高中数学人教B版2第一章统计独立性检验 第1章独立性检验

独立性检验1.理解相互独立事件的概念，了解独立性检验的思想和方法.(重点)2.会利用2×2列联表求χ2，并能根据χ2值与临界值的比较进行独立性检验.(重点、难点)[基础·初探]教材整理1独立事件阅读教材P3～P4例2以上部分，完成下列问题.1.独立事件的定义一般地，对于两个事件A，B，如果有P(AB)＝P(A)·P(B)，则称事件A与B相互独立，简称A与B独立.2.如果A，B相互独立，则eq\x\to(A)与B，A与eq\x\to(B)，eq\x\to(A)与eq\x\to(B)也相互独立.甲、乙两人分别独立地解一道题，甲做对的概率是eq\f(1,2)，甲、乙都做错的概率是eq\f(1,6)，则乙做对的概率是_______________________________________.【解析】设“甲、乙做对”分别为事件A，B，则P(A)＝eq\f(1,2)，P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝eq\f(1,6)，由P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝(1－P(A))·(1－P(B))，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－P（B）))＝eq\f(1,6)，解得P(B)＝eq\f(2,3).【答案】eq\f(2,3)教材整理22×2列联表与χ2统计量的计算公式阅读教材P4～P5第10行以上部分，完成下列问题.1.对于两个事件A，B，用下表表示抽样数据：Beq\x\to(B)合计An11n12n1＋eq\x\to(A)n21n22n2＋合计n＋1n＋2n表中：n＋1＝n11＋n21，n＋2＝n12＋n22，n1＋＝n11＋n12，n2＋＝n21＋n22，n＝n11＋n21＋n12＋n22.形如此表的表格为2×2列联表.2.统计量χ2的计算公式χ2＝eq\f(n（n11n22－n12n21）2,n1＋n2＋n＋1n＋2).下面是一个2×2列联表：y1y2合计x1a2173x282533合计b46则表中a，b处的值分别为()，96 ，50，60 ，52【解析】∵a＋21＝73，∴a＝52.又b＝a＋8＝52＋8＝60.【答案】C教材整理3独立性检验思想阅读教材P4倒数第5行～P8，完成下列问题.1.用H0表示事件A与B独立的判定式，即H0：P(AB)＝P(A)P(B)，称H0为统计假设.2.用χ2与其临界值与的大小关系来决定是否拒绝统计假设H0，如下表：大小比较结论χ2≤事件A与B是无关的χ2>有95%的把握说事件A与B有关χ2>有99%的把握说事件A与B有关判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)甲、乙两人分别对一目标射击一次，记“甲射击一次击中目标”为事件A，“乙射击一次击中目标”为事件B，则事件A与事件B是相互独立事件.()(2)在使用χ2统计量作2×2列联表的独立性检验时，要求表中的4个数据可以是任意的.()(3)当χ2>认为两事件有99%的关系.()【解析】(1)根据题意，“甲的射击”与“乙的射击”没有关系，是相互独立.(2)由2×2列联表知，每表中的4个数据大于等于5.(3)由临界值知，当χ2>时有95%的把握认为两事件有关.【答案】(1)√(2)×(3)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]相互独立事件的概率有甲、乙两批种子，发芽率分别为和，从这两批种子中各随机地抽取一粒，求：(1)两粒都能发芽的概率；(2)至少有一粒种子能发芽的概率；(3)恰好有一粒种子能发芽的概率.【精彩点拨】甲(或乙)中的种子是否发芽对乙(或甲)中的种子是否发芽的概率是没有影响的，故“甲批种子中某粒种子发芽”与“乙批种子中某粒种子发芽”是相互独立事件.因此可以求出这两个事件同时发生的概率.对于(2)(3)应把符合条件的事件列举出来或考虑其对立面.【自主解答】设以A，B分别表示“取自甲、乙两批种子中的某粒种子发芽”这一事件，eq\o(A,\s\up7(－))，eq\o(B,\s\up7(－))则表示“取自甲、乙两批种子中的某粒种子不发芽”这一事件，则P(A)＝，P(B)＝，且A，B相互独立，故有(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝，故两粒都能发芽的概率为.(2)法一P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝＋－＝.法二至少有一粒种子能发芽的对立事件为两粒种子都不发芽，即P(A∪B)＝1－P(eq\o(A,\s\up7(－))eq\o(B,\s\up7(－)))＝1－P(eq\o(A,\s\up7(－)))P(eq\o(B,\s\up7(－)))＝1－(1－×(1－＝.故至少有一粒种子能发芽的概率为.(3)P(Aeq\o(B,\s\up7(－))∪eq\o(A,\s\up7(－))B)＝P(Aeq\o(B,\s\up7(－)))＋P(eq\o(A,\s\up7(－))B)＝×(1－＋(1－×＝.故恰好有一粒种子能发芽的概率为.1.求解简单事件概率的思路：(1)确定事件间的关系，即两事件是互斥事件还是对立事件；(2)判断事件发生的情况并列出所有事件；(3)确定是利用和事件的概率公式还是用积事件的概率公式计算.2.求解复杂事件概率的思路：(1)正向思考：通过“分类”或“分步”将较复杂事件进行分解，转化为简单的互斥事件的和事件或相互独立的积事件；(2)反向思考：对于含有“至少”“至多”等事件的概率问题，可转化为求其对立事件的概率.[再练一题]1.甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学，每天独立完成6道数学题，已知甲及格的概率是eq\f(8,10)，乙及格的概率是eq\f(6,10)，丙及格的概率是eq\f(7,10)，三人各答一次，求三人中只有一人答题及格的概率是多少？【解】设“甲、乙、丙三人答题及格”分别为事件A，B，C，则P(A)＝eq\f(8,10)，P(B)＝eq\f(6,10)，P(C)＝eq\f(7,10)，设“三人各答题一次只有一人及格”为事件D，则D的情况为Aeq\o(B,\s\up7(－))eq\o(C,\s\up7(－))，eq\o(A,\s\up7(－))Beq\o(C,\s\up7(－))，eq\o(A,\s\up7(－))eq\o(B,\s\up7(－))C，所以P(D)＝P(Aeq\o(B,\s\up7(－))eq\o(C,\s\up7(－)))＋P(eq\o(A,\s\up7(－))Beq\o(C,\s\up7(－)))＋P(eq\o(A,\s\up7(－))eq\o(B,\s\up7(－))C)＝P(A)P(eq\o(B,\s\up7(－)))P(eq\o(C,\s\up7(－)))＋P(eq\o(A,\s\up7(－)))P(B)P(eq\o(C,\s\up7(－)))＋P(eq\o(A,\s\up7(－)))P(eq\o(B,\s\up7(－)))·P(C)＝eq\f(8,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(6,10)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,10)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(8,10)))×eq\f(6,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,10)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(8,10)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(6,10)))×eq\f(7,10)＝eq\f(47,250).用2×2列联表分析两变量间的关系在对人们饮食习惯的一次调查中，共调查了124人，其中六十岁以上的70人，六十岁以下的54人.六十岁以上的人中有43人的饮食以蔬菜为主，另外27人则以肉类为主；六十岁以下的人中有21人饮食以蔬菜为主，另外33人则以肉类为主.请根据以上数据作出饮食习惯与年龄的列联表，并利用eq\f(n11,n1＋)与eq\f(n21,n2＋)判断二者是否有关系.【精彩点拨】eq\x(对变量进行分类)→eq\x(\a\al(求出分类变量,的不同取值))→eq\x(\a\al(作出2×2列联表))→计算eq\f(n11,n1＋)与eq\f(n21,n2＋)的值作出判断【自主解答】饮食习惯与年龄2×2列联表如下：年龄在六十岁以上年龄在六十岁以下合计饮食以蔬菜为主432164饮食以肉类为主273360合计7054124将表中数据代入公式得eq\f(n11,n1＋)＝eq\f(43,64)≈.eq\f(n21,n2＋)＝eq\f(27,60)＝.显然二者数据具有较为明显的差距，据此可以在某种程度上认为饮食习惯与年龄有关系.1.作2×2列联表时，注意应该是4行4列，计算时要准确无误.2.作2×2列联表时，关键是对涉及的变量分清类别.[再练一题]2.题中条件不变，尝试用|n11n22－n12n21|的大小判断饮食习惯与年龄是否有关.【解】将本例2×2列联表中的数据代入可得|n11n22－n12n21|＝|43×33－21×27|＝852.相差较大，可在某种程度上认为饮食习惯与年龄有关系.[探究共研型]独立性检验的综合应用探究1利用χ2进行独立性检验，估计值的准确度与样本容量有关吗？【提示】利用χ2进行独立性检验，可以对推断的正确性的概率作出估计，样本容量n越大，这个估计值越准确，如果抽取的样本容量很小，那么利用χ2进行独立性检验的结果就不具有可靠性.探究2在χ2运算后，得到χ2的值为，在判断变量相关时，P(χ2≥≈和P(χ2≥≈，哪种说法是正确的？【提示】两种说法均正确.P(χ2≥≈的含义是在犯错误的概率不超过的前提下认为两个变量相关；而P(χ2≥≈的含义是在犯错误的概率不超过的前提下认为两个变量相关.为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：男女需要4030不需要160270(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例.(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由.【精彩点拨】题中给出了2×2列联表，从而可通过求χ2的值进行判定.对于(1)(3)可依据古典概率及抽样方法分析求解.【自主解答】(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为eq\f(70,500)＝14%.(2)χ2＝eq\f(500×（40×270－30×160）2,200×300×70×430)≈.由于>，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关.(3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法进行抽样，这比采用简单随机抽样方法更好.1.检验两个变量是否相互独立，主要依据是利用χ2＝eq\f(n（n11n22－n12n21）2,n1＋n2＋n＋1n＋2)公式计算χ2的值，再利用该值与，两个值进行比较作出判断.2.χ2计算公式较复杂，一是公式要清楚；二是代入数值时不能张冠李戴；三是计算时要细心.3.统计的基本思维模式是归纳，它的特征之一是通过部分数据的性质来推测全部数据的性质.因此，统计推断是可能犯错误的，即从数据上体现的只是统计关系，而不是因果关系.[再练一题]3.某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生602080北方学生101020合计7030100根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”.【解】将2×2列联表中的数据代入公式计算，得χ2＝eq\f(n（n11n22－n12n21）2,n1＋n2＋n＋1n＋2)＝eq\f(100×（60×10－20×10）2,70×30×80×20)＝eq\f(100,21)≈.因为＞，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”.[构建·体系]1.为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算χ2＝，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握性约为()A.0.1% %% 【解析】因为χ2＝>，所以有99%以上的把握认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”.【答案】C2.在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过的前提下认为这个结论是成立的，下列说法中正确的是()个吸烟者中至少有99人患有肺癌个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺癌C.在100个吸烟者中一定有患肺癌的人D.在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有【解析】独立性检验的结果与实际问题有差异，即独立性检验的结论是一个数学统计量，它与实际问题中的确定性存在差异.【答案】D3.有两个分类变量X与Y的一组数据，由其列联表计算得χ2≈，则认为“X与Y有关系”犯错误的概率为()% %% %【解析】