高中数学人教A版1第二章圆锥曲线与方程单元测试 公开课奖

第二章2一、选择题1．设F1、F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是eq\x(导学号33780342)()A．椭圆 B．直线C．圆 D．线段[答案]D[解析]∵|MF1|＋|MF2|＝6，|F1F2∴|MF1|＋|MF2|＝|F1F2∴点M的轨迹是线段F1F22．(2023·黑龙江哈师大附中高二期中测试)中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点(4,0)、(0,2)的椭圆方程为eq\x(导学号33780343)()\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1 B．eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,2)＝1\f(y2,16)＋eq\f(x2,4)＝1 D．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1[答案]D[解析]解法一：验证排除：将点(4,0)代入验证可排除A、B、C，故选D.解法二：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16m＝1,4n＝1))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,16),n＝\f(1,4)))，故选D.3．已知椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是eq\x(导学号33780344)()A．2 B．4C．8 D．eq\f(3,2)[答案]B[解析]设椭圆左焦点F，右焦点F1，∵2a＝10，|MF|＝2，∴|MF1|＝8，∵N为MF中点，O为FF1中点，∴|ON|＝eq\f(1,2)|MF1|＝4.4．(2023·福建八县一中高二期末测试)“1<m<2”是“方程eq\f(x2,m－1)＋eq\f(y2,3－m)＝1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的eq\x(导学号33780345)()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件[答案]C[解析]方程eq\f(x2,m－1)＋eq\f(y2,3－m)＝1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1>0,3－m>0,3－m>m－1))，∴1<m<2，故选C.5．中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到两焦点的距离之和为18，且两个焦点恰好将长轴三等分的椭圆的方程是eq\x(导学号33780346)()\f(x2,81)＋eq\f(y2,45)＝1 B．eq\f(x2,81)＋eq\f(y2,9)＝1\f(x2,81)＋eq\f(y2,72)＝1 D．eq\f(x2,81)＋eq\f(y2,36)＝1[答案]C[解析]椭圆上的点到两焦点的距离之和为18知a＝9，∵两个焦点将长轴长三等分，∴2c＝eq\f(1,3)(2a)＝6，∴c＝3，∴b2＝a2－c2＝72，故选C.6．直线2x＋by＋3＝0过椭圆10x2＋y2＝10的一个焦点，则b的值为eq\x(导学号33780347)()A．－1 B．eq\f(1,2)C．－1或1 D．－eq\f(1,2)或eq\f(1,2)[答案]C[解析]椭圆方程化为标准形式为x2＋eq\f(y2,10)＝1，∴焦点坐标为(0，±3)，当直线过焦点(0,3)时，b＝－1；当直线过焦点(0，－3)时，b＝1.二、填空题7．(2023·江苏泰州市姜堰区高二期中测试)椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1的焦点坐标是\x(导学号33780348)[答案](－1,0)、(1,0)[解析]∵a2＝5，b2＝4，∴c2＝a2－b2＝1，∴椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1的焦点坐标是(－1,0)、(1,0)．8．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为\x(导学号33780349)[答案]eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1[解析]由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋c＝3,a－c＝1))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,c＝1)).故b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.三、解答题9．已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，a＝3b，求椭圆的标准方程.eq\x(导学号33780350)[解析]当焦点在x轴上时，设其方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．由椭圆过点P(3,0)，知eq\f(9,a2)＋eq\f(0,b2)＝1，又a＝3b，解得b2＝1，a2＝9，故椭圆的方程为eq\f(x2,9)＋y2＝1.当焦点在y轴上时，设其方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．由椭圆过点P(3,0)，知eq\f(0,a2)＋eq\f(9,b2)＝1，又a＝3b，联立解得a2＝81，b2＝9，故椭圆的方程为eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1.故椭圆的标准方程为eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1或eq\f(x2,9)＋y2＝1.10．已知点A(－eq\f(1,2)，0)，B是圆F：(x－eq\f(1,2))2＋y2＝4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，求动点P的轨迹方程.eq\x(导学号33780351)[解析]如图所示，由题意知，|PA|＝|PB|，|PF|＋|BP|＝2，∴|PA|＋|PF|＝2，且|PA|＋|PF|>|AF|，∴动点P的轨迹是以A、F为焦点的椭圆，∴a＝1，c＝eq\f(1,2)，b2＝eq\f(3,4).∴动点P的轨迹方程为x2＋eq\f(y2,\f(3,4))＝1，即x2＋eq\f(4,3)y2＝1.一、选择题1．已知方程eq\f(x2,|m|－1)＋eq\f(y2,2－m)＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是eq\x(导学号33780352)()A．m<2 B．1<m<2C．m<－1或1<m<2 D．m<－1或1<m<eq\f(3,2)[答案]D[解析]由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|m|－1>0，,2－m>0，,2－m>|m|－1.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>1或m<－1，,m<2，,m<\f(3,2).))∴1<m<eq\f(3,2)或m<－1，故选D.2．若△ABC的两个焦点坐标为A(－4,0)、B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为eq\x(导学号33780353)()\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1 B．eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1(y≠0)\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0) D．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0)[答案]D[解析]∵|AB|＝8，△ABC的周长为18，∴|AC|＋|BC|＝10>|AB|，故点C轨迹为椭圆且两焦点为A、B，又因为C点的纵坐标不能为零，所以选D.3．已知椭圆的两个焦点分别是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹是eq\x(导学号33780354)()A．圆 B．椭圆C．射线 D．直线[答案]A[解析]∵|PQ|＝|PF2|且|PF1|＋|PF2|＝2a∴|PQ|＋|PF1|＝2a又∵F1、P、Q三点共线，∴|PF1|＋|PQ|＝|F1Q|，∴|F1Q|＝2a即Q在以F1为圆心，以2a为半径的圆上4．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(0，－2)和C(0,2)，顶点B在椭圆eq\f(y2,12)＋eq\f(x2,8)＝1上，则eq\f(sinA＋sinC,sinB)的值是eq\x(导学号33780355)()\r(3) B．2C．2eq\r(3) D．4[答案]A[解析]由椭圆定义得|BA|＋|BC|＝4eq\r(3)，又∵eq\f(sinA＋sinC,sinB)＝eq\f(|BC|＋|BA|,|AC|)＝eq\f(4\r(3),4)＝eq\r(3)，故选A.二、填空题5．已知椭圆的焦点是F1(－1,0)、F2(1,0)，P是椭圆上的一点，若|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项，则该椭圆的方程是\x(导学号33780356)[答案]eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1[解析]由题意得2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2∴4c＝2a，∵c＝1，∴∴b2＝a2－c2＝3，故椭圆方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.6．如图，把椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1、P2、…、P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝\x(导学号33780357)[答案]35[解析]设椭圆右焦点为F′，由椭圆的对称性知，|P1F|＝|P7F′|，|P2F|＝|P6F′|，|P3F∴原式＝(|P7F|＋|P7F′|)＋(|P6F|＋|P6F′|)＋(|P5F|＋|P5F′|)＋eq\f(1,2)(|P4F|＋|P4F′三、解答题7．求满足下列条件的椭圆的标准方程：eq\x(导学号33780358)(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；(2)a︰c＝13︰5，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.[解析](1)由焦距是4可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，2a＝eq\r(32＋2＋22)＋eq\r(32＋2－22)＝8，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,12)＝1.(2)由题意知，2a＝26，即a＝13，又eq\f(a,c)＝eq\f(13,5)，所以c＝5，所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为eq\f(x2,169)＋eq\f(y2,144)＝1或eq\f(y2,169)＋eq\f(x2,144)＝1.8．已知F1、F2是椭圆eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1的两个焦点，P是椭圆上任一点，若∠F1PF2＝eq\f(π,3)，求△F1PF2的面积.eq\x(导学号33780359)