二维图形变换2014

第五章图形的变换

1.变换的数学基础2.图形变换的基本概念3.变换的齐次坐标表示4.二维几何变换√1.变换的数学基础A.

矢量矢量和矢量的数乘矢量的点积性质矢量的长度单位矢量矢量的夹角矢量的叉积B.矩阵

矩阵的定义：由m×n个数按一定位置排列的一个整体，简称m×n矩阵。A=其中，aij称为矩阵A的第i行第j列元素矩阵的运算加法设A，B为两个具有相同行和列元素的矩阵A+B=乘法设A为2×3矩阵，B为3×2矩阵

C=A·B=单位矩阵在一矩阵中，其主对角线各元素aii=1,其余皆为0的矩阵称为单位矩阵。n阶单位矩阵通常记作In。

逆矩阵

若矩阵A存在A·A-1=A-1·A=I，则称A-1为A的逆矩阵矩阵的转置把矩阵A=(aij)m×n的行和列互换而得到的n×m矩阵称为A的转置矩阵,记作AT

。

(AT)T=A(A+B)T=AT+BT(aA)T=aAT(A·B)T=BT·AT

当A为n阶矩阵，且A=AT，则

A是对称矩阵。矩阵运算的基本性质交换律与结合律

A+B=B+A;A+(B+C)=(A+B)+C数乘的分配律及结合律

a(A+B)=aA+aB;a(A·B)=(aA)·B=A·(aB)(a+b)A=aA+bAa(bA)=(ab)A矩阵乘法的结合律及分配律

A·(B·C)=(A·B)·C(A+B)·C=A·C+B·CC·(A+B)=C·A+C·B矩阵的乘法不适合交换律

第五章图形的变换

1.变换的数学基础2.图形变换的基本概念3.变换的齐次坐标表示4.二维几何变换√图形变换是图形显示过程中不可缺少的一个环节。通过图形变换可由简单图形生成复杂图形；改变和管理各种图形的显示。例如：通过调整组成部分的方向和大小来实现设计和实施布局；通过沿动画路径移动“照相机”或场景中的对象而产生动画；通过改变对象坐标描述的几何变换来完成在方向、尺寸和形状方面的变化。

第五章图形的变换

1.变换的数学基础2.图形变换的基本概念3.变换的齐次坐标表示4.二维几何变换√

可用齐次坐标三元组(xh,yh,h)表示每个笛卡尔坐标位置(x,y)。其中：x=xh/h，y=yh/h，也可写为(h·x,

h·y,

h)齐次参数h可取为任何非零值，每个坐标点(x,y)可有无数个等价齐次表达。最方便的选择是设置h=1。即：每个二维位置都可用齐次坐标(x,y,1)来表示。参数h的其它值也是需要的。变换的齐次坐标表示

第五章图形的变换

1.变换的数学基础2.图形变换的基本概念3.变换的齐次坐标表示4.二维几何变换√√基本几何变换：平移将物体沿直线路径从一个坐标位置到另一个坐标位置重定位。给原始坐标位置(x,y)加上平移距离tx和ty来表示到新位置(x1,y1)：x1

=x+tx，y1

=y+ty(tx,ty)称为平移向量。平移的矩阵方程：

P1

=P+T

T=(tx,ty)T,P=(x,y)T,P1=(x1,y1)T

PP1T平移的特性不产生变形而移动物体的刚体变换，物体上的每个点移动相同的坐标。直线的平移是将平移方程加到线的每个端点上；多边形的平移是将平移向量加到每个顶点的坐标；曲线可用同样方法来平移：为了改变圆或椭圆的位置，可以平移中心坐标并在新中心位置重画图形；通过替代定义曲线的坐标位置，而后用平移过的坐标点来重构曲线路径来实现其它曲线的平移。TT√

2.旋转变换二维旋转--是指定物体以旋转点(或基准点)的位置(xr,yr)和旋转角θ(逆时针旋转时旋转角为正),将物体沿xy平面内的圆弧路径重定位。或：绕通过基准点、垂直于xy平面的旋转轴旋转。当基准点为坐标原点时，变换方程：x1=xcosθ–ysinθ

y1=xsinθ+ycosθ

方程的向量矩阵为：P1=R·P

旋转矩阵为：PP1xy旋转变换的特性旋转也是一种不变形地移动物体的刚体变换，物体上的所有点旋转相同的角度：直线段旋转是将每个线端点旋转指定的旋转角；多边形的旋转则是将每个顶点旋转指定的旋转角；曲线的旋转则是旋转控制取样点。(xr,yr)√3.缩放(比例)变换该操作施加于多边形。通过将每个顶点坐标值(x,y)乘以缩放系数sx和sy，产生变换的坐标(x1,y1)：

x1＝

x·sx

y1＝y·sy

sx在x方向对物体的缩放系数，sy在y方向对物体的缩放系数。相对于原点的缩放矩阵形式：P1＝S·P

缩放矩阵：XYP1P2相对原点的一致缩放缩放系数sx和sy可赋予任何正数。小于1缩小物体的尺寸；大于1则放大物体；当sx和sy值相同时，产生一致缩放；sx和sy值不等时产生差值缩放。用缩放方程变换的物体既被缩放，

又被重定位。当缩放系数值大于1时则将坐标位置远离原点。XYP1P2相对原点的一致缩放缩放变换的特性缩放变换改变物体的尺寸。可选择一个在缩放变换后不改变位置的点(固定点)来控制缩放物体的位置。固定点的坐标(xf,yf)可以选择顶点之一、物体中点或任何其它位置。多边形通过缩放每个顶点到固定点的距离而相对于固定点缩放。√4.对称(反射)变换反射(对称)变换是产生物体的镜像的一种变换。相对反射(对称)轴的一维反射镜像是通过将物体绕反射(对称)轴旋转180度而生成的。关于原点反射关于x轴反射关于y轴反射5.√6.错切变换会使物体形状发生变化的变换，

经过错切的物体好象是由已经相互

滑动的内部夹层组成。常用错切变换有两种：改变x坐标值；改变y坐标值。错切变换相对x轴的x方向错切将坐标

位置转换成：x1＝x+shx·yy1＝y坐标位置(x,y)水平地移动一个

与它到x轴距离(y值)成shx比例的量；shx为负，坐标位置向左移动。√7.复合变换矩阵的合并或复合：利用矩阵表示，通过计算单个变换矩阵的乘积，将任意顺序变换的矩阵建立为复合变换矩阵。对于坐标位置的列矩阵表示，以从右向左的次序进行矩阵乘而形成复合变换。即：每个随后的变换矩阵左乘前面的变换矩阵。复合平移：P1＝{T(txn,tyn)·……·T(tx2,ty2)·T(tx1,ty1)}·P复合旋转：P1＝{R(θn)·……·R(θ2)·R(θ1)}·P

复合变换复合缩放：P1＝{S(sxn,syn)·……·S(sx2,sy2)·S(sx1,sy1)}·P复合变换：先缩放后平移再旋转：

P1＝{R(θn)·T(txn,tyn)·S(sxn,syn)}·P注意：矩阵乘法不满足交换率：

M1•M2≠M2•M1，所以变换的结果和变换执行的顺序有关。

只有在两个变换类型相同，或两者分别是一致缩放与旋转变换时，两者可以交换。任意对称(反射)变换关于xy平面内任意线y=mx+