高中数学人教A版第一章三角函数 全国公开课

第1章第2课时1.1.2弧度制课前准备温故知新：过去我们学习过用角度制来度量角，这种度量角的方法很好理解，但给出的弧长公式较繁杂，不是很简洁。既然长度和重量等都有多种度量制，那么角度是不是会有更简洁的度量方法呢？研究发现，圆的弧长与半经的比值的大小只与所对圆心角的大小直接相关，而与圆的半经和弧长不直接相关。这就为我们设计度量角的新方法提供了方便。学习目标：了解弧度制.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算.同时要求同学们熟记特殊角的弧度数掌握用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式．培养同学们运用弧度制解决具体问题的意识和能力．课前思索：如何解决角度制下公式的烦琐问题？弧度制的引入对解决与角相关问题的优越性在那里？角度制下的角与弧度制下的角如何互化？课堂学习 一、学习引领1．角度制：过去同学们研究过角的度量，当时是用度做单位来度量角，1°的角是如何定义的？实际上是规定周角的作为1°的角，我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，有了它，可以计算弧长，公式为．这种度量角的方法便于理解，但在使用时还是有不方便的地方，这就导致能不能用更为简洁的形式度量角的思考。2．弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角；正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数为零。弧度制的建立将角度与实数建立起一一对应关系。3．为什么可以用弧长与其半径的比值来度量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆的半径大小有关呢？如图，设为的角，圆弧和的长分别为和，点和到点的距离（即圆半径）分别为和，由己学过的弧长公式可得：，，于是．上式表明，以角为圆心角所对的弧长与其半径的比值，由的大小来确定，与所取的半径大小无关，仅与角的大小有关．4．扇形的弧长与面积公式：弧长公式为，面积为，其中为扇形所对应圆的半径；为扇形的中心角。另外任一已知角的弧度数的绝对值，其中为以角为圆心角时所对应的的圆弧长，为圆的半径。5．弧度制与角度制相比，是否具有优点呢?同学们知道在用角度制表示角的时候，人们总是十进制、六十进制并用的．比如角＝33°35′2″，其中33、35、2都是十进数，而度、分、秒之间的关系是六十进（退）位的．所以，为了找出与角对应的实数，要经过复杂的计算，这就不是很方便了．在用弧度表示角的时候，人们只用十进制，所以容易找出与角对应的实数．另外，弧度制下的弧长公式l＝|α|r，比角度制下的弧长公式，具有更为简洁的形式．还有，如果已知圆心角等于α弧度，那么用弧度制下扇形面积公式S＝||r2求扇形面积，也比用角度制下的公式S＝更为简洁．6．弧度制下象限角的表示：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴正半轴重合，角的终边落在第几象限，就称这个角为第几象限角；弧度制下各象限的角的范围如下：①第一象限角表示为（或）；②第二象限角表示为（或）；③第三象限角表示为（或）；④第四象限角表示为（或）。弧度制下的轴线角：角的终边落在坐标轴上称为轴线角（轴上角），这个角不属于任何象限。①终边在轴的非负半轴上的角可表示为；②终边在轴的非正半轴上的角可表示为；③终边在轴的非负半轴上的角可表示为；④终边在轴的非正半轴上的角可表示为⑤终边在轴上的角可表示为；⑥终边在轴上的角可表示为；⑦终边在坐标轴上的角可表示为。7．终边与角终边对称的角的表示：①终边与角的终边关于原点对称的角可以表示为；②终边与角的终边关于轴对称的角可以表示为；③终边与角的终边关于轴对称的角可以表示为；二、合作探究例1已知下列各个角：，，，.将它们化为另一种度量制下的角分别是多少？解；；；.点评：弧度制与角度制下角的转换是后续学习三角函数常用的知识．要求同学们必须熟练掌握．例2用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不含边界)．解：⑴OB的终边上找到一个角－30°＝－，而OA的终边上的角75°＝．故所求的区域角的集合为：{|2k－＜＜2k＋，k∈Z}．⑵所求的区域角的集合为：{|2k－＜＜2k＋，k∈Z}．点评：对于角的范围的表示一要注意边界角的正确表示，二要注意不等式两边的角的大小，还不能忘记．例3已知扇形的周长为30cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?解：设扇形的圆心角为α，半径为r，面积为S，弧长为l，则有l+2r=30∴l=30-2r,从而S=l·r=(30-2r)·r=-r2+15r=-(r-)2+∴当半径r=cm时，扇形面积的最大值是cm2，这时α==2弧度点评：要求扇形的面积的最大值，就应建立扇形面积的函数，而建立函数时，可以将半径r选作自变量.上面解法是利用扇形面积公式建立二次函数，进而求二次函数的最值．此题是扇形周长一定时，求扇形的面积的最大值，利用这种法也可以求当扇形的面积一定其周长的最小值问题．这就是一题多变，你想了吗？三、课堂练习1．已知，则是（ ）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角2．是第（）象限的角。A．一B．二C．三D．四3．若角与角的终边关于轴对称，则与的关系是___________。4．判断是第几象限的角.5．已知扇形的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积.6．如图，单位圆上一点A从点出发，按逆时针方向作匀速圆周运动，已知点A每秒转过角，，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟回到原来的位置，求角的大小.四、课后作业1．已知集合，，则（）.ABCD2．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是()A．2B．C．2sin1D．sin23．把化成的形式为4．若小于的正角的6倍的终边与轴的正半轴重合，求满足条件的所有角的集合。5．已知扇形的周长为cm，面积为cm2，求扇形圆心角的弧度数．学后反思自我总结知识归纳方法总结错误总结答案与详解三、课堂练习1．C提示：。2．Ａ解析：∵，∴与终边相同，∴的终边在第一象限．3．提示：与关于轴对称，所以。4．解：∵，∴与终边相同，而是第二象限的角，故是第二象限的角.5．解：设扇形的半径为r，弧长为，则有∴扇形的面积6．解：设经过14秒钟A转过了圈，设，由弧长公式及已知条件，得，即，且已知在第三象限，，故，，解得由于，或5，故，或四、课后作业1．D解集合表示第一、二象限和轴上的角及轴非负半轴上的角，由于，所以集合（因为最终结果是找交集的，所以可以用近似值表示），从而借助于坐标系得到，选择D.当然也可以对取值直接找它们的公共区域内的范