高中数学苏教版1第3章空间向量与立体几何3．2空间向量的应用学业第3章

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．若两平面α，β的法向量分别为u＝(2，－3,4)，ν＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1，－\f(4,3)))，则α与β的位置关系是________．【解析】∵u＝－3ν，∴u∥ν，∴α∥β.【答案】平行2．若平面α，β的法向量分别为(－1,2,4)，(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为________．【解析】∵α⊥β，∴－x－2－8＝0，∴x＝－10.【答案】－103．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，则B1C与平面ODC1的关系是________.【【解析】∵eq\o(B1C,\s\up8(→))＝eq\o(B1C1,\s\up8(→))＋eq\o(B1B,\s\up8(→))＝eq\o(B1O,\s\up8(→))＋eq\o(OC1,\s\up8(→))＋eq\o(D1O,\s\up8(→))＋eq\o(OD,\s\up8(→))＝eq\o(OC1,\s\up8(→))＋eq\o(OD,\s\up8(→))，∴eq\o(B1C,\s\up8(→))，eq\o(OC1,\s\up8(→))，eq\o(OD,\s\up8(→))共面．又∵B1C不在平面ODC1内，∴B1C∥平面ODC1.【答案】平行4．若eq\o(AB,\s\up8(→))＝λeq\o(CD,\s\up8(→))＋μeq\o(CE,\s\up8(→))(λ，μ∈R)，则直线AB与平面CDE的位置关系是________．【解析】∵eq\o(AB,\s\up8(→))＝λeq\o(CD,\s\up8(→))＋μeq\o(CE,\s\up8(→))(λ，μ∈R)，∴eq\o(AB,\s\up8(→))与eq\o(CD,\s\up8(→))，eq\o(CE,\s\up8(→))共面，∴AB∥平面CDE或AB⊂平面CDE.【答案】AB∥平面CDE或AB⊂平面CDE5．已知eq\o(AB,\s\up8(→))＝(1,5，－2)，eq\o(BC,\s\up8(→))＝(3,1，z)，若eq\o(AB,\s\up8(→))⊥eq\o(BC,\s\up8(→))，eq\o(BP,\s\up8(→))＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则(x，y，z)等于________．【解析】eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝3＋5－2z＝0，故z＝\o(BP,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝x－1＋5y＋6＝0，且eq\o(BP,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝3(x－1)＋y－12＝0，得x＝eq\f(40,7)，y＝－eq\f(15,7).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(40,7)，－\f(15,7)，4))6．如图3­2­13，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为A1B1上任意一点，则DP与BC1始终________(填“垂直”或“平行”图3­2­13【解析】因为eq\o(DP,\s\up8(→))·eq\o(C1B,\s\up8(→))＝(eq\o(DA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1P,\s\up8(→)))·eq\o(C1B,\s\up8(→))＝(eq\o(CB1,\s\up8(→))＋eq\o(A1P,\s\up8(→)))·eq\o(C1B,\s\up8(→))＝eq\o(CB1,\s\up8(→))·eq\o(C1B,\s\up8(→))＋eq\o(A1P,\s\up8(→))·eq\o(C1B,\s\up8(→))＝eq\o(A1P,\s\up8(→))·eq\o(C1B,\s\up8(→))＝eq\o(A1P,\s\up8(→))·(eq\o(C1C,\s\up8(→))＋eq\o(CB,\s\up8(→)))＝eq\o(A1P,\s\up8(→))·eq\o(C1C,\s\up8(→))＋eq\o(A1P,\s\up8(→))·eq\o(CB,\s\up8(→))＝0，所以eq\o(DP,\s\up8(→))⊥eq\o(C1B,\s\up8(→))，即DP与BC1始终垂直．【答案】垂直7．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是________三角形．【解析】求得eq\o(AC,\s\up8(→))＝(5,1，－7)，eq\o(BC,\s\up8(→))＝(2，－3,1)，因为eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝0，所以eq\o(AC,\s\up8(→))⊥eq\o(BC,\s\up8(→))，所以△ABC是直角三角形．【答案】直角8．如图3­2­14所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝eq\r(3)，AD＝2eq\r(2)，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则AM与PM的位置关系为________．图3­2­14【解析】以D点为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz，依题意，可得D(0,0,0)，P(0,1，eq\r(3))，C(0,2,0)，A(2eq\r(2)，0,0)，M(eq\r(2)，2,0)．∴eq\o(PM,\s\up8(→))＝(eq\r(2)，2,0)－(0,1，eq\r(3))＝(eq\r(2)，1，－eq\r(3))，eq\o(AM,\s\up8(→))＝(eq\r(2)，2,0)－(2eq\r(2)，0,0)＝(－eq\r(2)，2,0)，∴eq\o(PM,\s\up8(→))·eq\o(AM,\s\up8(→))＝(eq\r(2)，1，－eq\r(3))·(－eq\r(2)，2,0)＝0，即eq\o(PM,\s\up8(→))⊥eq\o(AM,\s\up8(→))，∴AM⊥PM.【答案】垂直二、解答题9．已知四棱锥P­ABCD的底面是直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PD⊥底面ABCD，图3­2­15且PD＝DA＝CD＝2AB＝2，M点为PC的中点．(1)求证：BM∥平面PAD；(2)在平面PAD内找一点N，使MN⊥平面PBD.【解】(1)证明：因为PD⊥底面ABCD，CD∥AB，CD⊥AD.所以以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D­xyz(如图所示)．由于PD＝CD＝DA＝2AB＝2，所以D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,1,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，M(0,1,1)，所以eq\o(BM,\s\up8(→))＝(－2,0,1)，eq\o(DC,\s\up8(→))＝(0,2,0)，因为DC⊥平面PAD，所以eq\o(DC,\s\up8(→))是平面PAD的法向量，又因为eq\o(BM,\s\up8(→))·eq\o(DC,\s\up8(→))＝0，且BM⊄平面PAD，所以BM∥平面PAD.(2)设N(x,0，z)是平面PAD内一点，则eq\o(MN,\s\up8(→))＝(x，－1，z－1)，eq\o(DP,\s\up8(→))＝(0,0,2)，eq\o(DB,\s\up8(→))＝(2,1,0)，若MN⊥平面PBD，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2z－1＝0，,2x－1＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,z＝1，))所以在平面PAD内存在点Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，1))，使MN⊥平面PBD.10．如图3­2­16所示，在四棱锥P­ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证：图3­2­16(1)CM∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PAD.【证明】以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C­xyz.∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，∴∠PBC＝30°.∵PC＝2，∴BC＝2eq\r(3)，PB＝4，∴D(0,1,0)，B(2eq\r(3)，0,0)，A(2eq\r(3)，4,0)，P(0,0,2)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0，\f(3,2)))，∴eq\o(DP,\s\up8(→))＝(0，－1,2)，eq\o(DA,\s\up8(→))＝(2eq\r(3)，3,0)，eq\o(CM,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0，\f(3,2)))，(1)法一：令n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(DP,\s\up8(→))·n＝0，,\o(DA,\s\up8(→))·n＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－y＋2z＝0，,2\r(3)x＋3y＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(z＝\f(1,2)y，,x＝－\f(\r(3),2)y，))令y＝2，得n＝(－eq\r(3)，2,1)．∵n·eq\o(CM,\s\up8(→))＝－eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＋2×0＋1×eq\f(3,2)＝0，∴n⊥eq\o(CM,\s\up8(→))，又CM⊄平面PAD，∴CM∥平面PAD.法二：∵eq\o(PD,\s\up8(→))＝(0,1，－2)，eq\o(PA,\s\up8(→))＝(2eq\r(3)，4，－2)，令eq\o(CM,\s\up8(→))＝xeq\o(PD,\s\up8(→))＋yeq\o(PA,\s\up8(→))，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)＝2\r(3)y，,0＝x＋4y，,\f(3,2)＝－2x－2y，))方程组有解为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝\f(1,4)，))∴eq\o(CM,\s\up8(→))＝－eq\o(PD,\s\up8(→))＋eq\f(1,4)eq\o(PA,\s\up8(→))，由共面向量定理知eq\o(CM,\s\up8(→))与eq\o(PD,\s\up8(→))，eq\o(PA,\s\up8(→))共面．又∵CM⊄平面PAD，∴CM∥平面PAD.(2)取AP的中点E，连结BE，则E(eq\r(3)，2,1)，eq\o(BE,\s\up8(→))＝(－eq\r(3)，2,1)，∵PB＝AB，∴BE⊥PA.又∵eq\o(BE,\s\up8(→))·eq\o(DA,\s\up8(→))＝(－eq\r(3)，2,1)·(2eq\r(3)，3,0)＝0，∴eq\o(BE,\s\up8(→))⊥eq\o(DA,\s\up8(→))，∴BE⊥DA，又PA∩DA＝A，∴BE⊥平面PAD.又∵BE⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.[能力提升]1．空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是________________．【导学号：09390085】【解析】由题意得，eq\o(AB,\s\up8(→))＝(－3，－3,3)，eq\o(CD,\s\up8(→))＝(1,1，－1)，∴eq\o(AB,\s\up8(→))＝－3eq\o(CD,\s\up8(→))，∴eq\o(AB,\s\up8(→))与eq\o(CD,\s\up8(→))共线．又eq\o(AB,\s\up8(→))与eq\o(CD,\s\up8(→))没有公共点．∴AB∥CD.【答案】平行2.如图3­2­17，四棱锥P­ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F分别为PB，AD中点，则直线EF与平面PBC的位置关系________．图3­2­17【解析】以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，\f(1,2)))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，0))，∴eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)，－\f(1,2)))，平面PBC的一个法向量n＝(0,1,1)．∵eq\o(EF,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)n，∴eq\o(EF,\s\up8(→))∥n，∴EF⊥平面PBC.【答案】垂直3．已知空间两点A(－1,1,2)，B(－3,0,4)，直线l的方向向量为a，若|a|＝3，且直线l与直线AB平行，则a＝________.【解析】设a＝(x，y，z)，∵eq\o(AB,\s\up8(→))＝(－2，－1,2)，且l与AB平行，∴a∥eq\o(AB,\s\up8(→))，∴eq\f(x,－2)＝eq\f(y,－1)＝eq\f(z,2)，∴x＝2y，z＝－2y.又∵|a|＝3，∴|a|2＝x2＋y2＋z2＝4y2＋y2＋4y2＝9，∴y＝±1，∴a＝(2,1，－2)或(－2，－1,2)．【答案】(2,1，－2)或(－2，－1,2)4．如图3­2­18所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE＝a，点M在线段EF上．当EM为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论．图3­2­18【解】法一：当EM＝eq\f(\r(3),3)a时，AM∥平面BDF，以点C为原点，CA，CB，CF所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，B(0，a,0)，A(eq\r(3)a,0,0)，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)a,2)，－\f(1,2)a，0))，F(0,0，a)，E(eq\r(3)a,0，a)，因为AM⊄平面BDF，所以AM∥平面BDF⇔eq\o(AM,\s\up8(→))与eq\o(FB,\s\up8(→))，eq\o(FD,\s\up8(→))共面，所以存在实数m，n，使eq\o(AM,\s\up8(→))＝meq\o(FB,\s\up8(→))＋neq\o(FD,\s\up8(→))，设e