7.5 正态分布(精讲)

正分（讲思维导常见考

考一正分的特【1龙鹤岗市一中高期量

X

N

P

，则

等于（）A．

0.6

B．

0.5

C．

0.4

D．

0.3（2黄市有色第一中学高二期末）设随机变服正分布

N

，若）A．

B．

6

C．

5

D．【答案）A(2）B【解析）由于随机变量

X

，则

，因此，

.故选：A.（2∵随机变量ξ服从正态分（4∵Pξ﹣5（ξ＞a+1∴x=a﹣5与x=a+1关x=4对称，∴a﹣5+a+1=8，∴2a=12，∴a=6，故选B．【隅反1湖宜昌市校次三年级数学检测抽样分析绩占近似服从正态布

，且

(91

．若该校有700人加此次检测估计该校此次检测数学成绩不低于99分的数为（）A．100【答案】

B．125CD【解析】由题意，成绩近服从正态分布则正态分布曲线的对称轴为，

，(91又由，根据正态分布曲线的对称性，可得

1(91X95)]0.252

，所以该市某校有人，估计校数学成绩不低于99分的数为

人，故选：2山东青岛市）某种芯的良品率服正态分布2改造团队的奖励

方案如下：若芯片的良品率不超，不予奖励；若芯片的良品率超但超过，每张芯片奖励元若芯片的良品率超过6%，每张芯片奖励200.则每张芯片获得奖励的数学期望为（）附：随机变量服正态分布

，则

P(

，P

0.9544，P

.A．

52.28

B．

65.87

C．

50.13

D．

131.74【答案】【解析】因为

X

，得出，

，所以

，

P

；1PX0.960.15872

，所以

0.3413

（元）故选：3江西景德镇市）某市弘扬我国优秀的传统文化，组织全市10万中学生参加网络古词知识答题比赛，总分分经过分比赛成绩，发现成绩服从正态分布于90分的生人数约为（）

N

，请估计比赛成绩不小〖参考数据

，A．2300【答案】

B．3170C．3415D．460【解析】依题意知，

82,

4所则

0.023

，所以比赛成绩不小于90分学生人数约为1000000.0232300

故选：考二正分的实应【2（2021·安池州市年新冠疫情以来，医用口罩成为防疫的必需.根据国家质量监督检验

cm标准，过滤率是生产医用口罩的重要参考标准，对于直径小于5微的颗粒的过滤率必须大于90%.为了监控某条医用口罩生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个医口置，检测其过率，依据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的医用口罩的过滤率服从态分布

.假设生产状态正常产出的每个罩彼此独记X表示一天内抽取10个罩中过滤率小于等于的数量

（1求

的概率；（2求X的学期望

E

；（3一天内抽检的口罩中，如出现了过滤率Z小

的口罩，就认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况要当天的生产过程进行检查维修问这种监控生产过程的方法理吗？附机变量

Z

，

，0.9987.【答案））0.013）种监控生产过程的方法合.【解析）抽取口罩中过滤率

内概率P

，所以

，所以

0.9987

，故

0.0129（2由题意可知

~BE

.（3如果按照正常状态生产，）中计算可知，一只口罩过滤率小于或等于

的概率

，一天内抽取的10只口中，出现过滤率小于或等于

的概率

，发生的概率非常小，属于小概率事所以一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维可这种监控生产过程的方法合.【隅反1全国高二课时练习）了解一种植物的生长情况，抽取一批该植物样本测量高(单：，其频率分布直方图如图所.

（1求该植物样本高度的平均

和样本方差s

2

(同一组中的数据用该组区间的中点值作代)；（2假设该植物的高度服正分布

似为样本平均数

x,

近似为样本方差2，利用该正态分布求

P(64.5Z96)

.附：10.5若

Z

(

Z68.3%,(

95.4%

.【答案），s）81.85%.【解析）由题意可得平均数550.10.27585

，s

2

2

75)

2

(75

2

2

(9575)

2

（2由（）知，

Z~N

，从而(64.5Z75)(75Z68.3%110.5Z7510.5)95.4%47.7%2所以

PZ75)47.7%81.85%

.2全高二单元测试工生产某种零件验员每天从该零件的生产线上随机抽取16个零，并测量其尺寸(单位：)根据长期生产经验，可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件服从正态分布N(，．（1假设生产状态正常X表示一天内抽取的个零件中其尺寸在－3＋3之外的零件数，求P(≥1)的学期望；（2下面是检验员在一天内抽的16个零件的尺寸：10.129.9710.019.9510.029.989.2110.0310.049.999.989.9710.019.9710.0310.11

iiiiii经计算得

x

i

x9.96i

，

11s()22)0.2016ii

，其中x为抽取的第i个零件的尺寸，＝1,2，，16.用本平均数作μ估计值用本标准差s作的估计值，利用估计值判断是否对当天的生产过程进行检查？剔－3，＋3之外的数据，用剩下的数据估计和(精确到0.01)．参考数据机变量服正分布(μ－3σ＜＜＋3)＝0.997，0.00270.05.【答案；0.0416需要对当天的生产过程进行检查10.01；0.05.【解析】(1)∵抽取的一个零件尺寸(－3，＋3σ内的概率为0.997，∴零件的尺寸在μ－3，＋3)之外的概率为0.0026，故X～．P(X≥1)＝1－X＝0)＝1－0.9974≈0.0408；X的数期望为E(＝16×0.0026＝0.0416.(2)x9.96，≈0.20，得9.96，∵样本数据可以看到有一个零件的尺寸在

0.20.

之外，∴需要对当天的生产过程进行检查．剔除(－3，＋3)之外的数据9.21后，剩下数据的平均数

，可得的计值为10.01.∵

16

x2i

0.20

2

9.96

2

，i剔除

之外的数据9.21之后剩下数据的方差为

-1510.012

，∴的估计值为

0.05

.3全高二专题练习）有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养万头．根据猪的体重，将其分为三个成长阶段，如下表：阶段

幼年期

成长期

成年期

22体重

[2,18)

根据以往经验两养猪场内猪体重均近似服从正态分布

由我国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期的猪的监控力度，高度重视其质量保证，为了养出健康的成年期猪，甲、乙两个养猪场引入两种不同的防控及养殖模式．已知甲，乙两个养猪场内一头成年期的猪能通质检合格的概率分别为

．（1试估算各养猪场三个阶段猪的数量；（2已知甲养猪场出售一头成期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利400元，若为不合格的猪则亏损200元；乙养猪场出-头年的猪，若为健康合格的猪，则可盈利500元，为不合格的猪，则亏损100元记Y为乙猪场各出售一头成年期的猪所得的总利润随机变量的布列假两个养猪场均能把成年期的猪售完，求两个养猪场的总利润的期望值．（参考数据：若

Z

P(

0.683,P(

ZP(

）【答案）幼年期的猪215头成长期的猪9540，成年期的猪头）135450元.【解析）设各阶段猪的数量别为

n,n1

，∵猪的体重X近服从正态分布N(50,16)，P(2X(505016)n100000.0215（头1

0.9970.954

0.0215

，P(18n（头2(50100000.0215（头）3

，∴甲、乙两个养猪场各有幼年期的猪头，成长期的猪9540头，年期的猪215头（2随机变量Y的有可能取值为900，300

．

371900)300)P(5Y的分布列为

，Y

900300

P

()90020

（元由于两个养猪场均有头成年的猪，且两个养猪场各出售一头成年期的猪所得的总利润的期望为30元，则总利润的期望为

215

（元考三正分与其知的合用【3（2021·内古赤峰）疫情防控期间，为了让大家有良好的卫生习惯某校组织了健康防护的知识测分制动动结束后机抽取了200学生的成绩算得知这200学生的平均成绩为，其中个分成绩分别是30、38产生的0个高分成绩分别是99192、、93

、95、

、

、

．（1）为了评估该校的防控是否效，以样本估计总体，将频率视为概率，若该校学生的测试得分近似满足正态分布

分别为样本平均数和方差认防控有效，否则视为效果不佳．经过计算得知样本方差为210请判断该校的疫情防控是否有效，并说明理由考数据14.5）定：若

，则称变量“似满足正态分布

的概率分布（2学为了鼓励学生对疫情控的配合定对分及以上的同学通过抽奖的方式进行奖励分低于

分的同学只有一次抽奖机会于94的同学有两次抽奖机会抽获得50元金的概率是，获得1元的概率是

．现在从这10高分学生中随机选一名，记其获奖金额，求的分布列和数学期望．【答案）该校的疫情防控是效的，理由见解析分布列见解析，87.5.【解析）据该校的疫情防控有效的，理由如下：14.5，

14.536

，

6514.594

，

22222221.5，6514.5108.5得分小于分的学生有3个得分大于分有个，

，P

，学生的得分都在

．

学生得分近似满足正态分布

的概率分布，因此该校的疫情防控是有效的；（2设这名同学获得的奖金为，的可能值为

50

、

100

、

150

、

200

，PY504

，

61，10108313PY14故Y的布列为：

4，，10YP

38

E

110015087.58

．【隅反1云南明市·昆明一中高三月考（理）某校工会积极组织学校教职工参与“日行万步”健身活动定每日行走不足8千步人不健康生活方式者于14千的人超健康生活式者其他为“一般健康生活方式者.某日，学校工会随机抽取了该校名职工的“日行万步”健身活动数据，统计出他们的日行步(单：千步，且均[内，步数分组，得到频率分布直方图如图所.

（1求被抽取的300名职工日行步数的平均每组数据以区间的中点值为代表，结果四舍五入保留整数.（2由直方图可以认为该校教工的日行步服从正态分布

（1）中求得的平数标准差的似值为2该校被抽取的300名教职工中日行步数(14,18)的人数结果四舍五入保留整数).（3用样本估计总体，将频率为概.若工会从该校教职工中随机抽取2人为“日行万步”动的慰问奖励对象，规定健康生方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人0元般健康生活方式者”奖励金额每人100元健生方式者”奖励金额每人元，求工会慰问奖励金额X望

的分布列和数学期附：若随机变量服正态分布

，则

P(

，P

0.9545(

.【答案）【解析）依题意得

47

）布列答案见解析，数学期望：216.x0.080.060.030.0111.68

.（2因为

~N

，所以

P

(12

2)

，[P(6所以走路步数(14,18)的人数为0.157347

.（3由频率分布直方图知每人得奖励为0的概率为0.02，奖励金额为100元概率为0.88奖励金

额为元概率为0.1.由题意知X的可能取值为0，100，200，300，400.P(0)0.02

2

0.0004；(

12

0.88

；P(200)

12

0.88

2

；(300)C

12

0.176

；0.10.01所以X的分布列为

.XP

00.0004

1000.0352

2000.7784

3000.176

4000.01(X)02000.7784300400216

.2长沙·湖南师大附中高二期末）国家发改委、城乡住房建设部于2年合发布了《城市生活垃圾分类制度实施方案某46个中城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，并且垃圾回收、利用率要达标．某市在实施垃圾分类的过程中，从本市人口数量在两万人左右的A类区（全市共320个中随机抽取了50个行调查，统计这50个区某天产生的垃圾量（单位：吨到如下频数分表，并将这一天垃圾数量超过28吨的区定为“超标”社区．垃