高中数学北师大版2本册总复习总复习 阶段质量评估

第一章推理与证明一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含二个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；…；试观察每组内各数之和与其组的编号数n有什么关系()A．等于n2 B．等于n3C．等于n4 D．等于n(n＋1)解析：第一组内各数之和为1，第二组内各数之和为3＋5＝8＝23，第3组内各数之和为7＋9＋11＝27＝33，由此猜想：第n组内各数之和为n3.答案：B2．给出下列三个类比结论：①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sinαsinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2共中结论正确的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：①②错误，③正确．答案：B3．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是()A．假设至少有一个钝角B．假设至少有两个钝角C．假设没有一个钝角D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角解析：用反证法对命题的假设就是对命题的否定，“至多有一个”的否定是“至少有两个”，故选B.答案：B4．实数a，b，c不全为0等价于()A．a，b，c全不为0B．a，b，c中最多只有一个为0C．a，b，c中只有一个不为0D．a，b，c中至少有一个不为0解析：“不全为0”等价于“至少有一个不为0答案：D5．将全体正整数排成一个三角形数阵：12345678910根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行的从左至右的第3个数是()\f(n2－n＋6,2) \f(n2－n＋4,2)\f(n2－n＋2,2) \f(n2－n,2)解析：第1行1个数，第2行2个数，第3行3个数，第n－1行n－1个数∴1＋2＋…＋(n－1)＝eq\f(n－1·n,2)，∴第n行的第3个数为eq\f(n－1·n,2)＋3＝eq\f(n2－n＋6,2).答案：A6．已知1＋2×3＋3×32＋4×32＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N＋都成立，那么a、b、c的值为()A．a＝eq\f(1,2)，b＝c＝eq\f(1,4) B．a＝b＝c＝eq\f(1,4)C．a＝0，b＝c＝eq\f(1,4) D．不存在这样的a、b、c解析：∵已知等式对一切n∈N＋都成立，∴当n＝1,2,3时也成立．即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝3a－b＋c,1＋2×3＝322a－b＋c,1＋2×3＋3×32＝333a－b＋c，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b＝c＝\f(1,4).))答案：A7．用数学归纳法证明恒等式：1＋2＋3＋…＋n2＝eq\f(n4＋n2,2)，则由n＝k到n＝k＋1时，等式左端应添加的项是()A．k2＋1B．(k＋1)2C．[(k＋1)＋1]2D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2解析：n＝k时，左端为1＋2＋3＋…＋k2，n＝k＋1时，左端为1＋2＋3…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.两式相减，可知等式左端应添加的项是(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.故选D.答案：D8．已知x∈R＋，不等式x＋eq\f(1,x)≥2，x＋eq\f(4,x2)≥3，x＋eq\f(27,x3)≥4，…，可推广为x＋eq\f(a,xn)≥n＋1，则a的值为()A．2n B．n2C．22(n－1) D．nn解析：观察a与n＋1的关系：1→2,4→3,27→4，即(2－1)1→2，(3－1)2→3，(4－1)3→4，故(n＋1－1)n→n＋1，所以a＝nn.答案：D9．数列{an}中，若a1＝eq\f(1,2)，an＝eq\f(1,1－an－1)(n≥2，n∈N)，则a2009的值为()A．－1 \f(1,2)C．1 D．2解析：∵an＝eq\f(1,1－an－1)，又a1＝eq\f(1,2)，∴a2＝eq\f(1,1－a1)＝2.a3＝eq\f(1,1－a2)＝－1.a4＝eq\f(1,1－a3)＝a1＝eq\f(1,2).∴数列{an}的项是周期性出现，周期为3.∴a2009＝a669×3＋2＝a2＝2.答案：D10．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是()A．若f(1)＜1成立，则f(10)＜100成立B．若f(2)＜4成立，则f(1)≥1成立C．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立D．若f(4)≥25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立解析：题设中“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．实际上是给出了一个递推关系，从数学归纳法来考虑，∵f(4)≥25成立，∴f(4)≥16成立，即k的基础值为4，所以A、B、C都错误，故选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．在等差数列{an}中，有Sm＋n＝Sm＋Sn＋mnd，其中Sm，Sn，Sm＋n，分别是{an}的前m，n，m＋n项和，用类比推理的方法，在等比数列{bn}中，有__________________．解析：由等差数列到等比数列的运算性质：“和↔积”，“积↔乘方”可猜测在等比数列中有Am＋n＝Am·An·qmn，事实上，设公比为q，An为前n项积，则有Am＋n＝b1·b2·b3·…·bm＋n＝b1·b1q·b1q2·…·b1qm＋n－1＝beq\o\al(m＋n,1)·q1＋2＋…＋(m＋n－1)＝beq\o\al(m＋n,1)qeq\f(m＋n－1m＋n,2)又Am·An·qmn＝(b1·b2·…·bm)·(b1·b2·…·bn)·qmn＝beq\o\al(m,1)·q1＋2＋…＋(m－1)·beq\o\al(n,1)·q1＋2＋…＋(n－1)·qmn＝beq\o\al(m＋n,1)·qeq\f(m－1m,2)＋eq\f(n－1n,2)＋mn＝beq\o\al(m＋n,1)·qeq\f(m＋nm＋n－1,2)故猜测正确．答案：Am＋n＝Am·An·qmn，其中Am＋n、Am、An分别是{bn}的前m＋n，m，n项之积，q为公比12．设函数f(x)＝eq\f(x,x＋2)(x＞0)，观察：f1(x)＝f(x)＝eq\f(x,x＋2)，f2(x)＝f[f1(x)]＝eq\f(x,3x＋4)，f3(x)＝f[f2(x)]＝eq\f(x,7x＋8)，f4(x)＝f[f3(x)]＝eq\f(x,15x＋16)，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N＋且n≥2时，fn(x)＝f[fn－1(x)]＝________________.解析：由f(x)＝eq\f(x,x＋2)(x＞0)得，f1(x)＝f(x)＝eq\f(x,x＋2)，f2(x)＝f[f1(x)]＝eq\f(x,3x＋4)＝eq\f(x,22－1x＋22)，f3(x)＝f[f2(x)]＝eq\f(x,7x＋8)＝eq\f(x,23－1x＋23)，f4(x)＝f[f3(x)]＝eq\f(x,15x＋16)＝eq\f(x,24－1x＋24)，…∴当n≥2且n∈N＋时，fn(x)＝f[fn－1(x)]＝eq\f(x,2n－1x＋2n).答案：eq\f(x,2n－1x＋2n)13．平面上，周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大，将这些结论类比到空间，可以得到的结论是___________________．解析：平面中的“周长”类比为空间中的“面积”，“平面图形”类比成“空间几何体”，“面积”类比成“体积”，“圆”类比成“球”．答案：在空间几何体中，表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体与球中，球的体积最大．14.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，右图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数，则f(n)＝_____________.解析：由于f(2)－f(1)＝7－1＝6，f(3)－f(2)＝19－7＝2×6，推测当n≥2时，有f(n)－f(n－1)＝6(n－1)，故f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝6[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＋1＝3n2－3n＋1.又f(1)＝1＝3×12－3×1＋1，所以f(n)＝3n2－3n＋1.答案：3n2－3n＋1三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知a是整数，a2是偶数．求证：a是偶数．证明：(反证法)假设a不是偶数，即a是奇数，则设a＝2n＋1(n∈Z)．所以a2＝4n2＋4n＋1.因为4(n2＋n)是偶数，所以4n2＋4n＋1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾，故假设错误，从而，a一定是偶数．16．(本小题满分12分)把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立．(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．解析：(1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交．结论是正确的：证明如下：设α∥β，且γ∩α＝a，则必有γ∩β＝b，若γ与β不相交，则必有γ∥β，又α∥β，∴α∥γ，与γ∩α＝a矛盾，∴必有γ∩β＝b.(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错误的，这两个平面也可能相交．17.(本小题满分12分)将自然数排成螺旋状如图所示；第一个拐弯处的数是2，第二个拐弯处的数是3，第20个及第25个拐弯处的数各是多少？解析：前几个拐弯处的数依次是2,3,5,7,10,13,17,21,26，…，这是一个数列，把数列的后一项减去前一项，得一新数列：1,2,2,3,3,4,4,5,5，…，把原数列的第一项2添在新数列的前面，得到2,1,2,2,3,3,4,4,5,5，…，于是原数列的第n项an就等于此新数列的前n项和，即a1＝2＝1＋1＝2，a2＝2＋1＝1＋(1＋1)＝3，a3＝2＋1＋2＝1＋(1＋1＋2)＝5，a4＝2＋1＋2＋2＝1＋(1＋1＋2＋2)＝7，…，所以，第20个拐弯处的数是：a20＝1＋(1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＋…＋10＋10)＝1＋2×(1＋2＋…＋10)＝111，第25个拐弯处的数是：a25＝1＋(1＋1＋2＋2＋…＋12＋12＋13)＝170.18．(本小题满分14分)数列{an}是这样确定的：a1＝1，an＋1＝pan＋x，p≠0且p≠1，n＝2,3,4，…，试归纳出an的表达式，并用数学归纳法予以证明．解析：a2＝pa1＋x＝p＋x，a3＝pa2＋x＝p(p＋x)＋x＝p2＋(p＋1)x，同理a4＝p3＋(p2＋