝2，∴PB＝PA＋AB＝3.延长PO交⊙O于点C，则PC＝PO＋r＝3＋r.设PO交⊙O于点D，则PD＝3－r.由圆的割线定理知，PA·PB＝PD·PC，∴1×3＝(3－r)(3＋r)，∴9－r2＝3，∴r＝eq\r(6).【答案】eq\r(6)三、解答题9．(2023·山西四校联考)如图2­5­24所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA＝10，PB＝5，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E.图2­5­24(1)求证：eq\f(AB,AC)＝eq\f(PA,PC)；(2)求AD·AE的值．【解】(1)证明：∵PA为圆O的切线，∴∠PAB＝∠ACP.又∠P为公共角，△PAB∽△PCA，∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(PA,PC).(2)∵PA为圆O的切线，PC是过点O的割线，∴PA2＝PB·PC，∴PC＝20，BC＝15.又∵∠CAB＝90°，∴AC2＋AB2＝BC2＝225.又由(1)知eq\f(AB,AC)＝eq\f(PA,PC)＝eq\f(1,2)，∴AC＝6eq\r(5)，AB＝3eq\r(5)，连接EC，则∠CAE＝∠EAB，∠AEC＝∠ABD.∴△ACE∽△ADB，∴eq\f(AB,AE)＝eq\f(AD,AC).∴AD·AE＝AB·AC＝3eq\r(5)×6eq\r(5)＝90.10．如图2­5­25，已知PA，PB切⊙O于A，B两点，PO＝4cm，∠APB＝60°，求阴影部分的周长．图2­5­25【解】如图所示，连接OA，O B.∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∴PA＝PB，∠PAO＝∠PBO＝eq\f(π,2)，∠APO＝eq\f(1,2)∠APB＝eq\f(π,6)，在Rt△PAO中，AP＝PO·coseq\f(π,6)＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)(cm)，OA＝eq\f(1,2)PO＝2(cm)，PB＝2eq\r(3)(cm)．∵∠APO＝eq\f(π,6)，∠PAO＝∠PBO＝eq\f(π,2)，∴∠AOB＝eq\f(2π,3)，∴leq\x\to(AB)＝∠AOB·R＝eq\f(2π,3)×2＝eq\f(4,3)π(cm)，∴阴影部分的周长为PA＋PB＋leq\x\to(AB)＝2eq\r(3)＋2eq\r(3)＋eq\f(4,3)π＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4\r(3)＋\f(4π,3)))(cm)．[能力提升]1．如图2­5­26，已知PT切⊙O于点T，TC是⊙O的直径，割线PBA交TC于点D，交⊙O于B，A(B在PD上)，DA＝3，DB＝4，DC＝2，则PB等于()【导学号：07370048】图2­5­26A．20 B．10C．5 D．8eq\r(5)【解析】∵DA＝3，DB＝4，DC＝2，由相交弦定理得DB·DA＝DC·DT，即DT＝eq\f(DB·DA,DC)＝eq\f(4×3,2)＝6.因为TC为⊙O的直径，所以PT⊥DT.设PB＝x，则在Rt△PDT中，PT2＝PD2－DT2＝(4＋x)2－36.由切割线定理得PT2＝PB·PA＝x(x＋7)，所以(4＋x)2－36＝x(x＋7)，解得x＝20，即PB＝20.【答案】A2．如图2­5­27，△ABC中，∠C＝90°，⊙O的直径CE在BC上，且与AB相切于D点，若CO∶OB＝1∶3，AD＝2，则BE等于()图2­5­27\r(3) B．2eq\r(2)C．2 D．1【解析】连接OD，则OD⊥BD，∴Rt△BOD∽Rt△BAC，∴eq\f(OD,AC)＝eq\f(BD,BC).设⊙O的半径为a，∵OC∶OB＝1∶3，OE＝OC，∴BE＝EC＝2a.由题知AD，AC均为⊙O的切线，AD＝2，∴AC＝2.∴eq\f(a,2)＝eq\f(BD,4a)，∴BD＝2a2.又BD2＝BE·BC，∴BD2＝2a·4a＝8a2，∴4a4＝8a2，∴a＝eq\r(2)，∴BE＝2a＝2eq\r(2).【答案】B3．如图2­5­28，已知P是⊙O外一点，PD为⊙O的切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，若PF＝12，PD＝4eq\r(3)，则圆O的半径长为__________，∠EFD的度数为__________．图2­5­28【解析】由切割线定理得，PD2＝PE·PF，∴PE＝eq\f(PD2,PF)＝eq\f(16×3,12)＝4，EF＝8，OD＝4.∵OD⊥PD，OD＝eq\f(1,2)PO，∴∠P＝30°，∠POD＝60°，∴∠EFD＝30°.【答案】430°4．如图2­5­29，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E.图2­5­29(1)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；(2)若OA＝eq\r(3)CE，求∠ACB的大小．【解】(1)证明：如图，连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB.在Rt△AEC中，由