高中数学苏教版第三章概率几何概型 2023版第3章几何概型

几何概型1．了解几何概型的概念及基本特点．(重点)2．熟练掌握几何概型的概率公式．(重点、难点)3．正确判别古典概型与几何概型，会进行简单的几何概型问题计算．(重点、易混点)4．了解随机数的意义，能运用模拟的方法估计概率．(难点)[基础·初探]教材整理几何概型阅读教材P106～P107“例1”上边的内容，并完成下面的问题．1．几何概型的定义设D是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点．这时，事件A发生的概率与d的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的基本事件有无限个；(2)每个基本事件出现的可能性都相等．3．几何概型的概率计算公式一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)＝eq\f(d的测度,D的测度).判断正误：(1)几何概型与古典概型的区别就是基本事件具有无限个．()(2)几何概型的概率与构成事件的区域形状无关．()(3)有一杯1升的水，其中漂浮有1个微生物，用一个小杯从这杯水中取出0.1升，求小杯水中含有这个微生物的概率时，可用几何概型求解．()【解析】(1)√.由几何概型的特点可知正确．(2)√.由几何概型的定义知正确．(3)√.该试验的基本事件具有无限个，故要用几何概型求解．【答案】(1)√(2)√(3)√[小组合作型]测度为长度的几何概型(1)在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为________．(2)某市公交车每隔10min一班，在车站停1min，则乘客能搭上车的概率为________．【精彩点拨】利用测度为长度的几何概型求解．【自主解答】(1)设“X≤1”为事件A，则事件A发生表示X∈[－2,1]，由题意知，D测度为区间[－2,3]长度3－(－2)＝5，d的测度为区间[－2,1]长度1－(－2)＝3，即X≤1的概率为P(A)＝eq\f(d,D)＝eq\f(3,5).(2)由题意知，试验的所有结果构成的区域长度为D＝10min，而事件B的区域长度为d＝1min，故P(B)＝eq\f(d,D)＝eq\f(1,10)，即乘客能搭上车的概率为eq\f(1,10).【答案】(1)eq\f(3,5)(2)eq\f(1,10)1．解答本题的关键是将基本事件的全部及其事件A(B)包含的基本事件转化为相应的长度，再进一步求解．2．求测度为长度的几何概型的步骤．(1)确定几何区域D，这时区域D可能是一条线段，也可能是几条线段或曲线段，并计算区域D的长度．(2)确定事件A发生时对应的区域d，判断d的边界点是问题的关键．(3)利用几何概型概率公式求概率．[再练一题]1．在两根相距8m的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于3m的概率是________．【解析】记“灯与两端距离都大于3m”为事件A，由于绳长8m，当挂灯的位置介于中间的2m时，事件A发生，于是事件A发生的概率P(A)＝eq\f(2,8)＝eq\f(1,4).【答案】eq\f(1,4)测度是面积的几何概型如图3­3­1，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，则P(A)＝________.图3­3­1【精彩点拨】eq\x(判断为几何概型)→eq\x(求出图形的面积)→eq\x(利用公式求概率)【自主解答】圆的半径是1，则正方形的边长是eq\r(2)，故正方形EFGH(区域d)的面积为(eq\r(2))2＝2.又圆(区域D)的面积为π，则由几何概型的概率公式，得P(A)＝eq\f(2,π).【答案】eq\f(2,π)解决此类问题的关键是：1根据题意确认问题是否是与面积有关的几何概型；2确定随机事件对应的几何图形，并利用图形的几何特征计算相关的面积，然后利用公式求解.[再练一题]2．如图3­3­2，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是________.【导学号：11032066】图3­3­2【解析】由几何概型知所求的概率P＝eq\f(S图形DEBF,S矩形ABCD)＝eq\f(2×1－π×12×\f(1,4)×2,2×1)＝1－eq\f(π,4).【答案】1－eq\f(π,4)测度为体积的几何概型已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，求使四棱锥M­ABCD的体积小于eq\f(1,6)的概率．【精彩点拨】先判断为测度是体积的几何概型，然后由体积关系转化为点M到平面ABCD的距离的问题处理．【自主解答】设M到平面ABCD的距离为h，则VM­ABCD＝eq\f(1,3)·S正方形ABCD·h＜eq\f(1,6)，S正方形ABCD＝1，所以h＜eq\f(1,2)，所以只要点M到平面ABCD的距离小于eq\f(1,2)即可．因为所有满足M到平面ABCD的距离小于eq\f(1,2)的点组成以平面ABCD为底面，高为eq\f(1,2)的长方体，其体积为eq\f(1,2).又正方体的体积为1，所以使四棱锥M­ABCD的体积小于eq\f(1,6)的概率为P＝eq\f(\f(1,2),1)＝eq\f(1,2).在几何概型中，如果试验的结果所组成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的总的体积及事件A所分布的体积，然后利用公式求概率.[再练一题]3．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________．【解析】依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1.则满足题意的点区域为位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为P＝eq\f(13,33)＝eq\f(1,27).【答案】eq\f(1,27)[探究共研型]几何概型中测度类型的确定探究1在几何概型中，涉及到的测度大体有几种？如何进行区分？【提示】几何概型涉及到的测度有长度、面积、体积与角度，“测度”的意义要依据D来确定，当D分别是线段、平面图形、立体图形时，相应的测度分别是长度、面积和体积．当几何概型中的线在一个定角内运动时，测度可能为长度或角度．探究2问题1：在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM<AC的概率；问题2：在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作射线CM，交AB于点M，求AM<AC的概率．以上两问题中涉及的测度一样吗？概率分别是多少？【提示】两问题中的测度不一样，问题1中是长度，而问题2中为角度．由几何概型知，问题1中的概率为eq\f(\r(2),2)，问题2中的概率为eq\f(3,4).过半径为1的圆内一条直径上的任意一点作垂直于直径的弦，求弦长超过圆内接等边三角形边长的概率.【导学号：11032067】【精彩点拨】eq\x(判断为几何概型)→eq\x(确定测度类型)→eq\x(计算测度)→eq\x(代入公式求解)【自主解答】设“弦长超过圆内接等边三角形的边长”为事件A，如图所示，不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点作垂直于直径的弦．显然当弦为CD时其长度就是△BCD的边长，弦长大于|CD|等价于圆心O到弦的距离小于|OF|，由几何概型的概率公式得P(A)＝eq\f(\f(1,2)×2,2)＝eq\f(1,2).即弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是eq\f(1,2).在利用几何概型求概率时，关键要明确题目的类型，即是长度型、角度型、面积型，还是体积型，判断的方法是看基本事件发生在一个几维空间内.[再练一题]4．在面积为S的△ABC内部任取一点P，则△PBC的面积大于eq\f(S,4)的概率是________．【解析】如图，过点D作l∥BC交AC于点E.由题知eq\f(AD,AB)＝eq\f(3,4).而P为△ABC内任意一点，则使S△PBC＞eq\f(S,4)的点落在△ADE中，∴P＝eq\f(S△ADE,S△ABC)＝eq\f(AD2,AB2)＝eq\f(9,16).【答案】eq\f(9,16)1．如图3­3­3，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为eq\f(2,3)，则阴影区域的面积为________．图3­3­3【解析】由几何概型的概率公式知eq\f(S阴,S正)＝eq\f(2,3)，所以S阴＝eq\f(2,3)S正＝eq\f(8,3).【答案】eq\f(8,3)2．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机(整点报时)，想听电台报时，则他等待的时间不多于10分钟的概率为________．【解析】记“等待的时间不多于10分钟”为事件A，打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内，则事件A发生．由几何概型求概率公式得P(A)＝eq\f(60－50,60)＝eq\f(1,6)，即“等待报时的时间不多于10分钟”的概率为eq\f(1,6).【答案】eq\f(1,6)3．如图3­3­4，在正方形内有一扇形(见阴影部分)，扇形对应的圆心是正方形的一个顶点，半径为正方形的边长．在这个图形上随机撒一粒黄豆，它落在扇形外正方形内的概率为________．图3­3­4【解析】设正方形边长为a，则S正方形＝a2，S扇形＝eq\f(1,4)πa2，则扇形外正方形内的面积为S＝S正方形－S扇形＝a2－eq\f(π,4)a2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(π,4)))a2，故所求概率为P＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(π,4)))a2,a2)＝1－eq\f(π,4)＝eq\f(4－π,4).【答案】eq\f(4－π,4)4．在区间[－1,1]上随机任取两个数x，y，则满足x2＋y2<eq\f(1,4)的概率为________．【解析】当x，y∈[－1,1]时，点(x，y)构成的区域是一个边长为2的正方形，其面积等于2×2＝4，而满足x2＋y2<eq\f(1,4)的点(x，y)构成的区域是一个半径为eq\f(1,2)的圆的内部，其面积等于eq\f(π,4)，所以所求概率P＝eq\f(\f(π,4),4)＝eq\f(π,16).【答案】eq\f(π,16)5．用橡皮泥做成一个直径为6cm的小球，假设橡皮泥中混入一个很小的砂粒，试求这个砂粒距离球心不小于1cm的概率．【解】设“砂粒距离球