高中数学苏教版第二章数列【全国一等奖】

学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．若a，b，c既成等差数列，又成等比数列，则公比为________．【解析】由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c，,b2＝ac，))∴2b＝a＋eq\f(b2,a)，即a2＋b2＝2ab，∴(a－b)2＝0，∴a＝b≠0，∴q＝eq\f(b,a)＝1.【答案】12．已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a【解析】∵lg(a3a8a13)＝lgaeq\o\al(3,8)＝6，∴aeq\o\al(3,8)＝106⇒a8＝102＝100.又a1a15＝aeq\o\al(2,8)＝10000.【答案】100003．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10【解析】∵{an}为等比数列，∴a5a6＝a4a7＝－8，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＋a7＝2，,a4a7＝－8，))可解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝4，,a7＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝－2，,a7＝4，))∴q3＝－eq\f(1,2)或q3＝－2，故a1＋a10＝eq\f(a4,q3)＋a7·q3＝－7.【答案】－74．在各项均为正数的等比数列{an}中，an＋1<an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，则eq\f(a5,a7)＝________.【导学号：91730040】【解析】设公比为q，则由等比数列{an}各项为正数且an＋1<an知0<q<1，由a2·a8＝6，得aeq\o\al(2,5)＝6，.∴a5＝eq\r(6)，a4＋a6＝eq\f(\r(6),q)＋eq\r(6)q＝5，解得q＝eq\f(2,\r(6))，∴eq\f(a5,a7)＝eq\f(1,q2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))2＝eq\f(3,2).【答案】eq\f(3,2)5．已知数列{an}是等比数列，且a2a6＝2a4，则a3【解析】∵a2a6＝2a4，由等比数列的性质可知，a2a6＝a3a5＝aeq\o\al(2,4)，∴aeq\o\al(2,4)＝2a4，∴a4＝2，∴a3a5＝4.【答案】46．互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，a＋3b＋c＝10，则a＝________.【解析】由题意知a＋c＝2b，∴5b＝10，b＝2，∴a＋c＝4.∵eq\f(a,c)＝eq\f(b,a)，∴a2＝bc，∴a2＝2c，∴a2＋2a－8＝0，解得a＝2或a＝－4.当a＝2时，a＝b＝2不合题意，∴a＝－4.【答案】－47．(2023·南京高二检测)已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q＝________.【解析】设等差数列为{an}，公差为d，d≠0，则aeq\o\al(2,3)＝a2·a6，∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，化简得d2＝－2a1d.∵d≠0，∴d＝－2a1，∴a2＝－a1，a3＝－3a1，∴q＝eq\f(a3,a2)＝3.【答案】38．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1ana【解析】设数列{an}的公比为q，由a1a2a3＝4＝aeq\o\al(3,1)q3与a4a5a6＝12＝aeq\o\al(3,1)q12可得q9＝3，又an－1·anan＋1＝aeq\o\al(3,1)q3n－3＝324，因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以n＝14.【答案】14二、解答题9．数列{an}是等比数列，(1)若已知a3a4a5＝8，求a2(2)若a2＝2，a6＝16，求a10；(3)若a3＝－2，a7＝－16，求a5.【解】(1)∵a3a4a5＝8，∴aeq\o\al(3,4)＝8，a4＝2.∴a2a3a4a5a6＝(a2·a6)·(a3·a5)·a4＝aeq\o\al(2,4)·aeq\o\al(2,4)·a4＝32.(2)∵a2·a10＝aeq\o\al(2,6)，∴a10＝eq\f(a\o\al(2,6),a2)＝eq\f(162,2)＝128.(3)∵a3·a7＝aeq\o\al(2,5)，∴a5＝±eq\r(a3a7)＝±4eq\r(2).又∵a5＝a3q2<0，∴a5＝－4eq\r(2).10．若a，b，c是△ABC中角A，B，C的对边，A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，试判断△ABC的形状．【解】∵角A，B，C成等差数列，∴A＋C＝2B，又△ABC中，A＋B＋C＝π，∴B＝eq\f(π,3).又∵边a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，由余弦定理∴cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋c2－ac,2ac)＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，∴a2＋c2－ac＝ac，∴(a－c)2＝0，∴a＝c，∴△ABC为等边三角形．能力提升]1．若正数a，b，c成公比大于1的等比数列，则当x>1时，下列关于logax，logbx，logcx的说法正确的是________(填序号)．①成等差数列；②成等比数列；③各项倒数成等差数列；④各项倒数成等比数列．【解析】a，b，c成等比数列，则eq\f(b,a)＝eq\f(c,b)，即b2＝ac,2logxb＝logxa＋logxc，即eq\f(2,logbx)＝eq\f(1,logax)＋eq\f(1,logcx)，即eq\f(1,logax)，eq\f(1,logbx)，eq\f(1,logcx)成等差数列．【答案】③2．(2023·启东高二检测)设{an}是公比为q的等比数列，其前n项积为Tn，并满足条件a1>1，a99a100－1>0，eq\f(a99－1,a100－1)<0，给出下列结论：①0<q<1；②T198<1；③a99a101<1；④使Tn<1成立的最小自然数n等于199.其中正确的编号为________．【解析】根据等比数列的性质，如果等比数列的公比是负值，在其连续两项的乘积是负值，根据a99a100－1>0，可知该等比数列的公比是正值，再根据eq\f(a99－1,a100－1)<0，可知a99，a100一个大于1，一个小于1，因为a1>1，所以数列不会是单调递增的，只能单调递减，所以0<q<1，而且a99>1，a100<1，又a99·a101＝aeq\o\al(2,100)<1，①③正确；T198＝a1a2…a99a100…a197·a198＝(a99a100)99>1，②不正确；T199＝a1a2…a100…a198a199＝(a100)199<1，故④正确．【答案】①③④3．设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)．若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.【解析】∵bn＝an＋1，∴an＝bn－1，而{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，∴{an}有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中．∵{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，∴{an}中的连续四项为－24,36，－54,81，∴q＝－eq\f(36,24)＝－eq\f(3,2)，∴6q＝－9.【答案】－94．若{an}是公差d≠0的等差数列，{bn}是公比q≠1的等比数列，已知a1＝b1＝1，且a2＝b2，a6＝b3.(1)求d和q；(2)是否存在常数a，b，使对一切n∈N*都有an＝logabn＋b成立？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．【解】(1)由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋d＝q，,1＋5d＝q2，))解得d＝3，q＝4.(2)假设存在常数a，b.由(1)得an＝3n－2，bn＝4n－1，代入an＝logabn＋b，得3n