高中数学人教A版第一章集合与函数概念单元测试 分段函数问题的解答方法

分段函数问题的解答方法所谓分段函数是指函数的定义域分为几段，且每一段的解析式又不一样的函数。归结起来分段函数问题主要包括：①分段函数解析式的求法；②求分段函数值的基本方法；③分段函数值域与最值的求法；④分段函数单调性的判断（或证明）；⑤分段函数奇偶性的判断（或证明）等几种类型。各种类型问题的结构具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答分段函数问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地予以解答呢？下面通过典型例题的解析来回答这个问题。【典例1】解答下列问题：某汽车以52千米/小时的速度从A地到260千米远处的B地，在B地停留1小时后，再以65千米/小时的速度返回A地，试将汽车离开A地后行走的路程S表示成时间t的函数；【解析】【知识点】①行驶问题的结构特征；②行驶问题中涉及的基本量及其关系；③解答行驶问题的基本思路与方法；=4\*GB3④求函数解析式的基本方法。【解题思路】问题是行驶问题，行驶问题的基本量包括行驶速度，行驶时间和行驶路程，这三个基本量的关系为，行驶路程=行驶速度行驶时间；根据题意，问题中包含三个行驶过程：①从A地出发到达B地；②在B地停留；③从B地返回A地，根据行驶路程=行驶速度行驶时间分别求出三个过程行驶路程与时间的关系式就可得出结果。【详细解答】问题中包含三个行驶过程：52t，0<t5，①从A地出发到达B地，S=52t；②在B地S=260，5<t，停留,S=260；③从B地返回A地,S=65(t-6)；65（t-）,<t，2、已知f(x)=2x-1，g(x)=，（x≥0），-1，(x＜0)。①求f〔g(x)〕，②求g〔f(x)〕；【解析】【知识点】①分段函数的定义与性质；②复合函数的定义与性质；③分段函数，复合函数求值的基本方法。【解题思路】f〔g(x)〕，中的自变量是g(x)，g(x)又是一个分段函数，从而得到f〔g(x)〕也是一个分段函数，且自变量的分段与g(x)的分段一致，从而得到函数f〔g(x)〕的解析式；g〔f(x)〕中的自变量是f(x)，由g(x)是分段函数，需先确定2x-1≥0和2x-1＜0中x的取值范围，从而得到函数g〔f(x)〕的解析式；【详细解答】f(x)=2x-1，f〔g(x)〕=2-1，（x≥0），g〔f(x)〕=，x≥，g(x)=，（x≥0），-3，(x＜0)，-1，x＜；-1，(x＜0），3、已知f(x)=ln(x+1)，（x＞-1），g(x)=-x+2。，（x-1），求f〔g(x)〕，②求g〔f(x)〕。【解析】【知识点】①分段函数的定义与性质；②复合函数的定义与性质；③分段函数，复合函数求值的基本方法。【解题思路】f〔g(x)〕，中的自变量是g(x)，g(x)的函数值需满足-x+2＞-1或-x+2-1，且自变量的分段为x＜3或x≥3，从而得到函数f〔g(x)〕的解析式；g〔f(x)〕中的自变量是f(x)，由f(x)是分段函数，得到g〔f(x)〕也是一个分段函数，自变量的分段与f(x)的分段一致，从而得到函数g〔f(x)〕的解析式。【详细解答】g(x)=-x+2，f(x)=ln(x+1)，（x＞-1），f〔g(x)〕=ln(-x+3)，（x＜3），-ln(x+1)+2，（x＞-1），，（x-1），，（x≥3）；g〔f(x)〕=-+2，（x-1）；『思考问题1』（1）【典例1】是求分段函数解析式的问题，解答这类问题需要理解分段函数的定义，掌握分段函数的性质和求函数解析式的基本方法；（2）【典例1】中1题是应用问题，解答时只需分辨清楚应用问题的类型，结合该类应用问题解答的基本方法就可求出结果；（3）【典例1】中2，3两题是求复合函数f(g(x))（或g〔f(x)〕）解析式的问题，这类问题的特点是：①已知两个函数的解析式，其中一个函数是分段函数；②求复合函数的解析式，涉及到确定自变量属于哪一段的问题；解答的基本思路是整体代入，由分段函数各段的定义域确定出分段函数中自变量x的取值范围，再求复合函数的解析式。〔练习1〕解答下列问题：1、函数f(x)=〔x〕的函数值表示不超过x的最大整数，例如〔〕=-4，,〔〕=2，当x∈（,3〕时，写出函数f(x)的解析式，并画出函数的图像；2、已知f(x)=3x-6，+x（x≥0） g(x)=1(x＜0)①求f〔g(x)〕，②求g〔f(x)〕；3、已知f(x)=2x-1，g(x)=-3x+2，求f〔g(x)〕。【典例2】解答下列问题：1、设函数f(x)=+1，x1，则f(f(3))=（）A，x＞1，B3CD【解析】【知识点】①分段函数的定义与性质；②求函数值的基本方法。【解题思路】根据自变量3，确定求函数值的解析式，并求出f(3)的函数值，把求出的结果作为自变量，确定求函数值的解析式，运用求函数值的基本方法就可求出结果。【详细解答】3>1，f(3)=，1，f()=+1=，f(f(3))=，D正确，选D。2、设函数f(x)=3x-1，x＜1，则满足f(f(a))=，的a的取值范围是（），x≥1，A［，1］B［0，1］C［，+）D［1，+）【解析】【知识点】①分段函数的定义与性质；②求函数值的基本方法；③指数函数的定义与性质；④参数分类讨论的原则与方法。【解题思路】运用分段函数的性质和求函数值的基本方法，结合问题条件，应该从a≥1和a<1两种情况考虑去解答问题。【详细解答】①当a≥1时，f(a)=>1，f(f(a))==；②当a<1时，f(a)=3a-1，若3a-1≥1，即a≥时，f(f(a))==，若3a-1<1，即a<时，f(f(a))=3（3a-1）-1=9a-4；当f(f(a))=时，实数a的取值范围是[，+）。3、已知函数f(x)=f(x+1)，x＜4，求f(2+3)的值；，x≥4，【解析】【知识点】①分段函数的定义与性质；②求函数值的基本方法；③对数的定义与性质。【解题思路】根据对数的性质可知，3<2+3<4，确定求函数值的解析式，并求出f(2+3)的函数值，把求出的结果作为自变量，由4<3+3<5，确定求函数值的解析式，运用求函数值的基本方法就可求出结果。【详细解答】3<,2+3<4，f(2+3)=f(2+3+1)=f(3+3)，4<3+3<5，f(3+3)====，f(2+3)=f(3+3)=。4、已知函数f(x)=+1，x≥0，若f(x)=10，则x=；-2x，x＜0，【解析】【知识点】①分段函数的定义与性质；②求函数值的基本方法。【解题思路】这里是已知f(x)的函数值，求自变量的问题，现在是自变量未知，需要从x<0和x≥0两种情况分别考虑去解答问题。【详细解答】①当x<0时，f(x)=-2x=10，x=-5；②当x≥0时，f(x)=+1=10，x=3；当f(x)=10时，x=-5或x=3。5、已知实数a0，函数f(x)=2x+a，x＜1，若f(1-a)=f(1+a)，则实数a的值为；-x-2a，x≥1，【解析】【知识点】①分段函数的定义与性质；②求函数值的基本方法；③参数分类讨论的基本原则和基本方法；【解题思路】运用分段函数的性质和求函数值的基本方法，结合问题条件，根据a0，应该从a>0和a<0两种情况考虑去解答问题。【详细解答】①当a>0时，1-a<1，1+a>1，f(1-a)=2（1-a）+a=2-a，f(1+a)=-（1+a）-2a=-3a-1，f(1-a)=f(1+a)，2-a=-3a-1，a=-<0，此时无解；②当a<0时，1-a>1，1+a<1，f(1-a)=-（1-a）-2a=-1-a，f(1+a)=2（1+a）+a=3a+2，f(1-a)=f(1+a)，-1-a=-3a+2，a=-<0，当a0，f(1-a)=f(1+a)时，a=-。6、某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时期段进行分别计价，该地区的电网销售电价表如下：若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦高峰时间段用电价格表低谷时间段用电价格表高峰月用电量高峰电价低谷月用电量低谷电价（单位：千瓦时）（单位：元/千瓦时）（单位：千瓦时）（单位：元/千瓦时）50及以下的部分50及以下的部分超过50至200的部分超过50至200的部分超过200的部分超过200的部分时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为元（用数字作答）【解析】【知识点】①求函数解析式的基本方法；②分段函数的定义与性质；③求函数值的基本方法。【解题思路】设该家庭高峰时间段的用电量为千瓦时，应付电费为，低谷时间段的用电量为千瓦时，应付电费为，该家庭本月应付的电费为y元，运用求函数解析式的基本方法，结合问题条件分别求出，的解析式，利用求函数值的基本方法求出，的值，从而求出y的值。【详细解答】设该家庭高峰时间段的用电量为千瓦时，应付电费为，低谷时间段的用电量为千瓦时，应付电费为，该家庭本月应付的电费为y元，由题意可得：，0＜50，，0＜50，=+（-50），50＜250，=+（-50），50＜250，+（-250），＞250，+（-250），＞250，y=+=+++=（元）；『思考问题2』（1）【典例2】是分段函数求值的问题，解答这类问题需要理解分段函数的定义，注意分段函数的结构特征，掌握分段函数求值的基本方法；（2）分段函数求值的基本方法是：①确定给定的自变量属于哪一段，在此基础上选定函数求值时符合的解析式；②把自变量代入选定的解析式，并通过运算求出结果。〔练习2〕解答下列各题：1、已知f(x)=（1-2a）x+3a，x＜1，的值域为R，那么a的取值范围是（）（2023唐山期末）A（-，-1］lnx，x≥1，B（-1，）C［-1，）D（0，）2、根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为f(x)=，x＜A，（A，c为常数），已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品，x≥A，用时15分钟，那么c和A的值分别是（）A71,25，x＜1，B75,16C60,25D60，163、设函数f(x)=，x≥1，则使得f(x)2成立的x的取值范围是；4、《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资、薪金所得不超过2000的部分不必纳税，超过2000元的部分为全月应纳税所得额。此项税款按下表分段累计计算：全月应纳税所得额税率（℅）不超过500元部分5超过500元至2000元部分10超过2000元至5000部分15某人一月份应交纳此项税款为元，那么他当月的工资、薪金所得是多少？【典例3】解答下列问题；1、已知函数f(x)=-2（a+2）x+，g(x)=-+2（a-2）x-+8，设（x）=max{f(x)，g(x)}，（x）=min{f(x)，g(x)}，max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值，记（x）的最小值为A，（x）的最大值为B，则A-B=（）A16B-16C-2a-16D+2a-16【解析】【知识点】①函数图像的定义与作法；②分段函数的定义与性质；③一元二次函数的定义与性质；④求函数最值的基本方法；⑤数形结合的数学思想与基本方法。【解题思路】在同一直角坐标系中作出函数f(x)y与g(x)的图像如图所示：由函数f(x)图像的顶点坐标为（a+2，-4a-4），函数g(x)图像的顶点坐标f(x)为（a-2，-4a+12），且每个函数图像的顶点都在另g(x)一个函数的图像上，由A，B分别是二次函数f(x)，Oxg(x)的顶点的纵坐标，从而求出A-B的值就可得出选项。【详细解答】在同一直角坐标系中作出函数f(x)与g(x)的图像如图所示：函数f(x)图像的顶点坐标为（a+2，-4a-4），g(x)图像的顶点坐标为（a-2，-4a+12），且每个函数图像的顶点都在另一个函数的图像上，由题意可知A，B分别是二次函数f(x)，g(x)的顶点的纵坐标，A-B=-4a-4-(-4a+12)=-16，B正确，选B。2、用min｛a,b,c｝表示a、b、c三个数中的最小值，设f(x)=min｛,x+2,10-x｝(x≥0)，则f(x)的最大值为。【解析】【知识点】①一次函数的定义与性质；②指数函数的定义，图像与性质；③分段函数的定义与性质；④求函数最值的基本方法。y【解题思路】在同一直角坐标系中作出函数g(x)=，h（x）=x+2，u(x)=10-x的图像如图所示，根据函数图像求出函数f(x)的解析式，利用求函数最值的基本方法求出函数f(x)的最大值。0x【详细解答】在同一直角坐标系中作出函数g(x)=，h（x）=x+2，u(x)=10-x的图像如图所示，由图可得：，0x2，当0x2，f(x)单增，=f（2）==4；f(x)=x+2，2＜x4，当2＜x4，f(x)单增，=f（4）=10-4=6，10-x，x＞4，当x＞4时，f(x)单减，＜f（4）=4+2=6；4＜6，当x≥0时，=f（4）=4+2=6。『思考问题3』（1）【典例3】是求分段函数值域或最值的问题，解答这类问题时，需注意分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，最大值是各段最大值中的最大值，最小值是各段最小值中的最小值；（2）解答分段函数值域与最值的问题，还要注意数形结合的数学思想和方法的灵活运用，通过函数的图像寻找解答问题的突破口，从而达到解决问题的目的。〔练习3〕解答下列各题：1、对于每个实数x，f(x)是y=4x+1，y=x+2和y=-2x+4三个函数中的最小值，求函数f(x)的最大值；，x＜1，2、设函数f(x)=，x≥1，则使得f(x)2成立的x的取值范围是。【典例4】解答下列问题：1、函数f(x)=|x|(1-x)在区间A上是增函数，那么区间A是（）A（-∞，0）B［0，］C〔0，+∞）D（，+∞）【解析】1、【知识点】①分段函数的定义与性质；②函数单调性的定义与性质；③函数单调性判断（或证明）的基本方法。【解题思路】根据绝对值的意义把函数化为分段函数，对每一段的函数运用判断单调性的基本方法判断其单调性，从而得出结果；【详细解答】f(x)=-+x，x≥0，作出函数f(x)的y-x，x<0，图像如图所示，由图知，函数f(x)在［0，］上单调递增，B正确，01x选B。2、函数f(x)=-+2|x|+3的单调递增区间为；【解析】【知识点】①分段函数的定义与性质；②函数单调性的定义与性质；③函数单调性判断（或证明）的基本方法。【解题思路】根据绝对值的意义把函数化为分段函数，对每一段的函数运用判断单调性的基本方法判断其单调性，从而得出结果；【详细解答】f(x)=-+2x+3，x≥0，作出函数f(x)的y--2x+3，x<0，图像如图所示，由图知函数f(x)的单调递增区间为（-∞，-1），(0，1)，-101x函数f(x)的单调递增区间是（-∞，-1），(0，1)。判断函数f(x)=+的单调性；【解析】【知识点】①二次根式的定义与性质；②分段函数的定义与性质；③函数单调性的定义与性质；④函数单调性的判断（或证明）的基本方法。【解题思路】根据二次根式的定义与性质把函数化为分段函数，对每一段的函数运用判断单调性的基本方法判断其单调性，从而得出结果；【详细解答】f(x)=+①当x≥3时,f(x)=2x，显然是单调=|x-3|+|x+3|=2x，x≥3,递增函数；②当-3x<3时，f(x)=6是常值函数，不具有单调性；6,-3x<3，③当x<-3时，f(x)=-2x，显然是单调递减函数；函数f(x)在-2x，x<-3，〔3，+∞）上单调递增，在（-∞，-3）上单调递减。2-1(x≥0)4、判断函数f(x)=的单调性。-3x(x＜0)【解析】4、【知识点】①分段函数的定义与性质；②函数单调性的定义与性质；③函数单调性的判断（或证明）的基本方法。【解题思路】根据分段函数的定义与性质，先判断函数在各段上的单调性，再综合得出结果；【详细解答】①当x≥0时，f(x)=2-1，作出函数f(x)的图像如图所示，由图知，函f(x)在〔0，+∞）上单调递增；②当x<0时，f(x)=-3x，显y然函数f(x)在（-∞，0）上单调递减，函数f(x)在〔0，+∞）上单调递增，在（-∞，0）上单调递减，0x『思考问题4』（1）【典例4】是分段函数单调性判断（或证明）的问题，解答时注意分段函数在各段上的解析式不一样的特征；（2）分段函数单调性判断（或证明）的基本方法是：①判断（或证明）函数在各段上的单调性；②综合得出结果。〔练习4〕解答下列问题：，x≥0，1、判断分段函数f(x)=-x+1，x＜0的单调性；2、判断函数f(x)=的单调性。【典例5】:解答下列问题：1、判断下列函数的奇偶性：x+2，(x＜-1），（1）f(x)=+x，(x＜0)；（2）f(x)=0，(|x|≤1)。-+x，（x＞0）-x+2，(x＞1)，【解析】【知识点】①分段函数的定义与性质；②函数奇偶性的定义与性质；③函数奇偶性判断（或证明）的基本方法。【解题思路】根据分段函数的特征，判断函数在各段上f(-x)与f(x)的关系，结合奇偶性判断（或证明）的基本方法综合得出结果；【详细解答】（1）从函数的解析式可知，函数的定义域显然关于原点对称，①当x＞0时，-x＜0，f(-x)=-x=-x=-（-+x）=-f(x)；②当x<0时，-x>0，f(-x)=--x=--x=-（+x）=-f(x)；函数f(x)是奇函数；（2）从函数的解析式可知，函数的定义域显然关于原点对称，①当x＞1时，-x＜-1，f(-x)=-x+2=f(x)；②当x<-1时，-x>1，f(-x)=-（-x）+2=x+2=f(x)；③当-1≤x≤1时，-1≤-x≤1，，f(-x)=f(x)显然成立；函数f(x)是偶函数。2、函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，均有f(x+2)=f(x)成立，当x∈(0,1〕时，f(x)=(2-x)(a＞0)。（1）当x∈〔2k-1,2k+1〕时，求f(x)的解析式；（2）若f(x)的最大值为，解关于x的不等式f(x)＞。【解析】【知识点】①分段函数的定义与性质；②函数奇偶性的定义与性质；③函数周期性的定义与性质；④对数函数的定义与性质。【解题思路】（1）根据函数是R上的偶函数和f(x)在(0,1〕上的解析式，求出函数f(x)在,[-1，0）上的解析式，由f(x+2)=f(x)在R上恒成立可知，函数f(x)是以2为周期的周期函数，从而得到当x∈〔2k-1,2k+1〕时，f(x)的解析式；（2）运用周期函数的性质，只需考虑函数f(x)在[-1，1]的情况，就可解答问题；【详细解答】（1）设x∈[-1，0），则-x∈(0,1〕，函数f(x)是R上的偶函数，f(x)=f(-x)=(2+x)，f(x)=(2-x)，x∈(0,1〕，对任意的x∈R，均有f(x+2)=f(x)成立，（2+x），x∈[-1，0）