高中数学人教A版5证明不等式的基本方法三反证法与放缩法 课时提升作业八

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业八反证法与放缩法一、选择题(每小题6分,共18分)1.(2023·泰安高二检测)证明命题“a,b∈N,如果ab可被5整除,那么a,b至少有一个能被5整除”,则假设的内容是(),b都能被5整除,b都不能被5整除不能被5整除,b有一个不能被5整除【解析】选B.“a,b至少有一个能被5整除”包括“a,b中有且只有一个能被5整除或a,b都能被5整除”,其反面为“a,b都不能被5整除”.【补偿训练】用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时,反设正确的是()A.三个内角中至少有一个钝角B.三个内角中至少有两个钝角C.三个内角都不是钝角D.三个内角都不是钝角或至少有两个钝角【解析】选B.“至多有一个”即要么一个都没有,要么有一个,故反设为“至少有两个”.2.已知a+b+c>0,ab+bc+ac>0,abc>0,用反证法求证a>0,b>0,c>0时的假设为()<0,b<0,c<0 ≤0,b>0,c>0,b,c不全是正数 <0【解析】选>0,b>0,c>0的反面是a,b,c不全是正数.3.已知a>0,b>0,设P=a1+a+b1+b,Q=>Q <Q=Q D.无法确定【解析】选A.因为a>0,b>0,所以P=a1+a+b1+b>a1+a+b+b【补偿训练】已知等比数列{an}的各项均为正数,公比q≠1,设P=a3+a>Q <Q=Q D.无法确定【解析】选A.由等比数列知识得Q=a5·a又P=a3+a92,且a3所以a3+a92二、填空题(每小题6分,共12分)4.(2023·泰安高二检测)用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤:①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形的内角和为180°矛盾,故结论错误;②所以一个三角形不可能有两个直角;③假设△ABC有两个直角,不妨设∠A=∠B=90°;上述步骤的正确顺序是____________.【解析】由反证法的证题步骤可知,正确顺序应该是③①②.答案:③①②5.已知a∈R+,则12a,12a+1,【解析】因为a+a+1>a+a=2aa+a+1<a+1+a+1所以2a<a+a+1<2a所以12a>1a答案:12a>1【补偿训练】log23与log34的大小关系是________.【解析】log23-log34=lg3lg2-lg>l=l>lg所以log23-log34>0,所以log23>log34.答案:log23>log34三、解答题(每小题10分,共30分)6.已知a>0,b>0,且a+b>2.求证:1+ba,【证明】假设1+ba,则1+ba≥2,因为a>0,b>0,所以1+b≥2a,1+a≥2b.所以2+a+b≥2(a+b),即2≥a+b,这与a+b>2矛盾.故假设不成立.即1+ba,7.设n是正整数,求证:12≤1n+1+1n+2【证明】由2n≥n+k>n(k=1,2,…,n),得12n≤1n+k<当k=1时,12n≤1n+1<当k=2时,12n≤1n+2<…当k=n时,12n≤1n+n<所以12=n2n≤1n+1+1n+2+…+即原不等式成立.8.已知a≥-1,求证以下三个方程:x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实数解.【证明】假设三个方程都没有实根,则三个方程的判别式都小于0,即:(所以-所以-32一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2023·锦州高二检测)(1)已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假设p+q≥2.(2)已知a,b∈R,a+b<1,求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设至少有一根的绝对值大于等于1.以下结论正确的是()A.(1)与(2)的假设都错误B.(1)与(2)的假设都正确C.(1)的假设正确,(2)的假设错误D.(1)的假设错误,(2)的假设正确【解析】选D.(1)的假设应为p+q>2,(2)的假设正确.2.设x,y,z都是正实数,a=x+1y,b=y+1z,c=z+A.至少有一个不大于2 B.都小于2C.至少有一个不小于2 D.都大于2【解析】选C.因为a+b+c=x+1x+y+1y+z+所以a,b,c三者中至少有一个不小于2.二、填空题(每小题5分,共10分)3.设M=1210+1210+1+1【解析】因为210+1>210,210+2>210,…,211-1>210,所以M=1210+1210<1210+12答案:M<14.(2023·石家庄高二检测)某同学准备用反证法证明如下一个问题:函数f(x)在[0,1]上有意义,且f(0)=f(1).如果对于不同的x1,x2∈[0,1]都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|.求证:|f(x1)-f(x2)|<12,那么他的反设应该是________【解析】对任意x1,x2∈[0,1](x1≠x2)都有|f(x1)-f(x2)|<12的反面是存在x1,x2∈[0,1]且x1≠x2有|f(x1)-f(x2)|≥1答案:存在x1,x2∈[0,1]且x1≠x2使|f(x1)-f(x2)|≥1三、解答题(每小题10分,共20分)5.已知0<a<3,0<b<3,0<c<3.求证:a(3-b),b(3-c),c(3-a)不可能都大于92【证明】假设a(3-b)>92,b(3-c)>92,c(3-a)>因为a,b,c均为小于3的正数.所以a(3-b)>92,b(3-c)>92,从而有a(3-b)+b(3-c)+c(3-a)但是a(3-b)+b(3-c)≤a+(3-b)2+b=9+(a+b+c)-(a+b+c)2=显然②与①相矛盾,假设不成立,故命题得证.【补偿训练】已知f(x)=ax+x-2【证明】假设x0是f(x)=0的负数根,则x0<0且x0≠-1且ax0=-由0<ax0<1⇒0<-x0-2x0+1故方程f(x)=0没有负数根.6.设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn满足Sn2-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N(1)求a1的值.(2)求数列{an}的通项公式.(3)证明:对一切正整数n,有1a1(a1+1)+【解析】(1)令n=1得:S12-(-1)S即S12+S1-6=0,所以(S1+3)(S因为S1>0,所以S1=2,即a1=2.(2)由Sn2-(n2+n-3)Sn-3(n(Sn+3)[Sn-(n2+n)]=0,因为an>0(n∈N*),Sn>0,从而Sn+3>0,所以Sn=n2+n