结构力学 矩阵位移法

第九章矩阵位移法

仅限于求解杆系结构在静荷载作用下的位移和内力。以位移法(附加约束法)为基础，从有限单元法的角度讲解结构的静力分析。既适用于静定结构，也适用于超静定结构，易于编写通用的计算机程序，尤其对于大型复杂结构，该法具有很大的优越性，可大大减少手算的工作量，是面向计算机的计算方法。本章内容介绍§9-1节位移法概述§9-2节单元刚度矩阵(局部坐标系)§9-3节单元刚度矩阵(整体坐标系)§9-4节连续梁的整体刚度矩阵§9-5节刚架的整体刚度矩阵§9-6节等效结点荷载§9-7节计算步骤和算例§9-8节忽略轴变时矩形刚架的整体分析§9-9节桁架及组合结构的整体分析§9-1节位移法概述⑴力法和位移法均为传统的结构力学的计算方法，其相应的计算手段手算，因而只能解决计算简图较粗略基本未知量数目不太多的结构分析问题。⑵计算机的出现和广泛应用，使结构力学的计算发生了巨大变化，电算能够解决手算难以解决的大型复杂问题。由此产生了适合电算的分析方法——结构矩阵分析。⑶根据所选基本未知量的不同，结构矩阵分析包括：矩阵力法结构矩阵分析一般刚度法矩阵位移法直接刚度法以直接刚度法的程序最为简单且通用性强，应用最广。⑷矩阵位移法是有限元法的雏形，故杆件结构的矩阵分析也称作杆件结构的限元法分析，具体包括两部分内容：§9-1节位移法概述§9-1节位移法概述（a）单元分析：将结构离散成有限个两端固定杆件作为计算单元，按照单元的力学性质（物理关系），建立单元的杆端力和杆端位移的关系—单元的刚度方程，形成单元刚度矩阵。（b）整体分析：在满足变形条件和平衡条件的前提下，将这些单元集合成整体，建立统一坐标系下的结构整体刚度方程，形成整体刚度矩阵，建立结构的矩阵位移法基本方程，进而求出结构的位移和内力。§9-2节单元刚度矩阵(局部坐标系)一.一般单元的刚度方程和刚度矩阵1.单元两端采用局部编码1、22.六个杆端位移组成杆端位移列向量。3.六个杆端力组成杆端力列向量。1EAIL2e1e2§9-2节单元刚度矩阵(局部坐标系)局部坐标系下杆端力与杆端位移的关系(单元刚度方程)§9-2节单元刚度矩阵(局部坐标系)一般单元的刚度方程§9-2节单元刚度矩阵(局部坐标系)杆件一般单元局部坐标系下的单元刚度矩阵§9-2节单元刚度矩阵(局部坐标系)二、单元刚度矩阵的性质⑴单元刚度系数的意义单元刚度矩阵中的每个元素都代表单元杆端单位位移引起的杆端力称之为单元刚度系数。其中表示第j个杆端单位位移引起的第i个杆端力。⑵单元刚度矩阵为对称矩阵。⑶一般单元刚度矩阵为奇异矩阵三、特殊单元刚度方程和刚度矩阵⑴连续梁中的受弯杆件单元⑵桁架结构中杆件单元⑴连续梁中的受弯杆件单元§9-2节单元刚度矩阵(局部坐标系)⑵桁架结构中杆件单元*特殊单元的刚度矩阵存在逆矩阵为非奇异矩阵§9-2节单元刚度矩阵(局部坐标系)忽略轴变时单元的刚度矩阵§9-3节单元刚度矩阵(整体坐标系)一、单元坐标转换矩阵写成矩阵形式§9-3节单元刚度矩阵(整体坐标系)单元坐标转换矩阵单元坐标转换矩阵的性质-----正交矩阵§9-3节单元刚度矩阵(整体坐标系)二、整体坐标系下单元刚度矩阵由由§9-3节单元刚度矩阵(整体坐标系)三、整体坐标系下单元刚度矩阵的性质⑴整体坐标系下单元刚度矩阵与局部坐标系下刚度矩阵同阶性质相同。其元素的力学意义为：⑵整体坐标系下单元刚度矩阵为对称矩阵。⑶一般单元的刚度矩阵是奇异矩阵。四、特殊单元的坐标转换矩阵⑴只考虑弯曲变形时的杆件单元坐标转换矩阵。⑵桁架轴力杆件单元坐标转换矩阵。§9-4节连续梁的整体刚度矩阵一、传统位移法建立整体刚度方程形成整体刚度矩阵②①§9-4节连续梁的整体刚度矩阵写成矩阵形式§9-4节连续梁的整体刚度矩阵连续梁整体刚度矩阵二、单元集成法的力学模型和基本概念单元集成法求结构整体结点力时，分别考虑每个单元对结点力的单独贡献，然后对各单元产生的结点力进行叠加。其特点由“单元直接集成”

§9-4节连续梁的整体刚度矩阵首先考虑单元①的贡献由单元①单独作用产生的整个结构的结点力①①①①①①①+=①②①②①①①②②②①②§9-4节连续梁的整体刚度矩阵①-----单元①的贡献矩阵①①①①①①②②②§9-4节连续梁的整体刚度矩阵②-----单元②的贡献矩阵②②②②②②§9-4节连续梁的整体刚度矩阵②②①①总刚度方程②①总刚度矩阵=各单元贡献矩阵之和*而单元贡献矩阵实际上是单元整体坐标系下的刚度矩阵中的元素在总刚阵中重新定位而形成，如何将单元整体坐标系下的刚度矩阵中的元素定位于总刚阵？§9-4节连续梁的整体刚度矩阵三、单元定位向量；单元集成法集成总刚阵⑴杆件单元分析时每个杆件单元两端的结点位移各有一局部编码。⑵结构整体分析时，作为基本未知量的结点位移在结构中统一进行编码称总码。Ex：1、2、3。⑶各单元的杆端结点位移和结构整体的结点位移，即局部编码和总码之间的对应关系由单元定位向量来确定。⑷单元定位向量：由单元的结点位移的（局部编码）对应的结构的作为基本未知量的结点位移的（总码）组成的向量称。记作§9-4节连续梁的整体刚度矩阵单元定位向量给出了杆件单元的局部码和总码的对应关系。Ex单元①局部码——总码（1）——1（2）——2单元②局部码——总码

（1）——2

（2）——3单元集成法的实施方案：EX10—2求连续梁总刚阵。见书p389

“边定位，边累加”由单元刚度矩阵直接集成总刚阵。步骤：（1）将K置零。（2）将

的元素在K中按定位并累加。此时K=K①（3）将的元素在K中按定位并累加。此时K=K①+K②②①②①

§9-4节连续梁的整体刚度矩阵四、整体刚度矩阵的性质⑴整体刚度系数的力学意义。⑵K为对称矩阵。⑶连续梁的整体刚度矩阵K是可逆矩阵。⑷连续梁的整体刚度矩阵K是稀疏矩阵和带状矩阵。§9-5节刚架的整体刚度矩阵*刚架的整体刚度矩阵的建立仍为：由单元在整体坐标系下的刚度矩阵按单元定位向量定位累加形成，但其复杂性表现在以下几个方面：⑴一般情况下考虑各杆的轴向变形，而略轴变的情况作为特例处理。⑵刚架中每个结点的位移分量要增加到三个：一个角位移和两个线位移。⑶刚架中各杆方向不尽相同，整体分析中需采用整体坐标系。⑷刚架中除刚结点外，还要考虑铰结点等其他情况。——结构的结点位移向量一、结点位移分量的同一编码——总码ABC①②123000040xy§9-5节刚架的整体刚度矩阵——结构的结点力向量二、单元定位向量§9-5节刚架的整体刚度矩阵三、单元集成过程单元①②整体坐标系下的刚度矩阵见ex9—1§9-5节刚架的整体刚度矩阵§9-5节刚架的整体刚度矩阵四、铰结点的处理——结构的结点位移向量单元定位向量7③06543210000②①0yxC2ABDC1§9-5节刚架的整体刚度矩阵⑴⑵⑶⑷⑸⑹1234567⑴⑵⑶⑷⑸⑹123456§9-5节刚架的整体刚度矩阵⑴⑵⑶1234567⑴⑵⑶1234567§9-6节等效结点荷载一、矩阵位移法基本方程矩阵位移法方程的建立，采用了位移法方程建立的思路——即利用基本体系在结点位移和实际荷载共同作用下在附加约束处产生的总的附加约束反力为零的条件。⑴设结点位移单独作用在基本体系中引起的附加约束反力为⑵设荷载单独作用在基本体系中引起的附加约束反力为记作则：矩阵位移法方程为二、综合结点荷载（和等效结点荷载）综合结点荷载与原荷载在基本体系中引起的附加约束反力相等效，存在如下关系——标准形式的矩阵位移法方程§9-6节等效结点荷载三、单元集成法求整体结构的综合结点荷载⑴单元的等效结点荷载（局部坐标系）①查表组建杆件单元固端力向量②确定杆件单元等效结点荷载⑵单元的等效结点荷载（整体坐标系）⑶整体结构的等效结点荷载记将杆件单元整体坐标系下的等效结点荷载按单元定位向量在中进行定位累加即得§9-6节等效结点荷载⑷整体结构的综合结点荷载设整体结构的等效结点荷载为直接结点荷载为则：整体结构的综合结点荷载为Ex9-3见书P400§9-7节计算步骤和算例一、矩阵位移法计算平面刚架的步骤⑴整理数据，对单元和刚架的结点位移进行局部和总体编码。⑵形成局部坐标系下单元刚度矩阵。⑶形成整体坐标系下单元刚度矩阵。⑷单元集成法形成结构整体刚度矩阵。①写出各单元的单元定位向量。②按单元的单元定位向量，定位总刚度矩阵。⑸求综合结点荷载。①求固端约束力向量。②求单元整体坐标系下等效结点荷载。③按单元的单元定位向量，定位累加结构整体等效结点荷载。④计算综合结点荷载。e§9-7节计算步骤和算例⑹解矩阵位移法方程。⑺求局部坐标系下单元杆端力。①先求②再求⑻作内力图。Ex9-4见书P403§9-8节忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析yx4③03012010000②①0C2ABDC1Ex略轴变时求刚架的总刚阵⑴判断位移法的基本未知量对结点位移分量进行统一编码，组成结点位移向量。⑵确定各杆的单元定位向量③②①§9-8节忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析⑶形成整体坐标系下单元刚度矩阵。刚架中各杆尺寸相同，均采用ex9—1中各杆尺寸。①②③§9-8节忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析⑷集成整体刚度矩阵300-300-300+3000+00+00010050005010000000⑴⑷⑶⑹1234⑴⑷⑶⑹1234*104§9-8节忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析0+（12）（-30）00（-30）100+（100）50005010000000⑴⑶1234⑴⑶1234*104§9-8节忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析12+（12）-300（-30）-302005000501000（-30）00