离散傅里叶变换

第3章离散傅里叶变换3.1傅里叶变换的几种形式3.2离散傅里叶级数3.3离散傅里叶变换3.4频域采样理论3.5DFT的应用傅里叶生平1768年生于法国1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”1829年狄里赫利第一个给出收敛条件拉格朗日反对发表1822年首次发表在“热的分析理论”一书中傅里叶的两个最主要的贡献——“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”

——傅里叶的第二个主要论点傅里叶变换是在傅里叶正交函数展开的基础上发展起来的，傅里叶变换建立了以时间t为自变量的“信号”与以频率f为自变量的“频率函数”（频谱）之间的某种变换关系，可以将信号从时域映射到频域。由于采用频域分析方法较之经典的时域方法有许多突出的优点，傅里叶分析方法已经成为信号分析与系统设计不可缺少的重要工具。考虑到信号时域和频域都有连续和离散两种情况，因此存在四种形式的傅里叶变换对。到目前为止，我们已经学习了三种形式的傅里叶变换：（1）周期连续信号的傅里叶级数，这个周期连续信号的频谱系数在频域上是离散的、非周期的。（2）非周期连续函数的傅里叶变换，这个傅里叶变换的结果在变换域的频谱是连续的、非周期的。（3）非周期离散序列的离散时间傅里叶变换，这种傅里叶变换的频谱是连续的、周期的。其中，第一种和第二种变换都是针对连续时间信号的，而第三种变换是针对离散时间信号的。回想这三种傅里叶变换，我们不难验证，通过傅里叶变换或傅里叶逆变换后，时域中的一个周期函数对应频域中的一个离散序列，时域中的一个非周期函数对应频域中的一个连续函数，反过来也是一样，即周期离散非周期连续以上三种傅里叶变换，尽管在理论上有重要意义，但在实际中往往难于实现，尤其在数字计算机上实现是困难的，因为它们总有一个域是连续的。为此我们需要一种时域和频域上都是离散的傅里叶变换对，这就是离散傅里叶变换，简称DFT。离散傅里叶变换的导出可以有各种方法，比较方便、同时物理意义也比较清楚的是从离散傅里叶级数着手。由于时域和频域都是离散的，因而这种傅里叶变换对有其特殊的性质，这些性质使离散傅里叶变换在实际应用中会存在一些特殊问题，因此有必要对它们进行仔细的了解。离散傅里叶变换由于有快速计算方法，因而不仅有理论意义，也有实际意义，在数字信号处理实现中起着重要的作用。为了对各种形式的傅里叶变换有个总体认识，我们在这一章的开始首先回顾各种傅里叶变换，这样也就明确了DFT在傅里叶变换中所占的地位和研究DFT的目的。然后，我们再了解DFT是怎样导出的，为此我们先讲述离散傅里叶级数，在得到DFS之后，DFT也就随之得到了。接下来，我们要研究DFT的性质和应用，最后还要讲述DFT解决具体问题时所遇到的一系列技术性问题，这是这一部分的难点。3.1傅里叶变换的几种形式3.1.1连续时间、周期信号的傅里叶级数3.1.2连续时间、非周期信号的傅里叶变换3.1.3离散时间、非周期信号的傅里叶变换3.1.4离散时间、周期信号的离散傅里叶级数在深入讨论离散傅里叶变换DFT之前，先概述四种不同形式的傅里叶变换对。一、三角函数形式的傅里叶级数直流分量基波分量n=1

谐波分量n>13.1.1连续时间、周期信号的傅里叶级数直流系数余弦分量系数正弦分量系数周期信号的频谱Fn为展开式中各频率分量的幅度，一般是复函数二、复指数形式的傅里叶级数周期信号频谱的数学表达式信号的频谱:振幅谱,相位谱.f(t)tT解:(n为奇数)(n为偶数为0)例1：计算下图傅里叶级数和频谱(n为奇数)(n为偶数时为0)单边谱和双边谱三、三角函数级数与复指数级数的关系由前知由欧拉公式其中引入了负频率指数形式的傅里叶级数的系数两种傅氏级数的系数间的关系积分区间不一样，[0,T];[-T,0]双边傅里叶级数单边傅里叶级数3.1.1连续时间、周期信号的傅里叶级数傅立叶系数Fk表示组成周期信号f(t)的各个复指数分量之复数幅度傅立叶系数Fk表示组成周期信号f(t)的各个复指数分量之复数幅度傅立叶系数Fn表示组成周期信号x(t)的各个复指数分量之复数幅度周期信号的幅度谱只会出现在离散频率点上，这种谱称为离散谱，它是周期信号频谱的主要特点。图3-1连续时间信号傅里叶变换对示意图可以看出，对于一个以T为周期的周期矩形脉冲信号，可以利用傅立叶级数的指数形式方便地分析出其离散频谱。基频越低（即周期T越长）其频谱的谱线越密。对于一个周期信号，一般可以分解成直流分量、基波和无穷多个高次谐波分量的叠加。各次谐波的频率是基频的整数倍；各次谐波的振幅一般也不同，通常高次谐波分量的幅值较小。3.1.2连续时间、非周期信号的傅里叶变换此外需要指出的是，从频谱图可以看出，非周期信号的频率成分遍布整个频率轴，但信号的能量主要集中在频谱函数的第一个零点以内的频率范围上。科学界通常规定这个频率范围为信号的频带宽度，简称带宽，记为其中τ为脉冲宽度，也就是信号的持续时间。很明显，信号的持续时间与其频带宽度成反比。这就是为什么如果我们为了提高信号传输速率，即压缩信号的持续时间，就必须拓宽传输线路的带宽。可见，非周期信号（如单个矩形脉冲）的频谱是连续曲线。与相应的周期函数（如周期矩形脉冲）的离散频谱的包络变化一致。再一次显示周期函数与非周期函数的内在联系。3.1.3离散时间、非周期信号的傅里叶变换表3-1 三种傅里叶变换形式的归纳

时

域频

域FS连续，周期离散，非周期FT连续，非周期连续，非周期DTFT离散，非周期连续，周期将以上三种傅里叶变换时域和频域对应关系归纳为表3-1。3.1.4离散时间、周期信号的离散傅里叶级数前面讨论的三种傅里叶变换对，都不适用在计算机上运算。我们感兴趣的是时域及频域都是离散的情况，这就是离散傅里叶级数（变换）（DFS）。根据以上讨论，时域离散信号其频谱具有周期性，同时为使频域离散，则信号时域必须具有周期性。因此，DFS必是一种时域、频域均为离散和周期的一种傅里叶变换。3.2离散傅里叶级数3.2.1离散傅里叶级数的推导3.2.2离散傅里叶级数的性质3.2.1离散傅里叶级数的推导

正如连续时间周期信号可以用傅里叶级数表示一样，离散周期序列也可以用离散傅里叶级数表示，也就是用周期为N的复指数序列来表示。

表3-2表示了连续周期信号与离散周期序列的复指数对比。表3-2

连续周期信号与离散周期序列的复指数对比连续周期函数FS（3-1）离散周期序列DFS（3-7）科学上定义为离散时间周期序列的离散傅立叶级数系数（DFS），记为其逆变换即上述两式构成一个离散周期信号的离散傅立叶级数对。它们都是以N为周期的离散周期序列。注意：离散傅立叶级数（DFS）由于是有限项求和，所以总是收敛的时域、频域都具有离散、周期特性。图3-2的幅度特性可见，离散时间周期序列的频谱也是频域的离散周期序列。离散傅立叶级数（DFS）对周期序列实现了时域离散和频域离散的对应关系。3.2.2离散傅里叶级数系数的性质1．线性2．移位特性3．周期卷积3.3

离散傅里叶变换（DFT）--有限长序列的离散频域表示3.3.1从离散傅里叶级数到离散傅里叶变换3.3.2DFT和Z变换、DTFT之间的关系3.3.3离散傅里叶变换的性质3.3.1从离散傅里叶级数到离散傅里叶变换由上一节的讨论可知，周期序列实际上只有有限个序列值有意义，因而它和有限长序列有着本质的联系。本节将根据周期序列和有限长序列之间的关系，由周期序列的离散傅里叶级数表示式推导得到有限长序列的离散频域表示即离散傅里叶变换（DFT）。

一.预备知识

1.余数运算表达式如果，

m为整数；则有：此运算符表示n被N除，商为m，余数。

例如：

(1)(2)先取模值，后进行函数运算;而 视作将周期延拓。2.二.有限长序列x(n)和周期序列的关系

=,0nN-10,其他n周期序列是有限长序列x(n)的周期延拓。有限长序列x(n)是周期序列的主值序列。图3-4有限长序列及其周期延拓定义从n=0到（N-1）的第一个周期为主值序列或区间。三.周期序列与有限长序列X(k)的关系同样，周期序列是有限长序列X(k)的周期延拓。而有限长序列X(k)是周期序列的主值序列。四.从DFS到DFT从上式可知，DFS,IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值区间进行。因此可得到新的定义，即有限序列的离散傅氏变换(DFT)的定义:,0kN-1,0nN-1或者：注意：DFT适应于有限长序列，长度为N的有限长序列x(n)，离散傅里叶变换X(k)仍然是长度为N的有限长序列。例3-23.3.2DFT和Z变换、DTFT之间的关系图3-5DFT与Z变换和序列傅里叶变换的关系图3-6几种幅度特性曲线3.3.3离散傅里叶变换的性质本节讨论DFT的一些性质，它们本质上和周期序列的DFS概念有关，而且是由有限长序列及其DFT表示式隐含的周期性得出的。以下讨论的序列都是N点有限长序列，用DFT［·］表示N点DFT，且设1．线性（3-24）式中，a，b为任意常数。该式可根据DFT定义证明。若两个序列长度不等，取长度最大者，将短的序列通过补零加长，注意此时DFT与未补零的DFT不相等。2．圆周移位（1）圆周移位定义。图3-7圆周移位过程示意图（N=6）（2)时域圆周移位定理（2)时域圆周移位定理3．圆周卷积图3-8圆周卷积示意图(N=7)4．共轭对称性（1）圆周共轭对称和圆周共轭反对称（2）实序列DFT的对称性（3）任意序列DFT的对称性3.4频域采样理论3.4.1频域采样3.4.2内插恢复离散傅里叶变换相当于信号傅里叶变换的等间隔采样，也就是说离散傅里叶变换实现了频域的采样，便于计算机计算。那么是否任一序列都能用频域采样的方法去逼近呢？能否由频域采样值来恢复原来的信号（或频率函数），其限制条件是什么，内插公式又是什么？这是我们这一节要讨论的问题。3.4.1频域采样图3-10频域采样点数N<M时频域恢复情况示意图3.4.2内插恢复图3-11内插函数的零极点图3-12内插函数幅度特性与相位特性(N=5)内插函数的另一重要特点是具有分段线性相位特性。图3-13由内插函数求频率响应的示意图3.5DFT的应用3.5.1用DFT计算线性卷积3.5.2用DFT进行频谱分析3.5.1用DFT计算线性卷积1．用圆周卷积计算线性卷积的条件（1）线性卷积（2）圆周卷积图3-14有限长序列的线性卷积与圆周卷积2．实现框图图3-15圆周卷积代替线性卷积的实现框图3.5.2用DFT进行频谱分析

DFT实现了频域采样，同时DFT存在快速算法，所以在实际应用中，可以利用计算机，用DFT来逼近连续时间信号的傅里叶变换，进而分析连续时间信号的频谱。时域连续信号DFT分析的基本步骤如图3-16所示。图3-16时域连续信号DFT分析的基本步骤所谓信号的谱分析就是计算信号的傅里叶变换。连续信号与系统的傅里叶分析显然不便于直接用计算机进行计算，这使其应用受到限制；而DFT是一种时域和频域均离散化的变换，适合数值运算，成为分析离散信号和系统的有力工具。1．用DFT对连续非周期信号进行谱分析图3-17用DFT方法分析连续信号频谱的原理示意图用DFT逼近连续非周期信号的傅里叶变换过程中，除了对幅度的线性加权外，还用到了抽样与截断的方法，因此也会带来一些可能产生的问题，使谱分析产生误差。如混叠效应、截断效应、栅栏效应等。2．用DFT进行谱分析的误差问题（1）混叠效应利用DFT逼近连续时间信号的傅里叶变换，为避免混叠失真，要求满足抽样定理，即奈奎斯特准则fs≥2fc（3-67）其中fs为抽样频率，fc为信号最高频率（即谱分析范围）。解决混叠问题的唯一方法是保证采样频率足够高，这意味着通常需要知道原始信号的频谱范围，以确定采样频率。但很多情况下可能无法预计信号频率，为确保无混叠现象，可以在采样前利用一模拟低通滤波器将原始信号的上限频率限制在采样频率fs的一半，这种滤波器被称为抗混叠滤波器。（2）截断效应在实际中，要把观测的信号x(n)限制在一定的时间间隔之内，即采取截断数据的过程。图3-18矩形窗函数的幅度谱图3-20栅栏效应用DFT对连续信号进行谱分析时，一般要考虑两方面的问题：第一，频谱分析范围；第二，频率分辨率。频谱分析范围由采样频率fs决定。前面已经叙述，为减小混叠失真，通常要求。采样频率fs越高，频谱分析范围越宽，但在单位时间内采样点增多，要储存的数据量加大，计算量也越大。