2021届高考数学统考第二轮专题复习第21讲不等式选讲学案理含解析

第21讲

不式讲高考年份

全国卷

全国卷Ⅱ

全国卷Ⅲ含绝对值的函数的图绝对值不等式的求2020

像与不等式的求

不等式的证明解T23解T23绝对值不等式的求

求最值与不等式的2019

不等式的证明·解T23

证明·T23含绝对值的函数的绝对值不等式的求

绝对值不等式的求2018

图像与综合应解T23

解T23用T23[2020·全国卷]已知函数)3121画出()的像;求不等式f()(1)解集图211[2020·全国卷]设,,∈,0,1

.

3131证明:ab+bc+ca<用max{ab表ab的大值证明max{abc.[2019·国卷设xyz,且x+y+z=1.求(1)2(y+1)2+z+1)

的最小值若(2)2(1)2(2成立,证明a≤-3或a13含绝对值不等式的解法已函数fx

2

3

|.在图M7212的标中画出(x的图像求不等式()|>1的集图M7212

已函数fx=|2

x-a|+|x-1

,a∈.若不等式fx≤21|解求实数取值范围;当2时函fx)的最小值为2,求实数a的.【规律提炼】绝对值不等式的解法主要有三:一是零点分段法即每一个绝对值为0,到零点然后通过分类讨论得到每一段的解,最后求并集得到不等式解集的方;是通过数形结合画出图像经定性与定量分析得到解集三几何法即用绝对值的几何义求解的方.测题.[2020·国卷已知函数f)|+|x-2a+1|.当2时求等式f()≥4的集若fx≥4,的值范围.已知函数f()=|2

1

|-|x+3

求不等式fx的解集若恰好存在7个同的整数n使fn1,求实数m的值.

222≥;(1)111222≥;(1)111不等式的证明已a,b,

均为正实数且a+b+c=1,证明:𝑎𝑏𝑐11-𝑎1-𝑏1-𝑐2(2)+≥81333【规律提炼】不等式的证明重点考查基本不等式的应用、数学运算、逻辑推理等学科素.在涉及基本不等式时要兼顾三次基本不等式的应同时柯不等式序不等式也会考,熟练掌握在法上要注重分析法合法比较法的应用无哪种方法都要注意等号成立的条测题已知a,bc均正数.求证:()(≥4;若a+b+c=求证𝑎+𝑏+𝑐≤3含绝对值不等式的恒成立问题

1212312123已函数fx=|2

x-a|+2

|x+

|.当1时求于的等式f()≤6的集;已知gx=|x-12,若对任意∈,都存在x∈,得()=g)成立求数的值范围【规律提炼】解决恒成立问题有三种方:一是通过分离参,将不等式恒成立问题转化为函数在指定范围上的最值问题二直接法常需要分类讨)求解三是数形结合法特要注意成立问题与有解问题的不,如存在x使k>f(x是指xmin测题已知函数f()=|ax+x-1|.当1时求等式f()>的集若0且任意xf(≥恒立求a最小值2𝑎第讲不等式选讲真知真题扫描

11,(711771𝑏+3𝑎33(1)+z+11,(711771𝑏+3𝑎33(1)+z+1)≥,当且仅当,,时号成.故由已知得1)4,.解(1)由题知f(x={1(x)的图像如图所示函数y=f()的图像向左平移1个单位长度后得到函数y=f(1)图像x)的图像与y=fx+1)的图的交点坐标为,-.66由图像可知当且仅当时(x的像在(1)图像上方,6故不等式f()>fx+1)解集为-∞6

..证明:(1)题设可,a,bc

均不为零所以2-a2+b22)](2+c202不妨设max{,b,},为1,a=-所以0,b<0,c<由bc

4

2

,可得abc,,所以max{,,c≥.4.解(1)由于1)+y+1)+z+2(x-

2+1)2+1)22[(1)(y++1)(z+1)1)(1)]3[(1)(1)(z+1)2

],411222所以x-1)(y+1)2+z+1)的小值为

2((z-a≥,当且仅当故由已知得2)1),,𝑎)2𝑎)1,3当1时2((z-a≥,当且仅当故由已知得2)1),,𝑎)2𝑎)1,3当1时由321,解得1或x<,∴-1或1<x<;当x时由41,得x>5或x<3,≤3或5.1证明:于(2)+1)(z-a)]2=x-2)+y-1)2+z-a3[(2)(1)2(z-a2],

2

2[(2)(1)(1)()(z-a≤222

𝑎)4-𝑎1-𝑎𝑎-2333

时等号成立因此x-2)(1)2()2

的最小值为

3

2

.由题设知≥,解得≤3或≥133考点考法探究例解:由已知得f(x){

𝑥-1,

解答3画出y=f()的图像如图所.当x-1时由x-4|>1,得x>或x<≤1;3133333综上|fx|>的集为-,3

∪(1,3)∪(5,)例解:由fx≤21,得2x-a|+|2≤2,不等式(x)≤21无,(|2x-2)>min又222≥(2x-a-(2x-2)2|,∴|a-22,4a<

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎2222,𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎2222,实数的值范围(∞,0)∪(4,)∵a<2,<2𝑎,2()=|21{𝑎2𝑥-则当时()=1=2,min22,合题意∴a=-2.【自测题】𝑥.解(1)当a=时(x)因此不等式f)≥4的解集为{或22

}因为fx=|x-a21≥221|=a-2故(1)2≥4,即a-1≥2时(≥4,所以当a≥3或a≤1时(x)≥4.当13时f2=|a221(a-1)2<所以a取值范围(-∞-∪[3,..解(1)由(),得2

1

3

|(21)(3),(3x+2)(4)<0,解得-<x<4,不等式(x)解集为x<x<4.设(x)21|-|x+3|则g(x{

,2

2不等式(x)1等于g<1,若恰好存在个同的整,得fn1,则恰好存在个同的整,得gn1,又g-2)4,(1)(0)(1)<g0,

即222𝑎𝑏𝑐222𝑎𝑏)𝑏𝑎)𝑎𝑐)𝑐2222𝑏)𝑏𝑐)222·+即222𝑎𝑏𝑐222𝑎𝑏)𝑏𝑎)𝑎𝑐)𝑐2222𝑏)𝑏𝑐)222·+·√·(+b+c22ac+2)(),222𝑎𝑏𝑐3所以abc,即3𝑎+3<g0,(5)=g(6)2,1≤m<的值范围[1,0).解答例证明(1)因为ab为正实数且a+b+c=1,以,1,1-c

均为正数所以=[(1)(1)+(1)]1-𝑎1-𝑏1-𝑐

𝑎𝑏𝑐1-𝑎1-𝑏1-𝑐a+b2+c2+

1-𝑎1-𝑏1-𝑎

𝑎)𝑐1-𝑐

≥1-𝑐𝑏a+b2+c2+2

√

2𝑏)𝑎)1-𝑎1-𝑏

√

𝑐)2𝑎)1-𝑎1-𝑐

2𝑏)𝑐)1-𝑐1-𝑏2222当且仅当a=b=c=时等成立3所以≥1-𝑎1-𝑏1-𝑐因为,b均正数且a+b+c=所以1,当且仅当时等成立273所以√·33333

·

3𝑎𝑏𝑐

≥81,且仅当时等成.3【自测题】证明:(1)证a+b)(ab+c2≥4abc,即证a2b+ac2+bc2-4abc≥0,只需证ba222ac+ac2+b22bc≥0,即证b(a-c2(c-b2≥0,因为a,bc均正数,所以上式显然成,故a+b)(ab+c2≥4abc.由已知𝑎·,且仅当a+1时取等号

𝑏+3𝑐·≤𝑐+3当时不式化为2𝑏+3𝑐·≤𝑐+3当时不式化为2122≤6,解得x,≤;7775·≤=,当且仅当12时取号,当且仅当12时取等号以上三式相,得𝑎+𝑐)=6,所以𝑐≤3,当且仅当a=b=c=1时取号解答例解:当1时(21|+|22|.54当1x时不式可化-(21)+22即31x;当x<-1时不式化为(21)-(2x+2)解x≥∴-≤x<-144综上所述不式fx)≤6解集是x≤x≤.44由题意得g()=|x-|+2≥2,fx=|2x-a|+|2≥2|,则a+解a≥0或4,取值范围(∞4])【自测题】-3解(1)当时(x)121{.

,方法一作出函数()1|+|1的像它直线y=3的点为AB所以f(x)3解集为,1)∪(1,+)

,,,所以当x=时fx)取得最小值,即fx)((22𝑎𝑎mi,方法二不等式()>等于或或{