32知识讲解-直线、圆的位置关系-(提高)

直、的置系【习标．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；．在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思【点理要一直与的置系1.直与的位关：(1)直线与圆相交，有两个公共点(2)直线与圆相切，只有一个公共；(3)直线与圆相离，没有公共2.直与的位关的定(1)代数法：判断直线

l

与圆C方程组成的方程组是否有.如果有解，直线

l

与圆有共有两组实数解时，直线l圆C相；有一组实数解时，直线l圆C相；无实数解时，直线(2)几何法：

l

与圆C相.由圆的心到直线

l

的距离

与圆的半径r

的关系判断：当

时，直线

l

与圆相；当d时直l与C相；当d时直l与C相要诠：(1)当直线和圆相切时，求切线方，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角，由勾股定理解得.(2)当直线和圆相交时，有关弦长问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定(3)当直线和圆相离时，常讨论圆的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解要二圆切方的法．点

M

在圆上，如图．法一：利用切线的斜率k与心和该点连线的斜率l

k

的乘积等于即k

l

．法二：圆心到线l距离等于半径r．．

,

在圆外，则设切线方程：

y

0

()0

，变成一般式：

kx00

，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出

．要诠：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．常见圆的切线方程：（1过圆

x2y2

上一点

Py

的切线方程是

y

；

22（2）过圆

r

上一点

P

的切线方程是

0

要三求线圆得弦的法．应用圆中直角三角形：半径r

，圆心到直线的距离

，弦长

l

具有的关系r

2

2

2

，这也是求弦长最常用的方法．．用交点坐标：若直线与圆的交坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计弦长．．利用弦长公式：设直l:ykx

，与圆的两交点

,

,y2

，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：

l2|1

=

x

．要四圆圆位关1.圆圆位置系(1)圆与圆相交，有两个公共点；(2)圆与圆相切(切或外)，有一个公共点；(3)圆与圆相离(含或外)，没有公共2.圆圆位置系判：(1)代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有有两组不同的实数解时，两圆相交；有一组实数解时，两圆相切；方程组无解时，两圆相离.(2)几何法：设

的径为r，O的半径为r，圆的圆心距为.112当

r21

时，两圆相交；当当

r1r1

时，两圆外切；时，两圆外离；

000000000000000当当

r2r2

时，两圆内切；时，两圆内含.要诠：判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定这种方法运算量小也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解，两圆的位置关系不明确还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确因此在理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法.3.两公弦长求有种方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．．圆切的数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．（1两圆外离时，有条外公切线和2条内公切线，共4条（2两圆外切时，有条外公切线和1条内公切线，共3条（3两圆相交时，只有条外公切线；（4两圆内切时，只有条外公切线；（5两圆内含时，无公切线．要五圆方．过直线

By

与圆

x22F

的交点的圆系方程是x

2

y

2

DxF

By．以

心系方程是：

(

；．与圆

x22F同的圆系方程是xy2Dx

；．过同一定点

是

12

．【型题类一直与的置系例．已知P（x，y）圆x2

2=R2

的内部，试判断直线xy=R

与圆的位置关系．【答案】相离【解析】∵点（x，y）在圆22

=R2

的内部，∴

．又圆心O，0）到直线xy=R

的距离为d

x2y0

20

，且

y20

，∴

12y00

1，∴2RR

，即＞．∴直线y=R

与圆x2

相离．【总结升华】判定直线与圆的位置关系采用几何法比采用代数法的计算量要小得多，因此，我一般

392采用几何法来解决直线与圆的位置关系的有关问题．392【清堂与有的置系370892例2】例．已知直线lk与曲线:x2y2x21.（1求:论为何值直l和线C恒两个交点（2求当直线l被线C截的线段最短时此线段所在的直线的方【答案）（）

【证明）证法一：将直线

l

与曲线的程联立得kx2x21

，消去y得(

)x

+k+3)x+2(8k+4k+3)=0③∵+k+3)―8(1―k2)(8k+4k+3)2―8k+12=

812，∴方程③有两相异实根，从而，由①②组成的方程组有两组解，即直线l与线恒两个交点．证法二：将曲线的程配方得x―3)2+(y2=4，表示以（，4为圆心，2为径的圆．设圆心到线

l

的距离为d则

2

k|k

2

2

kk21

，即

2r

，∴直线l与线C恒两个交点．证法三：注意到直线l：―y―4k+3=0可为―3=k(x―4)，可知直线l恒定点A（4∵曲线是（3，4为圆心，为半径的圆证二）又22

－－8×3+21＜0即点A圆C内∴直线

l

与曲线C有两个交点．（2设直线

l

被曲线C所的线段为AB当AB时|AB|最，直线PQ的率k，所以直线的率AB

k

PQ

43

，其方程l：

【总结升华】证一抓住了直与圆的位置关系的代数特征，从而转化为对方程的解的研究，这是研究直线与曲线的位置关系的基本方法；证法二抓住了直线与圆的位置关系的几何特征，从而化为研究圆心到直线的距离，抓住几何特征对于研究圆的问题特别有效；证法三通过判定直线过圆内一点，从而使问题获证．由上述三种解法可知，解题的切入点不同，解法就有优劣之分．因此，在解题时审题要慢，要仔细地分析题意，透彻地理解题意，挖掘其中的隐含条件，从而找到解决问题的捷径．举反：【变式】若直线与线

y

有公共点，则的范围是（）A

[

B

2]

11121111111112111111C．

2,3]

D．

2,3]【答案C【解析】曲线方程可化简为

，即表示圆心为2,3径2的半圆，依据数形结合，当直线

y

与此半圆相切时须满足圆心（2,3到直线

y

距离等于2，解得

或

因为是下半圆故可得

（舍线（时解得

，故

2

，所以C确．【变式】已知直线

l

：，：(x2+(y―2)

=25则为意实数时，

l

与C是必相交？【答案】相交类二切问例．过点A4，―3）作圆(x2+(y―1)2=1的线，求此切线方程．【思路点拨判点在圆上或外果点在圆上则有一条切线果在圆外有条切线例中很明显点在圆外．【答案】15x+8y―36=0【解析】∵2―32＞1∴点A圆外．①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为―4)．因为圆心（3，）到切线的距离等于半径1，所以

|kk|

，得k

158

．所以切线方程为

y

158

(

，即．②若切线斜率不存在，圆心（，1）到直线距离也为，这时直线与圆也相，所以另一条切线方程是x=4，综上，所求切线方程为15x+8y―36=0或．【总结升华】求圆的切线方程一般有三种方法：（1直接法：应用常见结论，直接写出切线方程；（2待定系数法；（3定义法．一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况．举反：【变式2016春长春末）已知圆C：(―

y―4)2，直线l过定点（1，0（1若l与圆C切，求l的程；（2若l一圆C交于，Q两，求三角形CPQ面积的最大值，并求此时直线l的程．【思路点拨）通过直线l的斜率存在与不存在两种情况，利用直线的方程圆C相切，圆心到直线的距离等于半径，即可求l的程；（2）设直线方程为kx―y―k，求出圆心到直线的距离，弦长，得到三角C的积的表达式，利用二次函数求出面积的最大值的距离，然后求出直线的斜率，即可得到l的线方程．【答案）=1x―y―3=0）=―1或=7―【解析）若直线l的斜率不存，则直线l=1，符合题意．

11111②若直线l斜存在，设直线l的方程为=k(―，即kx―y―k．由题意知，圆心3）到已知直线l的离等于半径，11111即：

|3k|

，之得k

34

．所求直线l的程是x=1或x―4y―3=0（2直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0设直线方程为―y―k=0则圆心到直线l的离

|2k|又∵三角形面积

S

12

d2422∴当

时，S取最大值．∴

|2k|2

2

，k=1或k=7∴直线方程为y=―1，或y=7x7【变式】已知点P(

x

0

，

y

0

)是圆

:2y

上一点，求证：过

()00

的圆

的切线方程是：

x

【解析】当

x0

时，过P点线方程为

当

x0

时，可设切线斜率为k.法一：方程组，判别式为；过P切方程

yy(x0

∴

y(xy代00

2

y

2

r

2∴

x

2()]2r0由eq\o\ac(△,)，解

(繁琐，过程略从而可得切线方程：

y0()即

x

法二：∵

OP

，由

OP切线l

，∴

∴切方程为：

y0()

即

x

法三：平面几何点到线l的离为半径；设过P线方程

yy(x0

即

kxykx0

121121(121121(k2k2∴

d

y0k2

∴

r(k2y00

0∴

k(x2)kxy00∴

2kkxy00

∴

()

∴

下同法二.类三弦问例．直线

l

经过点（，）并且与圆：x2

2

=25相截得的弦长为

，求

l

的方程．【思路点拨】求弦长问题主要使用几何方法，即解由半径、弦心距和弦长的一半组成的直角三形，进一步求弦长．【答案】或2x―y―5=0【解析】法一：根据题意知直线

l

的斜率存在，设直线

l

的方程为y―5=k(x―5)圆心（0，0）到直线的距离

|5

，在由弦长的一半、半径和距离

构成的直角三角形中，|k

2

2

，解得

12

或k=2故直线

l

的方程为x或2x―y―5=0．法二：根据意知直线l的率存在，设直线l的程y―5=k(x―5)与C相于A（x，yx，）联立方程

y(x225

，消去y，得(2+1)x2―k)x+25k(k∴―k)]+1)·25k(k＞0，解得k＞0又

x12

10k(1)25(k，xxk2k2

．由斜率公式，得y―y=k(x―x)∴

||

()

)

(1))[()2xx21

2

)

k2(1)k(2)

．两边平方，整理得2k2―5k+2=0，

001212001212解得

k

12

或，合题意故直线l的程x或2x―y―5=9【总结升华设线l的程为圆O的程为x―x)2+(y―y2=r，弦长的方法有以下两种：．（1何法由圆的性质知圆作中，|BC|=r―d

l

的垂线足为段的点图所示则弦长，即

ABr

2

2

．（2代数法：解方程组

()2)220

，消元后可得关于x+x，x·x或y，y·y的关系式，则|AB|2)x221[()22举反：

2

y](12【变式】已知圆C经坐标原点和2，2圆在轴上．（Ⅰ）求圆的程；（Ⅱ）设直线l经点（，2l与C相所得弦长为2，直线l的程【思路点拨根据圆C过坐标原点和，2圆在x轴上，求出圆心与半径，即可求圆的程；（Ⅱ）分类讨论，利用圆心到直线的距离公式，求出斜率，即可得出直线方程．【答案）

x

2y2

）―1=0或3x+4－11=0【解析）圆C的心坐标为（，依题意，有

|

(a2)

22

，即

2

，解得a，所以圆的程为

2y

．（Ⅱ）依题意，圆C的心到直线l的离为1所以直线x=1符题．设直线l方为(x即yk，|k则，3解得，4所以直线l的程为

34

(x

，

12121212121212121212121211即x+4．12121212121212121212121211综上，直线l的程为―1=0或x+4y11=0类四圆圆位关例5．已知圆Cx2+y22―5=0，圆C+y+2x―2my+m―3=0，问m为值时圆C和圆C相外切？2）圆C与内？【答案）―5或）―2＜＜―1．【解析】对圆C，C的程，配方得C：―m)2

=9C：+(y―．（1如果圆与圆C相外切，则有

(mm

，即(m+1)

+(m+2)

=25，解得―5或m=2．（2如果圆与圆C内含，则有

(2

2

，即(m+1)

+(m+2)

＜12

+3m+2＜0解―2＜＜．故（）当―5或m=2时圆与圆相外切）＜m―1时圆C与圆内含．【总结升华】利几何法判定圆的位置关系比用代数法（即解两圆方程联立方程组的方法）要简捷些，但需要注意的是，我们这里所说的几何法仍然是在解析几何前提下的几何法，即利用圆方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d和圆的半径R和r根据R+r与R―r的小关系判定即可．举反：【变式】当a何值时，圆：x2

+y2―2ax+4y+(a―5)=0和圆C：x2

+y2+2x2相．【答案】当＜＜或＜＜2时圆与圆相【变式】已知圆C：2+y+2x，Cx2+y2―4x+2y―11=0，求两圆的共弦所在的直线方程及公共弦长．【解析】因圆的交点坐标同满足两个圆的方程，联立方程组，消去x所在的直线方程，利用勾股定理可求出两圆公共弦长．

和y

项，即得两圆的交点设两圆交点为A（x，y（x，yA两坐标是方程组

yy

①②的解，①②3x．∵A、两坐标都满足此方程，∴即两圆公共弦所在的直线方程．易知圆的圆心为―13径r=3．又到直线AB的离为

||32

．∴

ABr

3

24，即两圆的公共弦长为．5【总结升华两的公共弦所的直线方程需两个圆的方程相减即可是为若两圆相，其交点坐标必须满足相减后的方程；另一方面，相减后的方程为二元一次方程，即直线的一般程，故此方程即为两圆公共弦所在的直线方程在求两圆的公共弦长时应意数形结合思想方法的灵运用．类五最问例．已知实数x、y满方程x―4x+1=0，求）

yx

的最大值）y的最小值．

2222【思路点拨】将x

+y2―4x+1=0、

yx

、―x赋几何意义，利用数形合来解决．【答案）

3

（2

【解析】将实数x、y看点（，）的坐标，满足x+y2的（x，y）组成的图形是以M（2，0为圆心，半径为3的，如图所示．（1设

y即是圆上的点与点O连的斜率xxx由图知，直线y=kx圆M在一象限相切时，k取大值．此时有⊥PM，

||

3

，，∴∠POM=60°此时

k60

，∴

yx

的最大值为

3

．（2设―x=b，则b直线在y上截距．由图知，当直线y和圆M在四象限相切时，b（＜0）取最小值，此时有

|2

，解得

6

，∴―x的小值是

．【总结升华】利用数形结合解决最值问题时，首先从代数演算入手，将代数表达式赋予几何意，看成某几何量的大小，根据图形的几何性质，观察出最值出现的时机和位置，从而解决求代数表式的最值问题这用几何方法解决代数题的常用方法数形结合常的数形结合点是直线方程的程、过两点的斜率公式、平面内两点间距离公式、直线在y轴的截距等．举反：【清堂与有的置系370892例4】【变式】已知实数x，y满

y-2

，求(22

的最大值；的小值．【答案）（2

2【解析】

2-23y以化为(-于是(x，y)可看作是以如图

(-1,3)

为圆心，2为径的圆上的点．（1x+y2可作是圆上的点到原点的距离的平方，由图显然最大为2r=4，所以2（2）解法同例（2

+y

的最大值为16【变式】直线

2与x

2

y

2

相交于A、B两（其中、b是数是直角三角形（O是坐标原点点P（，）与点，1之间距离的最大值为A

B．2C．