高中数学人教A版第三章三角恒等变换 课后提升作业二十八

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课后提升作业二十八二倍角的正弦、余弦、正切公式(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2023·北京高一检测)cosπ32 12 C.12 【解析】选D.原式=cos2π12-sin2π12=cosπ6【补偿训练】sin4π12-cos4π12 32 C.12【解析】选B.原式=sin2π=-cosπ6=-3°30′-1tan67°30' B.2 【解析】选°30′-1=t=-22tan67°30'1-ta【补偿训练】3-sin70°A.12 B.22 【解析】选C.原式=3=2(3-cos20°)3.(2023·杭州高一检测)化简1+sin4α-cos4αA.1tan2α C.1tanα 【解题指南】将4α看成2α的二倍.并利用公式1-cos4α=2sin22α,1+cos4α=2cos22α化简.【解析】选B.原式=2=2sin2α(cos2α+sin2α)4.已知sin(45°+α)=5545 C.35 D.【解析】选C.因为sin(45°+α)=55,所以22cosα+22sinα=55,即sinα+cosα=1055.设a=12cos6°-32sin6°,b=2sin13°·cos13°,c=<b<a <b<c<c<b <c<a【解析】选C.由题意可知,a=sin24°,b=sin26°,c=sin25°,而y=sinx在0°≤x≤90°上为增函数,所以a<c<b.6.(2023·烟台高一检测)若sinπ6-α=1313 79 C.13【解析】选23π+2α=-cos2π6=2sin2π6-α-1=-7.已知θ是第三象限角,且sin4θ+cos4θ=59A.223 223 C.【解析】选θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-12sin2又sin4θ+cos4θ=59所以1-12sin22θ=5即sin22θ=89所以2kπ+π<θ<2kπ+3π所以4kπ+2π<2θ<4kπ+3π(k∈Z),所以sin2θ>0,所以sin2θ=22【补偿训练】若cos2θ=23,试求sin4θ+cos4【解析】因为cos2θ=23,所以sin22θ=7所以sin4θ+cos4θ=1-2sin2θcos2θ=1-12sin22θ=118.化简sinα2+cosα C.23 D.【解析】选A.原式=1+sinα+2·1-cos二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2023·四川高考)cos2π8-sin2π8=【解析】由题可知,cos2π8-sin2π8=cosπ4答案:210.(2023·浙江高考)函数f(x)=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是,单调递减区间是.【解题指南】先利用倍角公式化简f(x),再利用三角函数的性质求解.【解析】f(x)=sin2x+sinxcosx+1=1-cos2x2+12sin2x+1=22sin2x-π4+32,所以最小正周期为T=2π2=π,由π2答案:π3π三、解答题(每小题10分,共20分)11.化简:sin40°(1+2cos40°)【解题指南】解答此题的难点在于用二倍角公式变形后利用两角和与差的正、余弦公式化简,得到特殊角的三角函数求出值即可.【解析】原式=sin=sin=sin(60°-20°)+sin(60°+20°)cos(60°-20°)+cos(60°+20°)=sin60°12.(2023·开封高一检测)已知sin2α=-12sinα,α∈π(1)求tan2α.(2)求cosπ4【解析】(1)因为sin2α=-12所以2sinαcosα=-12sinα,α∈π所以cosα=-14,故sinα=1-cos所以tanα=sinαcosα=-所以tan2α=2tanα1-tan2α(2)由(1)知cosα=-14,所以cos2α=2cos2α-1=2×-142sinαcosα=-158所以cosπ4-2α=cosπ4cos2α+sin=-7216-22×15【能力挑战题】某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:①sin213°+cos217°-sin13°cos17°;②sin215°+cos215°-sin15°cos15°;③sin218°+cos212°-sin18°cos12°;④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°;⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos55°.(1)请根据②式求出这个常数.(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.【解析】方法一:(1)计算如下:sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-12sin30°=1-14=(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=34证明如下:sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)=sin2α+34cos2α32sinαcosα+14sin2α-32sinαcosα-1=34sin2α+34cos2α=方法二:(1)同方法一.(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=34证明如下:sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=1-cos2α2+1+cos(60°-2