5.1平面向量的概念及线性运算 高考复习

平面向量概念及线性算．向量的有关概念向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的．零向量：长度为0向量，其方向是任意的．单位向量：长度等于1单位的向量．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量．相反向量：长度相等且方向相反的向量．．向量的线性运算向量运算加法减法数乘

定义求两个向量和的运算求与b的反向量－的的运算求实数与量积的运算

法则或几何意义a＝λ>0时a与a的方向相同；当时λa与a的方向相反；当λ＝0时λ＝0

运算律交换律：＋＝＋a结合律：ab)＋＝＋(b＋)ab＝a(－)λ(μa)＝λ)a＋a＝λa＋；λ(ab＝a＋b向量共定理向量b与零向量共线的充要条件是有且只一个实数λ使得＝a.概念方法微思考．线，则存在实数λ使＝a对吗？提示不，因为当a，≠，不存在λ满足b＝.．何理解数乘向量？提示λa的小＝λa，向要分类讨论：当时，λ与a同向当λ<0时λa

与方向；当＝0或为零向量时λa为向量，方向不确．．何理解共线向量定理？提示如＝b，则a；之，如果ab，b≠0则一定存在唯一一个实数，使得＝题组一思考辨析．断下列结论是否正请在括号中打“√”或“×)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小(√)与是相等与，的向无关(√)若a∥，b∥c则∥×)→→若向与向量CD是共线向量，则A，，C，四在一条直线上．(×)当两个非零向量ab共线时，一定有＝a，反之成立．(√)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反(×)题组二教材改编→→→4已ABCD的角线AC和BD相于点O＝a＝C＝________，→＝________.(用，表)答案b－－→→→→解析ABOAb→→→→→ab→→→→[P108B组T5]在行四边形ABCD，ABAD＝AB－AD，四边形ABCD的状为．答案矩→→→解析AB→→→ADDB→→|AC|

3122123212131221232121ABCD题组三易错自纠．于非零向量ab，“＋b0”是“∥”()A充分不必要条件C．要条件

B必要不充分条件D．不分也不必要条件答案A解析b0ab∥abb0．向量，不平行，向量a＋b与＋2b行，则实数＝____________.答案

解析∵a2b0λabμλabμab)λaba

λμ

2→→→设DE分是的边BC上点ADBE若D＝ABλ(λ，λ为数，则λ＋λ的值为．答案

→→→→2→解析DEDBBC2→→→2→AB(BAACAB31∴，，λ题型一平向量的概念．出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若与b共，与c共线，则a与c也线→→③若，，CD是共线的四点，A＝，则ABCD为行四边形；④a＝的要条件＝b且ab；⑤已知，μ实数，若λ＝b，则与b共．其中真命题的序号是．答案③解析①

②b0a→→→→→→③ABDCAB|DC∥DCAD④abbab|∥ab⑤λbλμa③.．断下列四个命题：①若ab则＝；②若＝b，则＝b③＝b，∥b；④若ab，则a＝|.其中正确的个数是()A1B2．3D．答案A解析④思维升华向有关概念的关键向量定义的关键是方向和长度．非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．相等向量的关键是方向相同且长度相等．单位向量的关键是长度都是一个单位长度．零向量的关键是长度是，规定零向量与任何量共线．题型二平向量的线性运算命题点向量加、减法的何意义例全国)非零向量，满＋＝－b，则()AabC．a∥答案A解析方法一∵a∴a.∴a2a·b2.∴a·b∴a⊥b

Ba＝D．b

A.方法二→→ABCDABaAD→→aa|AC⊥AD⊥.A.命题点向量的线性运算例运城模拟)在平行四边形中点为CD的点BE与的点为F，→→→设ABa，＝，向B等于()2a＋3C．ab

B－a2a3答案→→2→→解析BFBE)123C.→全Ⅰ在ABC中，为BC边的中线E为AD中点，等于)→1→1→→AB－B.AB－AC444→1→1→→C.＋ACD.＋444答案A解析→→→1→→EDDBADCB→→1→→×((221AB.

A.命题点根据向量线性运求参数→→→→→例在角中CM3MB，AM＝xAB＋yAC则＝________.y答案→→→→解析ABAM)→→→AM3→→1→AMx，y.4xy思维升华平向量线性运算问的常见类型及解题策略向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则求已知向量的和．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量示出来，进行比较，求参数的值．→→→→→跟踪训练(1)在△中，点D分别在边AC上BDDCCE，＝→→，AC，则等于()5a＋b125C．a12答案→→→1→3→解析DECECA

13－b12D．＋→→→AC)AC→5→5ABC.123→→威模在平行四边形中E，分为边，CD的点，若A＝xAE＋→yAF(x，y∈R)，则－y

→→y→→yx答案→→→→1→解析AABAB→→→→→ADDFAD→→→AyAFyAABy

→AD1

xy题型三共定理的应用例设个零向量与不线．→→→若＝a＋＝2＋8b，＝－)，求证：A，B，三共线；试确定实数，使a＋和＋k共线．→→→证明∵ABab2a8CDa)→→→∴BCCDb)→28ab5(ab→→∴ABBD∵B∴ABD解abλkaλ(ab)()(λk1).ab∴kλλk0.k0∴±1.引申探究→→若将本例(1)中“BC2a＋8”改为“＝＋mb”m为值时D三共？→→解CD(m)3(a)a(3)→B4a(mb

111211→→ADBDλAB.4a(b(ab)

7.m7AD．若将本例(2)中的“共线”为反向共”则k为何值？解

kaakλkabλk)(<0)

kλkk1思维升华证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．向量ab线是指存在不全为零的实数λλ，使λa＋λb＝0立；若λ＋b＝0，当且仅当＝＝0时立，则量，不线．→→→跟踪训练已，B是共线的三点，且O＝mOA＋nOB(m，∈R)．若mn＝，求证：，P三共线；若A，，三共线，求证＋n证明

(1)→→→→→→OPmOAm)OB)→→→→∴OPmOB→→→→BPmBABP→→∵BAB→→AλPλBA→→→→∴OPOB→→→OPmOA.→→→→mOA(n1)OB→→()(OB0→→∵OAB∴OB

∴

∴mn

．于非零向量ab，“＋2＝”是“a∥”()A充分不必要条件C．要条件

B必要不充分条件D．不分也不必要条件答案A解析2b0b∥ab2→→→．知向量＝ab，BCa＋3b，CD－＋，则()A，，三共线C．，，D三共线

B．，，三共线D．B，C，D三共答案B→→→→解析∵BDCDab2→→→→∴ABDDB.如在正方形ABCD中点是DC的点点F上的一个靠近点B的等分点，→那么E等于()→1→AB－AD3→1→C.＋2

→1＋2→－3答案D→→→解析△EFECCF.→→EDCDCB→2→CF.

→→→→1→1→→)→→→→1→1→→)6→1→→→2→EDCABDA2→ABADD.→→→→1→．唐山模拟在△中点满GA＋GB＋＝若存在点O，使得G，→→→且A＝mOB＋nOC，则－n等于()A2B－2．1．－1答案D→→→解析∵GA→→→→→→∴OAOBOC∴OG→1→3→OOCOB1∴，，mnD.2→→→如，知AB圆O的径，点D是圆的两个三等分点＝＝，D等于()AaC．a＋

－ab答案D解析CDCAOC∠∠BOD60°△OCDOOACD→→→1→ADAOACABbD.2→→→→2→如，ABC中ANACP是的一点，若＝mABAC，则实数m的值为()

C.

答案B解析N→→→→6→AmABACmm11→→→→→→．＝＝ABAC＝2则AB＝答案→→→→解析ABABAC△2→→|△ABC→→|23.→→→→→．点是ABC所平面内的一点，且满－OC＝OB－2OA，eq\o\ac(△,则)形状为．答案直三角形→→→→→→→解析B2OAOBOAOC→→→→→→→OB→→→→|AC→→AB0→→AB△→→→→→M是△ABC的上的一点M3MBAMλAB＋λ的为．答案

CM解析MMNNMB

11211111121111

MNBNBM1，ACBA4AN3AB→→→→→→→AλABACANNMABAC.→→．州质检已知为面内两个不共线的向量＝2e－，NPλe＋，若MN，P三共线，则λ答案－解析M→→kNP3e(λe

λ4.→→→11如图所示，设O是△部一点，OAOC－OB与的积之比．解DOD→→→OA2→→∴OBOD∴

aDDC(AD)k222→→→111aDDC(AD)k222→→→1112213∴2eq\o\ac(△,)∴△∶→12.如图所示，在△ABC，，分是，AC的中点与交点，设AB＝，→→＝，试用ab表示向量.解

方法一D→→→→112kakb(k)1→→→→BOkk()k

bakakbk)①222BBDDOakakb(1b②1①②kb(1ak21(1kakkb0.1abk21

123→2BO3→→→AO1a()方法二AOEABC→2→21→→1AOAE×()a)

m→1→1→m→1→1→→→→．图所示，矩形ABCD的角线相交于点O为AO中点，D＝AB＋ADλμ为实数)则

＋

等于()1B.．D.16答案A→→1→1→解析DEDADADB→1→→→3→DA(DA)44，μ，λμA.．，BC圆O不同的三点，线段CO与段AB交点D点与D不合)若→→→OCOAμOBλ