信号与系统考试试题及答案

长沙理课程编号J拟题教研室(或老师)签名教研室主任签名 符号说明：sgn⑹为符号函数， ⑴为单位冲击信号，(k)为单位脉冲序列， ⑴为单位阶跃信号，(k)为单位阶跃序列。一、填空(共30分，每小题3分)1.已知f(t)(t24)(t),求f"(t)0f"(t)2(t)4'(t)Kejt0已知f(k){1,2,2,1},h(k){3,4,2,4},求f(k)h(k)0Kejt0信号通过系统不失真的条件为系统函数 H(j) 。H(j)tf()TOC\o"1-5"\h\z若f⑴最高角频率为 m,则对,4,取样的最大间隔是 oT -maxmaxm信号f(t)4cos20t2cos30t的平均功率为o2 2 2P Fn 2 2 1110n已知一系统的输入输出关系为 y⑴f(3t),试判断该系统是否为线性时不变系统。故系统为线性时变系统。1 F(s) k已知信号的拉式变换为 (s1)(s1),求该信号的傅立叶变换F(j)= 。故傅立叶变换F(j)不存在。H(z)8.z2,判断该系统是否稳定已知一离散时间系统的系统函数8.z2,判断该系统是否稳定2 _Q(t2t)(t1)dtf⑴有何 f⑴有何已知一信号频谱可写为 F(j)A()ej3,A()是一实偶函数，试问种对称性 。关于t=3的偶对称的实信号。、计算题(共50分，每小题10分).已知连续时间系统的单位冲激响应 h⑴与激励信号f⑴的波形如图A-1所示,试由时域求解该系统的零状态响应y(t),画出y(t)的波形。图A-1.系统的零状态响应y(t)f(t)皿)，其波形如图A-7所示。图A-7

k.在图A-2所示的系统中，已知hi(k) (k2),h2(k)(0-5)(k),求该系统的单位脉冲响应h(k)o图A-2.h(k)(k)h^k)h2(k) (k)(k2)(0.5)k[k] (k)(0.5)k2(k2).周期信号f⑴的双边频谱如图A-3所示，写出f(t)的三阶函数表示式。图A-3.写出周期信号f⑴指数形式的傅立叶级数，利用欧拉公式即可求出其三阶函数表示式为.已知信号f(t) (t)(t1)通过一线性时不变系统的响应 y⑴如图A-4所示,试求单位阶跃信号 (t)通过该系统的响应并画出其波形。图A-4(t)f(t)f(t1)(t)f(t)f(t1)f(ti)4.因为f(ti)i0故利用线性时不变特性可图A-8Sgn(1)Sgn(2,Sgn(1)0,,试求f(t)o图A-8Sgn(1)Sgn(2,Sgn(1)0,,试求f(t)o12g2(),因为)2g2(),因此，有.已知f(t)的频谱函数F(j)F(j)Sgn(1)5.g2(t) 2Sa(),由对称性可得：2Sa(t)2g2(三、综合计算题(共20分，每小题10分)1.一线性时不变因果连续时间系统的微分方程描述为已知f(t)et(t),y(0)1,y'(0)1,由s域求解:⑴ 零输入响应yx(t),零状态响应yf(t),完全响应y(t);(2)系统函数H(s),单位冲激响应h(t)并判断系统是否稳定;(3)画出系统的直接型模拟框图。解：(1)对微分方程两边做单边拉斯变换得整理后可得零输入响应的s域表达式为进行拉斯反变换可得零状态响应的s域表达式为进行拉斯反变换可得完全响应为根据系统函数的定义，可得进行拉斯反变换即得由于系统函数的极点为-2、-5,在左半s平面，故系统稳定。2s13s2H(s) : 7将系统函数改写为 17s110s2由此可画出系统的直接型模拟框图,如图A-9所示11一线性时不变因果离散时间系统的差分方程描述为已知f(k) (k),y(1) 2,y(2)(2t2)(42t)dt (2t2)(42t)dtK0f1(k)2k{(k)(k3)},f2(k){2,5,3},(2t2)(42t)dt (2t2)(42t)dtK0f1(k)2k{(k)(k3)},f2(k){2,5,3},计算fKk)f1(k)f2(k){2,9,21,26,12}若信号f(t)通过某线性时不变系统的零状态响应为则该系统的频率特性H(j)=,单位冲激响应h(t)系统的频率特性H(j) Kejt°,单位冲激响应h(t)K(tt0)若f⑴的最高角频率为fm(Hz),则对信号y(t)f(t)f(2t)进行时域取样，其(1)零输入响应yx(k),零状态响应yf(k),完全响应y(k)；(2)系统函数H⑵，单位脉冲响应h(k)。)若f(k)(k)(k5),重求(1)、(2)02.(1) 对差分方程两边进行z变换得整理后可得进行z变换可得系统零输入响应为零状态响应的z域表示式为进行z反变换可得系统零状态响应为系统的完全响应为(2)根据系统函数的定义，可得进行z反变换即得(3)若f(k)(k)(k5),则系统的零输入响应yx(k)、单位脉冲响应h(k)和系统函数H(z)均不变，根据时不变特性，可得系统零状态响应为完全响应为长沙理工大学拟题纸课程编号^2拟题教研室(或老师)签名教研室主(k)为单位脉冲序列，⑴为任签名 符号说明：sgn(t)为符号函数，(t)(k)为单位脉冲序列，⑴为单位阶跃信号，(k)为单位阶跃序列、填空(共30分，每小题3分)1.已知某系统的输入输出关系为y(t)t2f⑴邛dt2X(0)(其中X(0)为系统初始变)2.3.4.变)2.3.4. (时变、非时2dt11f2(k)= 状态，f⑴为外部激励)，试判断该系统是(线性、非线性) 系统。线性时变3 2 1(2t 3t)(-t2)dt频谱不混迭的最大取样间隔 TmaxTmax。1max为2fmax16fm(s)图图A-37.1)7.1),求该信号的傅立叶变换1F(s)—

已知信号的拉式变换为 (s 1)(sF(j)=0小存在8.8.H(z)已知一离散时间系统的系统函数。不稳定12z1z2,判断该系统是否稳定9.2 _(t2t)(t1)dt10.已知一信号频谱可写为F(j)A()ej3，A()是一实偶函数，试问f⑴有何种对称性 。因此信号是关于t=3的偶对称的实信号。二、计算题(共50分，每小题10分)1-一，h h(t)—Sa(3t) 一1.已知一连续时间系统的单位冲激响应 ，输入信号f⑴3cos2t， t时，试求该系统的稳态响应。二、解：.系统的频响特性为利用余弦信号作用在系统上，其零状态响应的特点，即可以求出信号f⑴3cos2t， t ，作用在系统上的稳态响应为.已知信号f(2t2)如图A-1所示，试画出f(42t)波形。图A-1.f(2t2)f(42t),根据信号变换前后的端点函数值不变的原理，有变换前信号的端点坐标为t12上 2,利用上式可以计算出变换后信号的端点坐标为由此可画出f(42t)波形，如图A-8所示。.已知信号f⑴如图A-2所示，计算其频谱密度函数 F(j)0图A-23.信号f⑴可以分解为图A-10所示的两个信号f1⑴与f2⑴之和，其中1(t) ()——f1(t)2(t2)2[(t2)]。由于“Jj根据时域倒置定理：f(t)F(j)和时移性质，有故利用傅立叶变换的线性特性可得图A-10k1 k1-、.某离散系统的单位脉冲响应h(k)[(1) (65)](k),求描述该系统的差分方程。.对单位脉冲响应进行z变换可得到系统函数为由系统函数的定义可以得到差分方程的 z域表示式为进行z反变换即得差分方程为.已知一离散时间系统的模拟框图如图 A-3所示，写出该系统状态方程和输出方程。

5.根据图A-5中标出的状态变量，围绕输入端的加法器可以列出状态方程为围绕输出端的加法器可以列出输出方程为写成矩阵形式为三、综合计算题(共20分，每小题10分).已知描述某线性时不变因果离散时间系统的差分方程为在z域求解：系统的单位脉冲响应h(k)及系统函数H(z);(2)系统的零输入响应yx(k);(3)系统的零状态响应yf(k);(4)系统的完全响应y(k),暂态响应，稳态响应；(5)该系统是否稳定？.对差分方程两边进行z变换得整理后可得根据系统函数的定义，可得进行z反变换即得零输入响应的z域表达式为取z反变换可得系统零输入响应为零状态响应的z域表达式为取z反变换可得系统零状态响应为系统完全响应[55(-)k973kl(k)从完全响应中可以看出,[4(2) 24(4)]()随着k的增加而趋于零，故为暂从完全响应中可以看出,40(k)...态响应,(5)2.3''不随着态响应,(5)2.由于系统的极点为乙1/2,z21/4均在单位圆内，故系统稳定。试分析图A-4所示系统中B、CDE和F各点频谱并画出频谱图。已知f(t)T(t)(tnT),T0.02的频谱F(j)如图A-6,n 。B、C、DE和F各点频谱分别为长沙理工大学拟题纸课程编号拟题教研室(或老师)签名教研室主任签名 符号说明：sgn(t)为符号函数，(t)为单位冲击信号， (k)为单位脉冲序列，(t)为单位阶跃信号，(k)为单位阶跃序列。一、填空(共30分，每小题3分)1.若信号f(t)通过某线性时不变系统的零状态响应为则该系统的频率特性H(j)=,单位冲激响应h⑴系统的频率特性H(j)Ke则该系统的频率特性H(j)=,单位冲激响应h⑴系统的频率特性H(j)Kejt0,单位冲激响应h(t)K(t2.若f⑴的最高角频率为fm(Hz),则对信号y(t)f⑴f(2t)进行时域取样，其频谱不混迭的最大取样间隔 TmaxTma:。1m亦为IX1 1,、 (s)2fmax 6fm3.(2t2)(42t)dt(2t2)(422t)dt1dt1K04.G(k)2k{(k)(k3)},f2(k){2,5,3},计算i(k)f2(k)=4.fifi(k)f2(k){2,9,21,26,12}5.已知某系统的输入输出关系为y(t)tf⑴丁2X(0)(其中X(0)为系统初始5.状态,f⑴为外部激励)，试判断该系统是(线性、非线性)(时变、非时变)状态,f⑴为外部激励)，试判断该系统是(线性、非线性)(时变、非时变)系统。线性时变3 2 1(2t23t)(-t2)dt6. 27.已知某连续信号的单边拉式变换为F(s)2s7.已知某连续信号的单边拉式变换为F(s)2s23se2

s(s29),(Re(s)0),

求其反变换f(t)=t2f(t)=t28.已知y(t) 2ee()d,(t 2),计算其傅立叶变换Y(jF(z).已知某离散信号的单边z变换为2z2zF(z).已知某离散信号的单边z变换为2z2z(z2)(z3),(z3),求其反变换f(k)=toH(j.某理想低通滤波器的频率特性为其他，计算其时域特性h(t)=、计算题(共50分，每小题10分)1.已知f⑴的频谱函数F(j)Sgn(1)、计算题(共50分，每小题10分)1.已知f⑴的频谱函数F(j)Sgn(1)Sgn(1),试求f(t)0F(j)Sgn(1)Sgn(1)1.g2(t)2,0,2g2(2sa(),由对称性可得:2Sa(t)2g2()),因为2g2(),因此，有2.已知某系统如图A-1所示，求系统的各单位冲激响应。3t 2t其中hi(t) (t1)h(t)e(t2),h3(t)e(t)图A-1.3.已知信号f⑴和g⑴如图A-2所示，画出f(t)和g⑴的卷积的波形。图A-2.f⑴和g⑴的卷积的波形如图A-9所示。图A-92s7.已知某连续时间系统的系统函数 H(s)s25s3,画出其直接型系统模拟框图，并写出该系统状态方程的输出方程。4.将系统函数改写为H(s)2s14.将系统函数改写为H(s)2s17s215s13s2由此可画出系统的直接型模拟框图，如图 A-11所示。选择积分器的输出作为状态变量，围绕模拟框图输入端的加法器可得到状态方程为图A-11X1(t) X2(t) X2(t) X1(t) 5X2⑴ f(t)围绕模拟框图输出端的加法器可得到输出方程为.试证明：用周期信号fT⑴对连续时间带限信号f⑴(最高角频率为m)取T——样，如图A-3所示，只要取样间隔 m,仍可以从取样信号fs⑴中恢复原信号f(t)0图A-35.利用周期信号频谱和非周期信号频谱的关系可以求出 忏⑴的傅立叶系数为由此可以写出周期信号fT⑴的傅立叶级数展开式对其进行傅立叶变换即得 fT⑴的频谱密度FT(j)取样信号fs(t) f(t)fT(t)，利用傅立叶变换的乘积特性可得T——从Fs(j)可以看出，当02m时，Fs(j)频谱不混迭，即m仍可从取样信号fT⑴中恢复原信号f(t)o三、综合计算题(共20分，每小题10分).已知描述某线性时不变因果连续时间系统的微分方程为已知f(t)et(t),y(0)4,y'(0) 3,在s域求解：系统的单位脉冲响应h⑴及系统函数H(s);(2)系统的零输入响应yx⑴(3)系统的零状态响应yf(t)(t1),,(4)若f(t)e(t1),重求(1)、(2)、(3)o解：.对微分方程两边做单边拉斯变换得整理后可得

(1)根据系统函数的定义，可得进行拉斯反变换即得(2)零输入响应的s域表达式为取拉斯反变换即得(3)零状态响应的s域表达式为取拉斯反变换即得(t1)(4)若f⑴e(t1),则系统单位冲激响应 h(t)、系统函数H(s)和零输入响应yx⑴均不变，根据时不变特性，可得系统零状态响应为.在图A-4所示系统中，已知输入信号f⑴的频谱F(j),试分析系统中AB、GD、E各点频谱并画出频谱图，求出 y⑴与f⑴的关系。图A-4A、B、C、D和E各点频谱分别为ABC、D和E各点频谱图如图A-12所示。将Y(j)与F(j^匕较可得Y(j)Y(j)1 1,；F(j)gPy(t)/⑴。长沙理工大学拟题纸课程编号4拟题教研室(或老师)签名教研室主任签名 TOC\o"1-5"\h\z符号说明：sgn⑹为符号函数， ⑴为单位冲击信号，(k)为单位脉冲序列， ⑴为单位阶跃信号，(k)为单位阶跃序列。一、填空(共30分，每小题3分)1【3e(t2)dt 3e2t(t2)dte2tt2e41. 3 o1. 3k12.若离散时间系统的单位脉冲响应 h(k)(k)(k4),则系统在f(k){1,2,3}k1激励下的零状态响应为f(k)h(k){1,3,6,6,5,3}.抽取器的输入输出关系为 线性时变y(k)f(2k),试判断该系统特性(线性、时不变).若f(t)cos(t)[(t)(tf'(t)sin(t)[(t)(t)](t)],则其微分f'(t).抽取器的输入输出关系为 线性时变y(k)f(2k),试判断该系统特性(线性、时不变).若f(t)cos(t)[(t)(tf'(t)sin(t)[(t)(t)](t)],则其微分f'(t)=)(t).连续信号.f(t)[(t1)sin4tt的频谱F(j)= (t1)]cos(100t)的频谱F(j)=F(j) g8()0,FT{[(t1)(t1)]cos(100t)}Sa(100)Sa(100).已知一离散时间LTI系统的单位阶跃响应g(k)(1)k(k)冲响应h(k)= h(k)g(k)g(k.若f(t)24cos(10t)3cos(20t),(1)(2)k(k)

t)(02(犷，计算该系统单位脉(k1)10为基频)，则f⑴的平均功PFn2222222(3)2(-)216.5率P= _n 2 2y(t).若y(t).若f⑴最高角频率为m,则对隔是 .若离散系统的单位脉冲响应 h(k)f(一)f(—)，一,4 2,取样，其频谱不混迭的最大间一k1 .一k1一―[(1) (0.5) ](k),则描述该系统的差分方程为y(k)1.5y(k1)0.5y(k2)3f(k)2.5f(k1)二、计算题(共50分，每小题10分).已知f⑴的波形如图A-1所示，令r⑴t⑴。图A-1用⑴和r⑴表示f⑴；画出f(2t4)的波形。1、(1)f(t)r(t)r(t1)(t2)r(t3)r(t4) (t2)(2)将f(2t4)改成f[2(t2)],先压缩，再翻转，最后左移2,即得f(2t4),如图A-8所不。2. 已知某线性时不变(LTI)离散时间系统，当输入为 (kD时，系统地零状试计算输入为f(k)2试计算输入为f(k)2(k)(1)k(k1)态响应为2 ,(k)时，系统的零状态响应y(k)。2.已知某线性时不变(2.已知某线性时不变(LTI)离散时间系统，当输入为(k1)时，系统地零状态响应为1应为1k(2)(k1)试计算输入为f(k)2(k) (k)时，系统的零状态响应y(k).已知信号f⑴的频谱如图A-2所示，求该信号的时域表示式。图A-2因为系统函数为因为g2(t) 2sa(),由傅立叶变换的对称性可得： 2Sa(t) 2 g2( )2 g2()由调制性质，有由时移性质，有因此. 已知一连续时间系统的频响特性如图 A-3所示，输入信号f⑴53cos2tcos4t， t,试求该系统的稳态响应 y⑴图A-34.利用余弦信号作用在系统的零状态响应的特点，即在本题中，()。，因此由上式可以求出信号 f(t)作用在系统上的稳态响应为T{f(t)}5H(j0)3H(j2)cos2tH(j4)cos4t52cos2t t5.已知信号f(t)(t)(t1)通过一LTI系统的零状态响应为y(t) (t1)(t1),试求图a-4所示信号g⑴通过该系统的响应yg⑴并画出其波形。图A-4

5.因为g⑴f()d,所以，利用线性时不变系统的积分特性，可得其波形如图A-9所示。图A-9三、综合计算题(共20分，每小题10分).描述一线性时不变因果连续时间系统的微分方程为已知f(t)et⑴,y(0)1,y'(0)1由s域求解：零输入响应yx(t)零状态响应yf⑴，完全响应y⑴；系统函数H(s),单位冲激响应h(t),并判断系统是否稳定;(3)画出系统的直接模拟框图(1)因为1-Sa(t)g2()又因为 ，由调制定理，可得即由于sin(2t)j[( 2) ( 2)],即由频域微分性质，可知：jth(t)H(j),所以有jth(t)j[Sa(t)sin(3t)sin(2t)]jth(t)j[Sa(t)sin(3t)sin(2t)]整理得(2)由于H(j)是一个带通滤波器，下限角频率为2rad/s,上限角频率为4rad/s,因此，只有角频率为3rad/s的信号分量可以通过该滤波器。由cos(ot) |H(jo)cos[ot (o)]可知由于1H(j3)O5, (3)0,所以有：0.4cos(3t) 0.2cos(3t),即2.在图A-5所示的系统中，周期信号 p(t)是一个宽度为(T)的周期矩形脉冲串，信号f⑴的频谱为F(j)0计算周期信号p(t)的频谱Fn；计算P(t)的频谱率密度P(j);求出信号fp⑴的频谱表达式Fp(j)若信号f⑴的最高频率m,为了使FP(j)频谱不混迭，T最大可取多大？图A-51)利用傅立叶级数的计算公式可得到周期信号 P⑴的频谱Fn为(2)周期信号P⑴的指数函数形式的傅立叶级数展开式为对其进行Fourier变换即得p(t)的频谱密度P(j)为⑶由于fp⑴f(t)p⑴，利用傅立叶变换的乘积特性，可得(4)从信号fp⑴的频谱表达式Fp(j)可以看出，当02m时，Fp(j)频谱不混迭,长沙理工大学拟题纸课程编号5拟题教研室(或老师)签名教研室主任签名 (k)为单位脉冲序列，⑴为单位阶跃信号,(k)为单位脉冲序列，⑴为单位阶跃信号,(k)为单位阶跃序歹限符号说明：sgn(t)为符号函数，(t)为单位冲击信号,、填空(共30分，每小题3分)1.[(t)(t2)] (2t2)[(t)(t1 12)](2t2)[(t)(t2)]2(t1)2(t1)f(k)f(k)3.2.{1,若某离散时间LTI系统的单位脉冲响应h(k){2，1，3},激励信号2,1,2}，则该系统的零状态响应f(k)h(k)h(k){2,1.[(t)(t2)] (2t2)[(t)(t1 12)](2t2)[(t)(t2)]2(t1)2(t1)f(k)f(k)3.2.{1,若某离散时间LTI系统的单位脉冲响应h(k){2，1，3},激励信号2,1,2}，则该系统的零状态响应f(k)h(k)h(k){2,3,3,1,5,6}连续时间信号f(t)sin(t)的周期T0=所得离散序列f(k)=-f(k)f(t)tkTsinkoO利用排表法可得。若对f(t)以fs1Hz进行抽样,,该离散序列是否是周期序列不是4. 对连续时间信号延迟t0的延迟器的单位冲激响应为 (tt0),器的单位冲激响应为⑴,微分器的单位冲激响应为 ,积分(t)5.H(j)H(j)已知一连续时间LTI系统的频响特性1j1j,该系统的幅频特性，相频特性(j)=H(j)ej2arctan(),是否是无失真的传输系统O不是H(j)6.根据Parseval能量守恒定律，计算2arctan()(*2dt2驷dtJt22g2()d2d7.已知一连续时间LTI系统得单位冲激响应为h⑴，该系统为BIBO)(有界输入7.8.有界输出)稳定系统的充要条件是 _已知信号8.有界输出)稳定系统的充要条件是 _已知信号f(t)的最高频率为s(rad/s)，信号h(t)dt o2,,、f(t)的最局频率是9.h(k)g(k)响应为 。10.已知连续时间信号f(t)sint[⑴g(k(tk11) (k)4/2)],其微分k11(k1)4f'(t) h(t)h(t)与激励信号画出y⑴的波形f⑴的波形如图A-1所二、计算题(共50分，每小题10分)1.已知某连续时间系统的单位冲激响应示，试由时域求解该系统的零状态响应 y(t),图A-11.系统的零状态响应y(t)f(t)h(t),其波形如图A-7所示。图A-72.若f⑴得波形如图A-2所示，试画出f(0.5tD的波形图A-2.将f(0.5tD改写为f[0.5(t2)],先反转，再展宽，最后左移 2,即得f(0.5t1),如图A-8所示。H(z)3z22z—.已知一离散系统的系统函数 z33z22s1画出系统的直接型模拟框图；在模拟框图上标出状态变量，并写出状态方程和输出方程。1 2H(z) z-2V、(1)将系统函数改写为 13z12z2z3,由此可画出系统的直接型模拟框图，如图A-10所示。4.已知连续时间LTI因果系统工程微分方程为输入f⑴et⑴，初始状态y(0)1,y'(0)3。利用单边拉式变换的微分特性将微分方程转换为s域代数方程。由s域代数方程求系统的零输入响应yx⑴和零状态响应yf(t)。4、(1)对微分方程两边做单边拉斯变换即得 s域代数方程为整理上述方程可得系统完全响应得 s域表达式为其中零输入响应的s域表达式为取拉斯反变换可得零状态响应的s域表达式为取拉斯反变换可得5.已知连续系统的系统函数 H(s)的零极点如图A-3所示，且H()2图A-3写出H(s)的表达式，计算该系统的单位冲激响应 h(t);计算该系统的单位阶跃响应 g(t)05、(1)由零极点分布图及H()的值可得出系统函数H(s)为取拉斯反变换可得单位阶跃响应的s域表达式为t 3t、 …取拉斯反变换可得g(t)(3e5e)(t)三、综合计算题(共20分，每小题10分)一离散时间LTI因果系统的差分方程为系统的初始状态y(1)1/2,y(2)1/4,输入f(k)的。由z域求系统的零输入响应yx(k)和零状态响应yf(k)。求该系统的系统函数H(z),并判断系统是否稳定。1、(1)对差分方程两边进行z变换得整理后可得零输入响应的z域表达式为取z反变换可得系统零输入响应为零状态响应的z域表达式为取z反变换可得系统零状态响应为

H(z)(2)H(z)(2)根据系统函数的定义，可得由于系统的极点为4 1，z2Yf(z) 2z1F(z)13z127T2,均不在单位圆内，故系统不稳定2.已知某高通的幅频特性和响频特性如图 A-4所示，其中c80,图A-4(1)计算该系统的单位冲激响应 h⑴；(2)若输入信号f⑴10.5cos60t0.28s120t,求该系统的稳态响应y⑴。2、2、(1)因为系统的频率特性为:H(j)口g2c()]ejt°。又因为c(t) ［，一Sa(ct)g2c(),所以，有由时移性质得(2)由于高通系统的截频为80，信号f⑴只有角频率大于80的频率分量才能通过，故课程编号_6任签名长沙理工大学拟题纸拟题教研室(或老师)签名教研室主符号说明：sgn课程编号_6任签名长沙理工大学拟题纸拟题教研室(或老师)签名教研室主符号说明：sgn(t)为符号函数，(t)为单位冲击信号,(k)为单位脉冲序列,⑴为单位阶跃信号,(k)为单位阶跃序歹限、填空(共30分，每小题3分)5(t3)(2t4)dt―1. 5.已知实信号f⑴的傅立叶变换F(j的傅立叶变换.已知实信号f⑴的傅立叶变换F(j的傅立叶变换Y(j)为 )R(1jX(),信号y⑴〒⑴f(t)].已知某连续时间系统的系统函数为H(s)1s1,该系统属于低通4.如下图A-1所示周期信号f⑴，其直流分量=k(n)5.序列和k(n)5.序列和n图A-1k[n]d由于nk1,0,k0।八(k1)(k)k0 o.LTI离散系统稳定的充要条件是H(z)的全部极点在单位圆内。..LTI离散系统稳定的充要条件是H(z)的全部极点在单位圆内。.已知信号f⑴的最高频率f0(Hz),对信号大取样间隔Tmax= 8.已知一连续系统在输入 系统(线性时变性)。线性时变T、rTmaxTmax 2fmaxf(t/2)取样时，其频率不混迭的最1fo0f⑴作用下的零状态响应y(t) f(4t),则该系统为y(t)f(—)f(—) . ... ..若f(t)最高角频率为m,则对 4,12,取样，其频谱不混迭的最大间隔是 F⑵.已知f(k)的z变换(z2)(z2),F(z)得收敛域为zmax(Z1,Z2)2时，f(k)是因果序列。二、计算题(共50分，每小题10分).某线性时不变连续时间系统的单位冲激响应 h(t)和输入f(t)如图A-2所示，从时域求解该系统的零状态响应 y⑴o图A-21、系统的零状态响应y(t)f⑴*h图A-21、系统的零状态响应y(t)f⑴*h⑴，如图图A-42.已知系统y'⑴2y⑴f(t)的完全响应为输入响应和零状态响应。2、对微分方程取拉斯变换得整理得因此有A-4所示。y(t)(2et2t、3e)(t),求系统的零y(0)Yx⑸M取拉斯反变换，得零输入响应为由给定的系统全响应可知，激励信号应为:Yf(s)f(t)ket(t),因此，其拉斯变换为F(s)—s1,因而有F(s)—s1,因而有取拉斯反变换，得零状态响应为因此。系统的全响应为,、一t-2t-,、与给定的系统全响应y(t)[2e3e](t)比较，可得：k因此，系统的零输入响应为系统的零状态响应为2,y(03.已知N=5点滑动平均系统的输入输出关系为位脉冲响应，并判断系统是否因果、稳定。3.3.已知N=5点滑动平均系统的输入输出关系为位脉冲响应，并判断系统是否因果、稳定。3.根据系统的单位脉冲响应的定义，当系统的输入信号y[k]1f[kn],求系统的单f(k)为单位脉冲序列 (k)时，其输出y(k)就是系统的单位脉冲响应h(k)1n1h(k)1n1h(k)a。(kn)1[(k)(k1)5(k2)(k3)(k14)] [(k)(k5)]54.已知连续时间系统的系统函数方程。4.已知连续时间系统的系统函数方程。H(s)由于h(k)满足h(k)0,k0所以系统是因果、稳定的。s21s3 2s23s1,写出其状态方程和输出.根据系统函数画出系统的模拟框图，并选择积分器的输出作为状态变量，如图A-5所示，围绕模拟框图输入端的加法器可得到状态方程为图A-5Xi(t)X2(t) X2(t)X3(t) X3(t) Xi(t)2X2(t)3X3(t)f(t)围绕模拟框图输出端的加法器可得到输出方程为 y⑴。⑴X3⑴.在图A-3所示的系统中，周期信号 P(t)是一个宽度为(T)的周期矩形脉冲串，信号f⑴的频谱为F(j)。计算周期信号P⑴的频谱Fn；计算P⑴的频谱率密度P(j)；求出信号fp⑴的频谱表达式Fp(j)(4)若信号f⑴的最高频率m,为了使Fp(j)频谱不混迭，T最大可取多大？图A-35、(1)利用傅立叶级数的计算公式可得到周期信号 P⑴的频谱Fn为(2)周期信号P⑴的指数函数形式的傅立叶级数展开式为对其进行Fourier变换即得p(t)的频谱密度P(j)为⑶由于fp⑴f(t)p⑴，利用傅立叶变换的乘积特性，可得(4)从信号fp⑴的频谱表达式Fp(j)可以看出，当02m时，Fp(j)频谱不混迭，T——即m三、综合计算题(共20分，每小题10分).描述一线性时不变因果离散时间系统的差分方程为已知f(k)(k),y(1) 2,y(2)3,由z域求解：(1)零输入响应yx(k)零状态响应yf(k),完全响应y(k)；(2)系统函数H(z),单位冲激响应h(k);(3)若f(k)2(k1),重求(1)、(2)(1) 对差分方程两边进行z变换得整理后可得零输入响应的z域表示式为取z反变换可得系统零输入响应为零状态响应的z域表示式为取z反变换可得系统零状态响应为系统的完全响应(2) 根据系统函数的定义，可得取z反变换即得系统单位冲激响应为(3)若f(k)2(k1),则系统的零输入响应yx(k)、单位冲激响应h(k)和系统函数H(z)均不变，根据线性时不变特性，可得系统零状态响应为系统全响应为2.连续时间线性时不变(LTI)系统的微分器的系统函数为：Hc(s)s

若设:若设:21zcos(cos(0t )0.4cos(30t/2)(因为02/T01)s 1(2)Ts1 z1(2)则用(2)式代替(1)式中的s来设计离散时间LTI系统的方法称之为双线性变换法。Ts是在设计过程中须确定的一个大于零的数。(1)试画出离散系统的框图。(2)确定离散时间系统的频率响应 Hd(ej),画出它的幅度及相位响应。2、解：(1)令Hd(z)为离散系统的系统函数，则由题中给出的公式( 1)和(2)得：因此可知该系统可由两个子系统级联构成，如图A-6(a)所示：可简化为图A-6(b):图A-6(2)由系统函数可得该系统的频率响应 Hd(ej)Hd(Z)zej为TOC\o"1-5"\h\z： 2Hd(e)J-tan-J—注意1：时，有： TS 2TS幅频特性和相频特性如图 A-7(a)、(b)所示。(a) (b)图A-7长沙理工大学拟题纸(7)一、填空(共30分，每小题3分)1、某连续系统的零状态响应为 y⑴2f⑴试判断该系统特性(线性、时不变、稳定性)。非线性、时不变、稳定系统2、 (t)cos(2t)=o(t)cos(2t)(t)3、若离散时间系统的单位脉冲响应为 h(k)51,2},则系统在f(k){1,2,2,1}激f(k)*h(k) 1,1,2,7,5,2励下的零状态响应为。4、已知一周期信号f⑴的周期T0 2 ，其频谱为％1, F1 °.5ej,F1 0.5eJ,F3 0.2J，F30.2J,写出f⑴的时域表达式of(t) Fnejn 0t 10.5e j(0t ) 0.5ej( 0t ) 0.2je j3 0t0.2Jej3 0tn

5、信号f(t)e2tcos(100t)(t)的频谱F(j)=F(j) —2f()；8f()；8、单位门信号g⑴的频谱宽度一般与其门信号的宽度有关，越大，则频谱宽度越窄。9、拉普拉斯变换域傅立叶变换的基本差别是—信号满足绝对可积条件时才存在傅立叶变换;它们的关系是—而信号不满足绝对可积条件时也可能存在拉普拉斯变换；sin,d10、、计算题(共50分，每小题10分)F⑸ 71、已知s(1e),收敛域Re(s)。，试求其拉氏反变换f⑺，并画出f⑴的波形。_ 1 1 1 1F(S) 2s(t) (tnT)1qTs/Rds)0、1.因为s1e, s,no 1e,(Re(s)0)1(t2n) 27令T2,得n0 1eo由傅立叶变换的时域卷积性质，有10024 2j46、连续系统与离散系统的重要区别特点是6、连续系统与离散系统的重要区别特点是o离散系统的频谱具f(t)(t)*(t2n)(t2n)

n0 n0f(t)(t)*(t2n)(t2n)

n0 n0其波形如图A-6所示图A-6有周期性;7、设连续时间信号f(t)的傅立叶变换为F(j)，则F(jt)的傅立叶变换2、某连续LTI时间系统得频率响应H(j)如图A-1所示，试求：图A-1(1)系统的单位冲激响应h(t);(2)输入f⑴10.6cost0.4cos3t02cos5t, t，系统的输出y⑴2.解 ‘(1)因为一Sa(t) g2()又因为 2 ,由调制定理，可得即

由于sin(2t)j[(由频域微分性质，可知：jth(t) j[Sa(t)sin(3t)2) ( 2)],即jth(t)H(j),所以有sin(2t)]一,整理得(2)由于2) ( 2)],即jth(t)H(j),所以有sin(2t)]一,整理得由cos(0t)H(j0)cos[0t(0)]可知由于|H(j3)0.5(3)0,所以有：0.4cos(3t) 0.2cos(3t),即h由cos(0t)H(j0)cos[0t(0)]可知由于|H(j3)0.5(3)0,所以有：0.4cos(3t) 0.2cos(3t),即hi(k)3、已知某离散时间系统如图k(k1)h2(k)0.5(k)oA-2所示，试求该系统的单位脉冲响应 h(k)o其中3.4、h(k)[N(k) (k)]*h2(k)图A-2n(k)*h2(k)h2(k)已知x(t)的波形如图A-3所示,f(t)x(12t),f(t)的频谱为F(j),(1)画出f⑴的波形；(2)计算F(j0);(3)计算F(j(4)计算F(j)F(j；(5)计算U图A-34.解：(1)因为:f(t)x(12t),令12t,则有，4.解：(1)因为:f(t)x(12t),令12t,则有，f«)1x(12t)x()0由x⑴的波形可知，当的波形如图A-7所示:1时,1； 0时,1时,t0。因此，f⑴图A-7(2)由作图法可知,设f(t)F(j),又因为：g⑴”,即:g”t)21cSa(二)设f(t)F(j),又因为：g⑴”,即:g”t)21cSa(二)2 4,由傅立叶变换的时域性质，有:1 1八喧4) -Sa(-)eg1(t23 1—)Sa(—)e4 2 4.3j一4O再根据傅立叶变换的微分性质可得:jF(j)2- J-Sa(-)e44.3

j—Sa(-)e44因此,-0 1 因此,-0 1 20F(j0)[2Sa(0)1Sa(4)]e.0j-21 ：,f⑴QF(j)ejd得:F(j)d21 ：,f⑴QF(j)ejd得:F(j)d2f(0)Pasvarl定理:f(t)2dtF(j2d有:TOC\o"1-5"\h\z2sinj L(5)因为:F(j) e2d2F(j)Sa()e2(5)因为:1 j2又因为：f⑴g2(t2) 2F(j)Sa()e2,所以有:一 “ 1 _ _j「f(t)g2(t2)—2F(j)Sa()e2ejtd, 113[f(t)*g2(t4)]t0f()g2( -)df()[( -) (-)]d其中， 2 2 25、如图A-4所示连续时间系统，其中延时器延时 T秒，理想低通滤波器的频率响应为：H1(j)g2c()ejt0其中g2c()是宽度为2c的单位门频谱。已知激励为：f(t)sintsaf(t)sintsa⑴,求:(1)系统的单位冲激响应h(t);(2)c1时系统的零状态响应；(3)c1时系统的零状态响应。图A-4(1)由题图可得：h(t)[(t)(tT)]*h1(t)h1(t)h1(tT),又因为:h1(t)h1(t)—Sa[c(t片)]⑵因为f⑴Sa⑴ F(j)g2(),所以有：当c1时，有因而得：yf(t)Sa(tt。)Sa(tt0T)(3)当c1时，同理可得：yf(t) c{Sa[c(tto)]Sa[c(tt0T)]}三、综合计算题(共20分，每小题10分)f(t)(tnT°)n1、已知一LTI系统的频率响应为系统的输入信号f(t)为周期Tf(t)(tnT°)n(1)试求周期信号f⑴指数形式的傅立叶级数的系数 Fn。(2)试求周期信号f(t)的频谱F(j)o(3)试求系统的输出信号y(t)0TOC\o"1-5"\h\z2 3(1)因为T04/3,所以0 T0 2。傅立叶级数系数为(i(in)F(j)2Fn( ；n)-) n 2 2n.3j_(3)因为H(j)g4()e2,所以只有频率为此，有因为因此，有2的信号分量才能通过系统，因2.一线性时不变离散时间因果系统的直接型模拟框图如图 A-5所示，输入已知f(k)4k(k),y(1) 1,y(2)2,由Z域求解：(1)描述系统的差分方程 (2) 零输入响应yx(k),零状态响应yf(k),完全响应y(k).(3)系统函数H(z),单位脉冲响应h(k);(4)系统的状态方程和输出方程。2.(1)由图A-52可知，输入端求和器的输出为zX2(z)F(z)3X2(z)2X1(z)X1(z)z1X2(z)⑴(2)式(2)代入式(1)得1X2⑵F")输出端求和器的输出为Y⑵(z4)X2⑵HHr即或因此系统的差分方程为(2)对上述差分方程取单边整理得因此取z反变换得z变换得一k zf(k)4(k) ——因为 z4,所以取z反变换得全响应为(3)由系统函数的定义可得取z反变换得系统单位冲激响应为(4)由式(1)、(2)可得系统的状态方程为即由式(4)可得系统的输出方程为或长沙理工大学拟题纸课程编号 8 拟题教研室(或老师)签名教研室主任签名 符号说明：sgn(t)为符号函数， ⑴为单位冲击信号，(k)为单位脉冲序列， ⑴为单位阶跃信号，(k)为单位阶跃序列。、填空(共30分，每小题3分)跃响应g⑴二r(t1),这里,跃响应g⑴二r(t1),这里,r(t)t(t)s左半平面，则h(t)t的值为y(t)10、若f(t)F(s),则信号5、F(s)2sY(s) es二、计算题(共50分，每小题10分)1、信号f⑴与h⑴的波形如图A-1的波形。一、解tf(t20,所示,)d,t2t*2,单边拉氏变换Y⑸=试求此两信号的卷积 y⑴，并画出y⑴1、奇异信号是指的一类信号。数学表达式属于奇异函数；2、线性时不变系统一般用数学模型来描述。线性微分方程或线性差分方程；3、系统的零状态响应与有关，而与无关。外加输入信号；系统的初始状态；4、系统的单位冲激响应是指。输入为单位冲激信号时，系统的零状态响应；5、周期信号的频谱特点是,而非周期信号的频谱特点则是。离散的；连续的；6、信号时域变化越快，其对应的频谱所含的高频分量(越少，越多)多 。, 1 1 11、因为f(t) g1(t -) g1(t -)h(t) 2g11、因为2 2 , 2 ,因此，有又因为由卷积的时移性质，可得y⑴的波形如图a-8所示。图A-8图A-1'2、若f⑴的波形如图A-2所示，试画出f(t)和f(0.5t9的波形。图A-2

f⑴的波形如图A-9所示；f(0.5tD的波形通过翻转、展缩和平移得到，如图A-10所示。图A-9图A-103、已知f⑴通过一lti系统的响应为y⑴，试用时域方法求g⑺通过该系统的响应z⑴，并画出z⑴的波形。f⑴，y⑴，g⑴的波形如图A-3所示。图A-3设系统的单位冲激响应为 h⑴，则有y(t)f(t)*h(t)o由卷积的积分性质，有又因为g⑴f(t),而z«)g⑴*h⑴，由卷积的微积分性质，有由于y(t)(t1)(t3)2(t4),所以，有z⑴的波形如图A-11所示。图A-114、试求图A-4所示信号的频谱F(j)0图A-4f(t)1f1⑴，其中，f1⑴、f1⑴和f1⑴分别如图A-12所示。由图A-12可得图A-12设f1⑴ F1(j),由傅立叶变换的微分性质可得：因此有即5、如图A-5所示RLC电路，已知：iL(0)1A,Uc(0)1V,R1.5,L0.5H,C1F,试求：(1)系统传输函数H(s)和系统单位冲激响应h(t),并判断系统的稳定性；⑵当f⑴2⑴时，电阻两端的电压y⑴?图A-55.解：(1)由RLC电路的零状态S域模型可得：H(i)) 系统传输函数为： s23s2;2tt、…系统单位冲激响应为：h(t)3(2ee)(t)由于极点一1和一2全在S域的左半平面，因此，该系统是稳定系统;(2)由RLC电路的全响应S域模型可得：因而有:3因而有:3ty⑴2e⑴三、综合计算题(共20分，每小题10分)1、如图A-6所示，已知某连续系统，其中系统的单位冲激响应为:2几⑴(t)sin(t)几⑴(t)t2 , h2(t)(1)求f(t) y⑴的系统单位冲激响应h⑴和频率响应H(j)?并画出H(j4勺图形;(2)判定该系统有何种滤波波作用;(3)当2 1 图形;(2)判定该系统有何种滤波波作用;(3)当2 1 sin(2nn12n11)t时,求系统的输出y(t)0图A-61.解:(1)由图知，h(t)h2(t) h1(t)(t)_2Sa(t)o因为:(1)由图知，h(t)h2(t) h1(t)(t)_2Sa(t)o因为:⑴Sa(T),根据傅立叶变换的对称性，有:S*))。令2Sa(t)2g2),即：Sa(t)g2()o根据傅立叶变换的频域卷积性质有:_2 1Sa(t) 2-g2H(j)H(j)因此，其频率响应如图1-[(2)(2A-3所示：)]图A-3(2)由上图可知，该系统具有高通滤波作用。(3)y(t)f(t)*h(t) f(t)*[ (t)Sa2(t)]f(t)f(t)Sa2(t)京f(t)而(3)y(t)f(t)*h(t) f(t)*[ (t)Sa2(t)]f(t)f(t)Sa2(t)京f(t)而又因为所以：_2Sa(t)1F(j)2-[( 2)2)],所以有:f(t)Sa2(t)1.jt1.jt二二jeje22 2sin2、离散时间系统如图A-7所示，已知y(1)y(2)1f(n)1n3(n),试求:(1)写出描述该系统的差分方程； (2)设该系统为因果系统，求系统函数H(z)和单位脉冲响应h(n)；(3)求系统零状态响应yf(n)、零输入响应yx(n)和全响应y(n)；(4)在Z平面5)设信号的采样周期上画出H(z)5)设信号的采样周期Ts秒，请画出系统的幅频响应特性图。

图A-72.解：(1)系统的差分方程为：对差分方程取单边Z变换，得整理得：其中：(2)系统传输函数为：系统单位脉冲响应为：(3)系统零输入响应为：系统零状态响应为：系统全响应为：(4)H(z)的零极点分布如图A-14所示，由于极点全部在单位圆之内，所以系统是稳定的。图A-14 图A-151H(ej) —__1Pp__r系统幅频特性为： eJ讶e 其幅频特性如图A-15所示。长沙理工大学拟题纸(9)一、填空(共30分，每小题3分)1、某连续时间系统其中f(t)为输入信号，试问该系统为该系统为线性、因果、时变、不稳定系统系统(线性、时不变、因果、稳定性)。2、连续时间无失真传输系统的传输函数 H(j)具有其幅频特性为常数,相频特性为过原点的一条直线特点。3、已知某离散时「系统的输入f(n)和输出y(n)由下面的差分方城描述试问该系统具有 高通 滤波特性(低通、高通、带通或全通)。sin100t4、已知某系统单位冲激响应为： t,系统的频率响应H(j)为。5、若离散时间系统的单位脉冲响应为 h(k)U1,2},则系统在f(k){1,2,2,1}激励下的零状态响应为。6、已知一连续时间LTI系统的单位冲激响应h⑴⑴(tD,其系统单位阶跃响应g(t)=g(t)h()d「⑴r(t1),这里,r(t)t(t)y(t)跃响应g(t)=g(t)h()d「⑴r(t1),这里,r(t)t(t)y(t)7、Y(s)=若3F(s),则信号Y(s) F(s)-e2so stf(t20,)d,t2,单边拉氏变换8、信号8、信号f(t)e2tcos(100t)(t)的频谱F(j2jF(j)—2 4——100 4j49、连续系统与离散系统的重要区别特点是有周期性O9、连续系统与离散系统的重要区别特点是有周期性O离散系统的频谱具10、单位门信号g⑴的频谱宽度一般与其门信号的宽度 有关，越大，则频谱宽度越窄。二、计算题(共50分，每小题10分)1、已知两个周期矩形脉冲信号fi⑴和f2(t):(1)若fi⑴的矩形宽度 1s，周期T2s，幅度E1V,试问该信号的谱线间隔是多少？带宽是多少？(2)若f2⑴的矩形宽度 2s,周期T4s,幅度E3V,试问该信号的谱线间隔是多少？带宽是多少？(3)f1⑴和f2⑴的基波幅度之比是多少？1T/2 .+ 1/2Fn—f(t)ejn0tdt—Ee(3)f1⑴和f2⑴的基波幅度之比是多少？1T/2 .+ 1/2Fn—f(t)ejn0tdt—Eejn、解：因为TT/2 T/2(1)相邻谱线间隔为：0 106(同/目或心0t出—Sa

T500kHz.2 6 1…,B—2 10(rad/s)^B1000kHz用范为： 或 ；基波幅度为:1c 11 Sa(—)1 2 25⑵邻谱线间隔为：0510(rad/s)或f0250kHz；_ 2 6B—106(rad/s)市范为：基波幅度为:1 1冶)1I-B—500kHz

或 ；3基波幅度之比为1:3。ni2、若f⑴的波形如图A-1所示，试画出f。和f(。⑸9的波形。图A-12、f⑴的波形如图A-6所示；f(。5D的波形通过翻转、展缩和平移得到，如图A-7所不'。图A-6图A-73、已知一LTI离散时间因果系统的零极点分布如图 A-2所示，图中表示极点，0表示零点，且H()4,试求该系统的单位脉冲响应 h[k],并判断系统是否稳7Ho图A-23、由题意可知，系统函数为因为H()4,所以k4,因此,H(z) 4-2) 2上2上(z1)(z3)z1z3,由(k)由于系统的全部极点在单位圆以外，所以,系统不是稳定的。4、某连续LTI时间系统得频率响应H(j)如图A-3所示，试求:图A-3(1)系统的单位冲激响应h(t);⑵输入f⑴10.6cost0.4cos3t0.2cos5t,t,系统的输出⑵输入f⑴(1)因为cp阴%-Sa(t)又因为即由于sin(2t)j由频域微分性质,g2(),由调制定理，可得[(可知:2) ( 2)],即jth(t)H(j),所以有(1)因为cp阴%-Sa(t)又因为即由于sin(2t)j由频域微分性质,g2(),由调制定理，可得[(可知:2) ( 2)],即jth(t)H(j),所以有jth(t)j[Sa(t)sin(3t)sin(2t)],整理得(2)由于H(j)是一个带通滤波器，下限角频率为 2rad/s,上限角频率为4rad/s,因此，只有角频率为3rad/s的信号分量可以通过该滤波器。由cos(0t)由于1H(j3)5、如图iL(0)1A,H(j0)cos[0t(0)]可知。5, (3)0,所以有：0.4cos(3t)A-4所示RLC电路，已知：uc(0)1V,R1.5,L0.5H,C0.2cos(3t),即(1)系统传输函数H(s)和系统单位冲激响应(2)当f(t)2(t)时，电阻两端的电压y⑴5、解：(1)由RLC电路的零状态S域模型可得：3s1F,试求：h(t),并判断系统的稳定性;H(i) 系统传输函数为： s23s2;2tt系统单位冲激响应为：h(t)3(2ee)(t)由于极点一1和一2全在S域的左半平面，因此，该系统是稳定系统；(2)由RLC电路的全响应S域模型可得：3ty(t);e(t)因而有： 2三、综合计算题(共20分，每小题10分)1、一线性时不变离散时间因果系统的直接型模拟框图如图 A-5所示，输入已知kf(k)4(1)(k),y(1) 1,y(2)2,由z域求解：图A-5描述系统的差分方程(2)零输入响应yx(k),零状态响应yf(k),完全响应y(k)•(3)系统函数H⑵，单位脉冲响应h(k)；(4)系统的状态方程和输出方程。1、(1)输入端求和器的输出为zX2(z)F(z)Xi(z)3X2(z)2X1(z)1zX2(z)⑴(2)式(2)代入式(1)得13)『^7F(z)输出端求和器的输出为

Y⑵(z4)X2⑵rt^F(z)因此系统的差分方程为(2)对上述差分方程取单边z变换得整理得因此取z反变换得因为k因为kf(k)4(k)取Z反变换得全响应为(3)由系统函数的定义可得取z反变换得系统单位冲激响应为(4)由式(1)、(2)可得系统的状态方程为即由式(4)可得系统的输出方程为或2、连续时间线性时不变(LTI)系统的微分器的系统函数为:Hc(s)s若设:21z1

s 1(2)Ts1z1(2)则用(2)式代替(1)式中的s来设计离散时间LTI系统的方法称之为双线性变换法。Ts是在设计过程中须确定的一个大于零的数。A、试画出离散系统的框图。B、确定离散时间系统的频率响应Hd(ej),画出它的幅度及相位响应。2、解：A令Hd(z)为离散系统的系统函数，则由题中给出的公式( 1)和(2)得:因此可知该系统可由两个子系统级联构成，如图A-8(a)所示：可简化为图A-8(b):图A-8B、由系统函数可得该系统的频率响应 Hd(ej)Hd(z)zej为i 2Hd(e)j—tan7jZT注意1:时，有： TS 2TS幅频特性和相频特性如图 A-9(a)、(b)所示

(a)(b)(a)(b)图A-9长沙理工大学拟题纸课程编号 10拟题教研室(或老师)签名教研室主任签名 符号说明：sgn⑹为符号函数， ⑴为单位冲击信号，(k)为单位脉冲序列， ⑴为单位阶跃信号，(k)为单位阶跃序列。一、填空(共30分，每小题3分).矩形脉冲波形(高度为A,宽度为b)的信号能量为。EA2b.序列xk的自相关法*)是一个偶对称函数，它满足关系式。rxx(k)rxx(0).线性时不变连续稳定的因果系统，其传输函数 H(s)的极点位于全部位于左半开复平面。.某线性时不变系统的单位冲激响应若为 h⑴et⑴tcos(2t)⑴，则系统是五阶系统。(几阶系统)3F(j) 2 5t. (5j) 9的傅立叶反变换f⑴为esin(3t)⑴。.已知周期信号f⑴的第三次谐波的幅度等于3,则信号f(2t)的第三次谐波的幅度等于―3。.令x(k)2k,y(k)(k3),如果z(k)x(k)y(k),试求其和z(k) 8o.卷积(t)*et(t)(1et)(t)02a.信号x(n)e明，a>0的傅立叶变换为下—2;cX(7) —1-II 八、 k.已知1az1,za,则x(k) 。x(k)a(k)、计算题(共50分，每小题10分)1.某理想低通滤波器，其频率响应为T当基波周期为 6,其傅里叶级数系数为an的信号f⑴输入到滤波器时，滤波器的输出为y(t),且y⑴f⑴。问对于什么样的n值，才保证an°?21、解：信号f⑴的基波角频率为： 0T12rad/s。信号f⑴通过理想低通滤波器后，输出是其本身，这意味着信号 f(t)所有频率分量均在低通滤波器的通带内。由于周期信号f⑴含有丰富的高次谐波分量，只有当高次谐波分量的幅度非常小

时，对f⑴的贡献才忽略不计。由y⑴波分量，其幅度均为0,波的幅度an 00即n0 100f时，对f⑴的贡献才忽略不计。由y⑴波分量，其幅度均为0,波的幅度an 00即n0 100f⑴可知，凡是频率大于100rad/s的高次谱从而有12n100,即n8,因此，8次以上谐2、2.己知信号cost0,t

,t,求该号的傅里叶变换。解:f(t)因为cost0,t,t(1cost)g2⑴,根据频域卷积性质，有IE1)(1)]*2Sa()3.已知周期信号f⑴的波形如图A-1所示，将f⑴通过截止频率为3.rad/s的理想低通滤波器后，输出中含有哪些频率成分？并说明具体的理图A-13、Fj2解：由于周期信号的频谱为：n0)—rad/s —rad/s ..2 ，傅立叶级数系数由图A-2可知，周期为T4s，基波频率为:为：因此,频谱Fj只含有奇次谱波，即0,50,。将f⑴通过截止频的频率都会被滤掉，即n0rad/s的低通滤波器后，凡高于2rad/s的低通滤波器后，凡高于24,32rad/s的频率成份。由如下：4,32rad/s的频率成份。由如下：线性特性：已知f(n)y⑻f1(n)y1(n)nf1(n).f2(n)因此，该系统是线性总统。时不变性：已知f(n)y⑻nf⑻，

y2(n)nf(n),对于任意给定的不为零的常数和，设nf2(『)，则有则有且为奇数，因而只能有n1和3,即输出只有基波 02rad/s和3次谐波4.已知某系统：y(n) nf(n)试判断其线性，时不变性，因果性，稳定性，和记忆性等特性，并说明理由。4、解：y(n)nf(n)代表的系统是线性，时变性，因果，不稳定，无记忆的系统。理因此，该系统是时变系统。因果性：由y(n)nf(n)可知，系统的当前输出仅与当前输入有关，与未来输入无f(n)M关，因此是因果系统。f(n)M稳定性：设系统的输入有界，即:

因此，该系统不是稳定系统。记忆性：由y(n)nf(n)可知，系统的当前输出仅与当前输入有关，与历史输入无关，因此，该系统是无记忆系统。描述某线性时不变离散系统的差分方程：若设y(1)°,y(kz10.5,x(k)(k),求系统的响应y(k)0kz15、.解：方程两边取z变换：整理，得1 11k2k所以…[Y⑵][62(1) 3(2)](k)所以三、综合计算题(共20分，每小题10分).设离散时间系统如图A-2所示，试问k值为何值时可以使系统稳定？ (15分)Q(z)kX(z)-z1Q(z)kX(z)-z1Q(z)2 ,k

q(k)x(k)q(k1) ,1、.解：由图可得： 2MV，取Z变换，得:即：Q(z)-1Q(z)-1k1—z2ky(k)q(k)3q(k1)取Z变换,得:Y(z)Q(z)ky(k)q(k)3q(k1)取Z变换,得:Y(z)Q(z)1_1Q(z)(11_)Q(z)(2)z由于系统函数在k2处有一极点，且收敛域为2时系统稳定。2.z由于系统函数在k2处有一极点，且收敛域为2时系统稳定。2.如图A-3所示，信号f⑴的频谱为F(j它通过传输函数为H1(j邛勺系统传输，输出为y(t),冲激序列为:T(t)(tnT)式(1)代入式(2),由系统函数的定义，有(1)画出yi⑴的频谱图Y(j)；ys(t)的频谱图Yys(t)的频谱图Ys(j),并确定无频谱混叠条件(3)为了从ys(t)中恢复f(t),将ys⑴通过传输函数为H2(j)的系统，试画图表示H2(j),并指明H2(j)截止频率的取值范围。图A-32、解：(1)y1(t)的频谱Y1(j)如图A-5所示；ys⑴的频谱Ys(j)如图A-6所示：图A-5 图A-62_2 T—其中sT1,所以采样周期的取值范围应为： 1。H2(j)的幅频特性如图A-7所示:图A-7且截止频率c的取值范围应为：1cs10长沙理工大学拟题纸课程编号 11拟题教研室(或老师)签名教研室主任签名 符号说明：sgn⑹为符号函数， ⑴为单位冲击信号，(k)为单位脉冲序列， ⑴为单位阶跃信号，(k)为单位阶跃序列。一、填空(共30分，每小题3分).f⑴时移后成为f(t⑹，当t00时f(t3是在f⑴的边。.周期信号的频谱是的，非周期信号的频谱是的，离散信号的频谱是的，连续信号的频谱是的。， ，、,.计算04t(t1)dt。.单位阶跃函数⑴的频谱(密度)函数为。n5y(n)f(k).已知某系统： kn1试判断其具有 特性。(线性，时不变性，因果性，稳定性，和记忆性). (t)x(2t)(t)02八.设F(j)是f⑴的傅里叶变换，则信号f(t)sin0t的傅里叶变换表达式为。.设某带限信号f⑴的截止频率为100KH4则对该信号进行时域采样时，采样频率至少应为,理由是。t.f()df(t)*。.已知某LTI系统，当输入为f(t) ⑴时，其输出为：y(t)et(t) (1t);则输入为f(t)(t1)(t2)时，系统的响应yf(t)=o二、计算题(共50分，每小题10分).已知系统的微分方程为' t初始条件为y(0)1,y(0)2,输入信号f(t)e6,试求系统的全响应，并指出系统的零输入响应，零状态响应以及系统函数H(s),系统的单位冲激响应h(t)和系统的频率响应，并判断系统的稳定性。.某连续LTI系统是因果稳定的，其系统函数的零极点分布如图 A-1所示。已5知当输入信号X⑴8st时，系统输出的直流分量为一。(1)确定该系统的系统函数H⑸；(2)当输入信号x⑴1时，求系统的输出y⑴。图A-1.已知二阶离散系统的差分方程为 y(k)5y(k1)6y(k2)f(k1)k且f(k)2(k),y(1)1,y(2)1.求系统的完全响应y(k)、零输入响应Yx(k)、零状态响应yf(k)、系统函数、系统单位样值响应。, 试求单边衰减正弦函数f⑴e飞皿加⑴， 0的频谱函数。k5.设一个离散系统的冲激响应h(k)a(k),试判断该系统是否是因果的和稳定的。三、综合计算题(共20分，每小题10分)1,已知某高通的幅频特性和响频特性如图 A-2所示，其中c80,图A-2(1)计算该系统的单位冲激响应 八⑴；(2)若输入信号f(t)1°，5cos60t°，2cos12°t,求该系统的稳态响应y(t)。2.在图A-3所示系统中，已知输入信号 f⑴的频谱F(j),试分析系统中AB、GD、E各点频谱并画出频谱图，求出 y⑴与f⑴的关系。图A-3长沙理工大学拟题纸课程编号 12拟题教研室(或老师)签名教研室主任签名 符号说明：sgn(t)为符号函数，(t)为单位冲击信号，(k)为单位脉冲序列，⑴为单位阶跃信号，(k)为单位阶跃序列。一、填空(共30分，每小题3分)1、信号f(t)3cos(4t巨)的周期是。2、sint'(t)=o3、若离散时间系统的单位脉冲响应为h(k){1,1,2},则系统在f(k){122,1}激励下的零状态响应为。j i4、已知一周期信号f(t)的周期T。2，其频谱为F01，F10，5e，F1。虎」，F3 0，2j，F300,写出f(t)的时域表达式o5、ytftht,则y2to

6、知某LTI系统，当输入为f⑴ 。时，其输出为：y(t)et(t) (1t);则输入为f(t)(t1)(t2)时，系统的响应yf(t)TOC\o"1-5"\h\z= o7、知某LTI系统，当t0时有：t 2t t 2t.…当输入f⑴(e 2e )(t)时，输出响应为(e 5e )⑴；t2t t2t. ...当输入f(t) (2e e )⑴时，输出响应为(5ee )⑴；t2t t2t、，，、当输入f⑴(ee)(t)时，输出响应为(ee)(t);则当输入为t2t、…f⑴(ee)⑴时，系统的输出响应为。8、已知某因果连续LTI系统H(s)全部极点均位于s左半平面，则h(t)t的值为。22 9、对彳a号sa(i00t)均匀抽样，其频谱不混叠的最小抽样角频率y(t)f(t2)d,t210、若y(t)f(t2)d,t210、若f(t)F(s),则信号0,t2,单边拉氏变换Y(s)二、计算题(共50分，每小题10分)1、试证明两个奇信号或者两个偶信号的乘积是一个偶信号；一个奇信号和一个偶信号的乘积试一个奇信号2、试求信号x⑴cos(2t4)的指数傅立叶级数。3、给定一个连续时间信号为：若以如下采样间隔对x⑴进行均匀采样，试确定得到的离散时间序列。0.25s0.5s1.0st=2t、…4、已知系统y(t)2y(t)f(t)的完全响应为y(t)(2e3e)⑴，求系统的零输入响应和零状态响应。s21一，、一，一…H(s) 5、已知连续时间系统的系统函数 s32s23s1,写出其状态方程和输出方程。三、综合计算题(共20分，每小题10分)1、描述一线性时不变因果离散时间系统的差分方程为已知f(k) (k),y(1) 2,y(2)3,由z域求解：(1)零输入响应yx(k)零状态响应yf(k),完全响应y(k)；(2)系统函数H⑵，单位冲激响应h(k)；(3)若f(k)2(k1),重求(1)、(2)

2、如图A-1所示，信号f⑴的频谱为F(j),它通过传输函数为Hi(j)的系统传T(t)(tnT)输，输出为y(t),冲激序列为： n(1)画出必⑴的频谱图Yi(j)；(2)画出表示无频谱混叠条件下， ys⑴的频谱图Ys(j),并确定无频谱混叠条件下，抽样间隔t的取值范围；(3)为了从ys(t)中恢复f⑴，将ys⑴通过传输函数为