离散时间信号频域分析

广州大学物理与电子工程学院1.3离散时间信号的频域分析第一章离散信号与系统分析主要内容

一、离散Fourier级数（DFS）二、离散Fourier级数的基本性质三、离散时间Fourier变换（DTFT）四、离散时间Fourier变换的性质五、频域抽样定理重点与难点重点1、DFS的定义与性质2、DTFT的定义与性质难点1、周期序列的周期卷积2、离散非周期序列与其DTFT的对称特性3、频域抽样定理一、离散Fourier级数1、离散Fourier级数的定义：

称为周期序列的离散Fourier级数(DFS)，也称为周期序列的频谱。一、离散Fourier级数周期为N的序列的频谱也是周期为N的序列2、离散Fourier级数的周期性：例1：求周期为4序列的频谱解：解：矩阵形式表示：={2，2，-2，2}例1：求周期为4序列的频谱二、离散Fourier级数的基本性质1.线性特性二、离散Fourier级数的基本性质2.位移特性周期序列的位移2.位移特性(a)时域位移特性

序列在时域的位移，对应其频域的相移。二、离散Fourier级数的基本性质(b)频域位移特性

序列在时域的相移，对应其频域的位移3.对称特性若为实序列，即，则有：二、离散Fourier级数的基本性质4.周期卷积特性周期卷积的定义：

周期卷积是两个等周期的周期序列的卷积运算。周期卷积的结果仍为相同周期的周期序列。二、离散Fourier级数的基本性质例3：周期N=3的序列如图所示，试求012k121

周期卷积与线性卷积类似，只是在一个周期内求和。周期卷积的矩阵表示：例：N=4二、离散Fourier级数的基本性质4.周期卷积特性

时域周期卷积定理：

频域周期卷积定理：

时域的周期卷积对应频域的乘积。二、离散Fourier级数的基本性质

时域的乘积对应频域的周期卷积。5.Parseval定理

时域周期序列的功率等于频域周期序列的功率。二、离散Fourier级数的基本性质X(ejW

)是W的连续函数

X(ejW)是周期为2p的周期函数IDTFT：DTFT:序列的DTFT定义三、离散时间Fourier变换(DTFT)例4：

试求序列x[k]=aku[k]的DTFT。

当|a|>1时，求和不收敛，序列的DTFT不存在。

当|a|<1时，解：DTFT的收敛性

定义X(ejW)的部分和为：即x[k]绝对可和。一致收敛平方可和，即能量有限均方收敛

若序列满足绝对可和，则序列存在DTFT。（充分条件）

若序列满足平方可和(能量有限)，存在DTFT。（充分条件）三、离散时间Fourier变换(DTFT)1.线性特性若：则有：四、离散时间Fourier变换的性质若则

序列的时域位移对应频域的相移2.时移特性四、离散时间Fourier变换的性质若则

序列的频域的频移对应时域相移3.频移特性四、离散时间Fourier变换的性质例6：已知x[k]的频谱如图所示，试求y[k]=x[k]cos(pk)的频谱。解：若：则：4.对称特性四、离散时间Fourier变换的性质4.对称特性当x[k]是实序列时，有：四、离散时间Fourier变换的性质证明：由于x[k]为实序列，所以有x[k]=x*[k]，从而有：当x[k]为实偶序列时，即x[k]=x*[k]

，x[k]=x[-k]，有

所以，X(ejW)是W的虚奇函数。当x[k]为实奇序列时，即x[k]=x*[k]

，x[k]=-x[-k]

，四、离散时间Fourier变换的性质所以，X(ejW)是W的实偶函数。4.对称特性x[k]为虚偶序列，

x[k]为虚奇序列，

思考题：例5：已知x[k]是实奇序列，且x[k]的DTFT是X(eiΩ)。证明X(eiΩ)

是虚奇函数。例7：试求序列y[k]的DTFT。5.卷积特性

序列时域的卷积对应频域的乘积序列时域的乘积对应频域的卷积四、离散时间Fourier变换的性质6.频域微分四、离散时间Fourier变换的性质序列时域的能量等于频域的能量！证:7.Parseval定理四、离散时间Fourier变换的性质例8：已知x[k]为一有限长序列且不计算x[k]的DTFTX(ejW)，试直接确定下列表达式的值。

解：(1)(2)(3)(4)(5)

(1)(2)(3)(4)(5)是连续的周期函数。频域抽样定理的引出：

五、频域抽样定理问题1：如何用计算机处理x[k]的频谱？解决方法：问题2：频谱离散化之后对应序列的与原来的序列有什么关系？——频域抽样定理序列频谱的离散化，对应其时域序列的周期化。频率抽样定理：

五、频域抽样定理问题3：时域序列x[k]如何周期化？

结论1：当周期化后的周期N小于序列长度时，周期化后的序列会出现混叠(aliasing)。序列的周期化

结论2：当周期化后的周期N大于等于序列长度时,周期化后的序列与原序列一个周期内的值相同。X(ejW)在频域的离散化导致对应的时域序列x[k]的周期化。x(t)在时域的离散化导致对应的频谱函数X(jw)的周期化。时域抽样频域抽样CTFTDTFTIDTFTIDFS

五、频域抽样定理频域抽样定理例9：已知有限序列x[k]={-1,-1,4,3；k=0,1,2,3}，序列x[k]的DTFT为X(ejW)。记X(ejW)在{W=2p

m/3;m=0,1,2}的取样值为X[m]，求IDFS{X[m]}

。IDFS{X[m]}=x[k]+x[k+3]+x[k-3]={2,-1,4;k=0,1,2}解：

X(ejW)在频域的离散化导致对应的时域序列x[k]的周期化。利用频域抽样定理1、离散Fourier级数六、小结1)DFS的定义：2)DFS的周期性：六、小结2、离散Fourier级数的基本性质1)线性特性2)位移特性(a)时域位移特性:(b)频域位移特性:3)对称特性4)周期卷积时域周期卷积定理：频域周期卷积定理：5)Parseval定理六、小结3、离散时间Fourier变换（DTFT）IDTFT：DTFT:1)DTFT的定义2)DTFT的收敛性即x[k]绝对可和。则x[k]平方可和。

若序列满足绝对可和，则序列存在DTFT。（充分条件）

若序列满足平方可和，