高中数学人教B版第二章数列学业分层测评13

学业分层测评(十三)等比数列的性质(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．等比数列{an}的公比q＝－eq\f(1,4)，a1＝eq\r(2)，则数列{an}是()A．递增数列 B.递减数列C．常数数列 D.摆动数列【解析】因为等比数列{an}的公比为q＝－eq\f(1,4)，a1＝eq\r(2)，故a2<0，a3>0，…所以数列{an}是摆动数列．【答案】D2．(2023·重庆高考)对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是()A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列【解析】设等比数列的公比为q，因为eq\f(a6,a3)＝eq\f(a9,a6)＝q3，即aeq\o\al(2,6)＝a3a9，所以a3，a6，a9成等比数列．故选D.【答案】D3．在等比数列{an}中，a3a4a5＝3，a6a7aA．48 B.72C．144 【解析】∵eq\f(a6a7a8,a3a4a5)＝q9＝8(q为公比)，∴a9a10a11＝a6a7a8q9＝24×8＝192.【答案】D4．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是()A．3 B．27C．3或27 或27【解析】设此三数为3，a，b，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝3＋b，,a－62＝3b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝15，,b＝27.))所以这个未知数为3或27.【答案】C5．已知等比数列{an}各项均为正数，且a1，eq\f(1,2)a3，a2成等差数列，则eq\f(a3＋a4,a4＋a5)等于()\f(\r(5)＋1,2) \f(\r(5)－1,2)\f(1－\r(5),2) \f(\r(5)＋1,2)或eq\f(\r(5)－1,2)【解析】由题意，得a3＝a1＋a2，即a1q2＝a1＋a1q，∴q2＝1＋q，解得q＝eq\f(1±\r(5),2).又∵{an}各项均为正数，∴q>0，即q＝eq\f(1＋\r(5),2).∴eq\f(a3＋a4,a4＋a5)＝eq\f(a1q2＋a1q3,a1q3＋a1q4)＝eq\f(1,q)＝eq\f(\r(5)－1,2).【答案】B二、填空题6．(2023·青岛高二检测)在等比数列{an}中，a3＝16，a1a2a3…a10＝265，则【解析】因为a1a2a3…a10＝(a3a8)5＝265，所以a3a8＝213，又因为a3＝16＝24，所以a8＝29＝512.因为a8＝a3·q5，所以q＝2.所以a7＝eq\f(a8,q)＝256.【答案】2567.在右列表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每纵列成等比数列，则x＋y＋z的值为________．【解析】∵eq\f(x,2)＝eq\f(2,4)，∴x＝1.∵第一行中的数成等差数列，首项为2，公差为1，故后两格中数字分别为5,6.同理，第二行后两格中数字分别为,3.∴y＝5·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3，z＝6·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4.∴x＋y＋z＝1＋5·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＋6·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝eq\f(32,16)＝2.【答案】28．某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m倍，那么该单位此年的月平均增长率是________．【解析】由题意可知，这一年中的每一个月的产值成等比数列，求月平均增长率只需利用eq\f(a12,a1)＝m，所以月平均增长率为eq\r(11,m)－1.【答案】eq\r(11,m)－1三、解答题9．在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比.【【解】设该数列的公比为q.由已知，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q－a1＝2，,4a1q＝3a1＋a1q2，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q－1＝2，,q2－4q＋3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,q＝3.))(q＝1舍去)故首项a1＝1，公比q＝3.10．(2023·福建高考改编)若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p>0，q>0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，求p＋q的值．【解】不妨设a>b，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝p>0，,ab＝q>0，))∴a>0，b>0，则a，－2，b成等比数列，a，b，－2成等差数列，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝－22，,a－2＝2b，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝1，))∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9.[能力提升]1．等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15A．±2 B．±4C．2 【解析】∵T13＝4T9.∴a1a2…a9a10a11a12a13＝4a1a2…a9.∴a10a11a12a13＝4.又∵a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，∴(a8·a15)2＝4.∴a8a15＝±2.又∵{an}为递减数列，∴q>0.∴a8a15＝2.【答案】C2．公差不为零的等差数列{an}中，2a3－aeq\o\al(2,7)＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝()A．16 B．14C．4 【解析】∵2a3－aeq\o\al(2,7)＋2a11＝2(a3＋a11)－aeq\o\al(2,7)＝4a7－aeq\o\al(2,7)＝0，∵b7＝a7≠0，∴b7＝a7＝4.∴b6b8＝beq\o\al(2,7)＝16.【答案】A3．设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.【解析】由题意知，数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，说明{an}有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中，由于{an}中连续四项至少有一项为负，∴q<0.又∵|q|>1，∴{an}的连续四项为－24,36，－54,81.∴q＝eq\f(36,－24)＝－eq\f(3,2)，∴6q＝－9.【答案】－94．在等差数列{an}中，公差d≠0，a2是a1与a4的等比中项．已知数列a1，a3，ak1，ak2，…，akn，…成等比数列，求数列{kn}的通项kn.【解】依题设得an＝a1＋(n－1)d，aeq\o\al(2,2)＝a1a4，∴(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，整理得d2＝a1d，∵d≠0，∴d＝a1，得an＝n