高中数学人教A版2本册总复习总复习 全国获奖

第二章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2．合情推理1．了解合情推理的含义．2．能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．eq\x(基)eq\x(础)eq\x(梳)eq\x(理)1．归纳推理．由某类事物的部分对象具有某些特征，推出这类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．2．类比推理．由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．3．合情推理．归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理．eq\x(基)eq\x(础)eq\x(自)eq\x(测)1．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝eq\f(底×高,2)，可推知扇形面积公式S扇等于(C)\f(r2,2)\f(l2,2)\f(lr,2)D．不可类比解析：由扇形的弧长与半径类比于三角形的底边与高可得C.故选C.2．从1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，…，可得一般规律为___________________________________________________．解析：猜想：第n个等式的左边是2n－1个连续整数的和，第1个数为n，等式的右边是整数个数的平方，即一般规律为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.答案：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)23．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜想第n个图形中有______________个点．解析：第n个图有n个分支，每个分支上有(n－1)个点(不含中心点)，再加上中心1个点，则有n(n－1)＋1＝n2－n＋1个点．答案：n2－n＋14．在平面几何中，△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比为eq\f(AE,EB)＝eq\f(AC,BC)，把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中(如图所示)，平面DEC平分二面角ACDB且与AB相交于点E，则得到的类比结论是________．解析：把线段比类比到面积比，得eq\f(AE,EB)＝eq\f(S△ACD,S△BCD).答案：eq\f(AE,EB)＝eq\f(S△ACD,S△BCD)eq\a\vs4\al(（一）解读合情推理)数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．合情推理的一般过程为：eq\a\vs4\al(（二）解读归纳推理)(1)归纳推理的分类．①完全归纳推理：由某类事物的全体对象推出结论．②不完全归纳推理：由某类事物的部分对象推出结论．需要注意的是，由完全归纳推理得到的结论是准确的，由不完全归纳推理得到的结论不一定准确．(2)归纳推理的特点．由于归纳是根据部分已知的特殊现象推断未知的一般现象，因而归纳推理具有以下特点：①所得结论超越了前提所包含的范围；②所得结论具有猜测性质，准确性需要证明；③归纳的基础在于观察、实验或经验．(3)归纳推理的一般步骤．①通过观察、分析个别情况，发现某些相同特征；②将发现的相同特征进行归纳，推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．eq\a\vs4\al(（三）解读类比推理)(1)类比推理的特点．①类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；②类比是以原有知识为基础，猜测新结论；③类比能发现新结论，但结论具有猜测性，准确性需要证明．(2)类比推理的一般步骤．①明确两类对象；②找出两类对象之间的相似性或者一致性；③用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得到一个明确的结论．1．归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质．(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．2．归纳推理的思维进程．实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论．即对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理，提出带有规律性的结论，然后对该猜想的正确性加以检验．3．一般地，归纳的个别情况越多，越具有代表性，推广的一般性命题就越可靠．4．运用类比推理的一般步骤：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．5．类比推理常见的几种题型．(1)类比定义：本类题型解决的关键在于弄清两个概念的相似性和相异性以及运用新概念的准确性．(2)类比性质(定理)：本类题型解决的关键在于要理解已知性质(定理)的内涵、应用环境及使用方法，通过研究已知性质(定理)，刻画新性质(定理)的“面貌”．(3)类比方法(公式)：本类题型解决的关键在于解题方法．1．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排列起来，那么第36颗珠子的颜色是(A)○○○●●○○○●●○○○●●○○……A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大2．数列2，5，11，20，x，47，…中的x等于(B)A．28B．32C．33D．273．已知三角形的三边长分别为a，b，c，其内切圆的半径为r，则三角形的面积为：S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r，利用类比推理，可以得出四面体的体积为(C)A．V＝eq\f(1,3)abcB．V＝eq\f(1,3)ShC．V＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)·r(其中S1，S2，S3，S4分别是四面体四个面的面积，r为四面体内切球的半径)D．V＝eq\f(1,3)(ab＋bc＋ca)h(h为四面体的高)4．等差数列{an}中，有2an＝an－1＋an＋1(n≥2，且n∈N*)，类比以上结论，在等比数列{bn}中类似的结论是________．答案：beq\o\al(2,n)＝bn－1·bn＋1(n≥2，且n∈N*)1．下列关于归纳推理的说法中错误的是(A)A．归纳推理是由一般到一般的一种推理过程B．归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程C．归纳推理得出的结论具有偶然性，不一定正确D．归纳推理具有由具体到抽象的认识功能2．由数列1，10，100，1000，…猜测该数列的第n项可能是(B)A．10nB．10n－1C．10n＋1D．113．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于(B)1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111A．1111110B．1111111C．1111112D．1111113解析：由数塔呈现的规律知，结果是各位都是1的7位数．4．下面使用类比推理正确的是(C)A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类推出“a·0＝b·0，则a＝b”B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“(a·b)c＝ac·bc”C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)(c≠0)”D．“(ab)n＝anbn”类推出“(a＋b)n＝an＋bn”5．n个连续自然数按规律排列如下：根据规律，从2023到2023，箭头的方式依次是(C)A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓解析：观察特例的规律知：位置相同的数字是以4为公差的等差数列，由eq\a\vs4\al(11→12可知从2023到2023为↑→.,,,↑,,,10,,)6．如图所示，面积为S的凸四边形的第i条边的边长为ai(i＝1，2，3，4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi(i＝1，2，3，4)，若eq\f(a1,1)＝eq\f(a2,2)＝eq\f(a3,3)＝eq\f(a4,4)＝k，则eq\i\su(i＝1,4,)(aihi)＝eq\f(2S,k).类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i＝1，2，3，4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离为Hi(i＝1，2，3，4)，若eq\f(S1,1)＝eq\f(S2,2)＝eq\f(S3,3)＝K，则eq\i\su(i＝1,4,)(SiHi)＝(B)\f(4V,K)\f(3V,K)\f(2V,K)\f(V,K)解析：从平面类比到空间，通常是边长类比为面积，面积类比为体积，又凸四边形中，面积为S＝eq\f(1,2)(a1h1＋a2h2＋a3h3＋a4h4)，而在三棱锥中，体积为V＝eq\f(1,3)(S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4)，即存在系数差异，所以，上述性质类比为B.7．观察下列不等式：1＋eq\f(1,22)<eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)<eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)<eq\f(7,4)，…照此规律，第五个不等式为_______________________________．解析：观察不等式的左边发现，第n个不等式的左边＝1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,（n＋1）2)，右边＝eq\f(2（n＋1）－1,n＋1)，所以第五个不等式为1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1,62)<eq\f(11,6).8．下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律，第n个图案中需用黑色瓷砖________块(用含n的代数式表示)．解析：第(1)，(2)，(3)，…个图案黑色瓷砖数依次为：15－3＝12，24－8＝16，35－15＝20，…由此可猜测第n个图案黑色瓷砖数为：12＋(n－1)×4＝4n＋8.答案：4n＋89．图1是一个边长为1的正三角形，分别连接这个三角形三边中点，将原三角形剖分成4个三角形(如图2)，再分别连接图2中一个小三角形三边的中点，又可将原三角形剖分成7个三角形(如图3)，…，依此类推，设第n个图中三角形被剖分成an个三角形，则第4个图中最小三角形的边长为__________；a100＝__________．答案：eq\f(1,8)29810．圆的面积S＝πr2，周长c＝2πr，两者满足c＝S′(r)，类比此关系写出球的公式的一个结论是：________．解析：圆的面积、周长分别与圆的体积和表面积类比可得，球的体积V＝eq\f(4,3)πR3，表面积S＝4πR2，满足S＝V′(R)．答案：V球＝eq\f(4,3)πR3，S球＝4πR2，满足S＝V′(R)．11．在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n＜19，n∈N*)成立．类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有等式__________________成立．解析：a10是等差数列{an}的前19项的中间项，而b9是等比数列{bn}的前17项的中间项．所以答案应为：b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈N*)．答案：b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈N*)．12．设an是首项为1的正项数列，且(n＋1)aeq\o\al(2,n＋1)－naeq\o\al(2,n)＋an＋1·an＝0(n≥1，n∈N)，试归纳出这个数列的一个通项公式．解析：当n＝1时，a1＝1，且2aeq\o\al(2,2)－aeq\o\al(2,1)＋a2·a1＝0，即2aeq\o\al(2,2)＋a2－1＝0解得a2＝eq\f(1,2)；当n＝2时，由3aeq\o\al(2,3)－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,2)a3＝0，即6aeq\o\al(2,3)＋a3－1＝0，解得a3＝eq\f(1,3)，…由此猜想；an＝eq\f(1,n).13．在圆x2＋y2＝r2中，AB为直径，C为圆上异于AB的任意一点，则有kAC·kBC＝－1，你能用类比的方法得出椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中有什么样的结论？解析：设A(x0，y0)为椭圆上的任意一点，则A点关于中心的对称点B的坐标为(－x0，－y0)，点P(x，y)为椭圆上异于A，B两点的任意一点，则kAP·kBP＝eq\f(y－y0,x－x0)·eq\f(y＋y0,x＋x0)＝eq\f(y2－yeq\o\al(2,0),x2－xeq\o\al(2,0)).由于A，B，P三点都在椭圆上．∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋\f(yeq\o\al(2,0),b2)＝1，))两式相减有eq\f(x2－xeq\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y2－yeq\o\al(2,0),b2)＝0，∴eq\f(y2－yeq\o\al(2,0),x2－xeq\o\al(2,0))＝－eq\f(b2,a2)，即kAP·kBP＝－eq\f(b2,a2).故椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中过中心的一条弦的两个端点A，B，P为椭圆上异于A，B的任意一点，则有kAP·kBP＝－eq\f(b2,a2).►品味高考1．(2023·陕西卷)已知f(x)＝eq\f(x,1＋x)，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋，则f2014(x)的表达式为________．解析：由f1(x)＝eq\f(x,1＋x)⇒f2(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,1＋x)))＝eq\f(\f(x,1＋x),1＋\f(x,1＋x))＝eq\f(x,1＋2x)；又可得f3(x)＝f(f2(x))＝eq\f(\f(x,1＋x),1＋\f(x,1＋2x))＝eq\f(x,1＋3x)，故可猜想f2014(x)＝eq\f(x,1＋2014x).答案：eq\f(x,1＋2014x)2．(2023·陕西卷)观察下列等式：(1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5…照此规律，第n个等式可为_______________________________．答案：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)3．(2023·湖北卷)在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.例如图中△ABC是格点三角形，对应的S＝1，N＝0，L＝4.(1)图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是________；(2)已知格点多边形的面积可表示为S＝aN＋bL＋c，其中a，b，c为常数．若某格点多边形对应的N＝71，L＝18，则S＝________(用数值作答)．解析：(1)四边形DEFG是一个直角梯形，观察图形可知：S＝(eq\r(2)＋2eq\r(2))×eq\r(2)×eq\f(1,2)＝3，N＝1，L＝6.(2)由(1)知，S四边形DEFG＝a＋6b＋c＝3.S△ABC＝4b＋c＝1.在平面直角坐标系中，取