高中数学人教A版第二章平面向量 学业分层测评1

学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列说法正确的个数是()(1)温度、速度、位移、功这些物理量都是向量；(2)零向量没有方向；(3)非零向量的单位向量是唯一的．A．0 B．1C．2 D．3【解析】(1)中温度和功不是向量；(2)零向量的方向不确定，而不是没有方向，所以(1)(2)错误．【答案】B2．下列结论正确的是()A．向量必须用有向线段来表示B．表示一个向量的有向线段是唯一的C．有向线段eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(BA,\s\up6(→))是同一向量D．有向线段eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(BA,\s\up6(→))的大小相等【解析】向量除了可以用有向线段表示以外，还可用坐标或字母表示，所以选项A错误；向量为自由向量，只要大小相等，方向相同就为同一个向量，而与它的具体位置无关，所以表示一个向量的有向线段不是唯一的，选项B错误；有向线段eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(BA,\s\up6(→))的方向相反，大小相等，不为同一向量，所以选项C错误、D正确．【答案】D3．给出下列四个命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|；④若a＝0，则－a＝eq\a\vs4\al(0).其中的正确命题有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个【解析】对于①，前一个零是实数，后一个应是向量0.对于②，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定．对于③，两个向量平行，它们的方向相同或相反，模未必相等．只有④正确．故选A．【答案】A4．数轴上点A、B分别对应－1、2，则向量eq\o(AB,\s\up6(→))的长度是()A．－1 B．2C．1 D．3【解析】易知|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2－(－1)＝3，故选D．【答案】D5．(2023·长春十一中期末)若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|且eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，则四边形ABCD的形状为()A．平行四边形 B．矩形C．菱形 D．等腰梯形【解析】由eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))知四边形为平行四边形；由|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|知四边形ABCD为菱形．故选C．【答案】C二、填空题6．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量eq\o(AB,\s\up6(→))是平行向量，与eq\o(BC,\s\up6(→))是共线向量，则m＝________.【解析】因为A，B，C三点不共线，所以eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))不共线，又因为m∥eq\o(AB,\s\up6(→))且m∥eq\o(BC,\s\up6(→))，所以m＝0.【答案】eq\a\vs4\al(0)7．给出以下五个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是________．【解析】共线向量指的是方向相同或相反的向量，它只涉及方向，不涉及大小．很明显仅有①③④.【答案】①③④三、解答题是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图2－1－4所示的向量中：图2－1－4(1)分别找出与eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(BO,\s\up6(→))相等的向量；(2)找出与eq\o(AO,\s\up6(→))共线的向量；(3)找出与eq\o(AO,\s\up6(→))模相等的向量；(4)向量eq\o(AO,\s\up6(→))与eq\o(CO,\s\up6(→))是否相等？【解】(1)eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))，eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→)).(2)与eq\o(AO,\s\up6(→))共线的向量有：eq\o(BF,\s\up6(→))，eq\o(CO,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→)).(3)与eq\o(AO,\s\up6(→))模相等的向量有：eq\o(CO,\s\up6(→))，eq\o(DO,\s\up6(→))，eq\o(BO,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→)).(4)向量eq\o(AO,\s\up6(→))与eq\o(CO,\s\up6(→))不相等，因为它们的方向不相同．9．如图2－1－5所示，已知四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))且eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))，求证：eq\o(DN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→)).【导学号：00680035】图2－1－5【证明】因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|且AB∥DC，所以四边形ABCD是平行四边形，所以|eq\o(DA,\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|且DA∥CB．又因为eq\o(DA,\s\up6(→))与eq\o(CB,\s\up6(→))的方向相同，所以eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→)).同理可证，四边形CNAM是平行四边形，所以eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(NA,\s\up6(→)).因为|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DA,\s\up6(→))|，|eq\o(CM,\s\up6(→))|＝|eq\o(NA,\s\up6(→))|所以|eq\o(MB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DN,\s\up6(→))|.又eq\o(DN,\s\up6(→))与eq\o(MB,\s\up6(→))的方向相同，所以eq\o(DN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→)).[能力提升]1．已知向量a，b是两个非零向量，eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(BO,\s\up6(→))分别是与a，b同方向的单位向量，则以下各式正确的是()A．eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(BO,\s\up6(→)) B．eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(BO,\s\up6(→))或eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))C．eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→)) D．eq\o(AO,\s\up6(→))与eq\o(BO,\s\up6(→))的长度相等【解析】因为a与b方向关系不确定且a≠0，b≠0，又eq\o(AO,\s\up6(→))与a同方向，eq\o(BO,\s\up6(→))与b同方向，所以eq\o(AO,\s\up6(→))与eq\o(BO,\s\up6(→))方向关系不确定，所以A，B，C均不对．又eq\o(AO,\s\up6(→))与eq\o(BO,\s\up6(→))均为单位向量，所以|eq\o(AO,\s\up6(→))|＝|eq\o(BO,\s\up6(→))|＝1.【答案】D2．已知飞机从A地按北偏东30°方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行1000eq\r(2)km到达D地．画图表示向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，并指出向量eq\o(AD,\s\up6(→))的模和方向．【解】以A为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立直角坐标系．据题设，B点在第一象限，C点在x轴正半轴上，D点在第四象限，向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,