高中数学苏教版3第一章计数原理1．4计数应用题 第1章计数应用题

计数应用题1．利用两个基本计数原理、排列与组合，解决较为复杂的计数问题．(重点)2．掌握解决有限制条件的排列组合问题的思想、策略和方法．(难点)[小组合作型]可化为排数(队)问题的计数问题(1)有五张卡片的正、反面上分别写有0与1,2与3,4与5,6与7,8与9，将其中任三张并排放在一起组成三位数，共可以组成________个不同的三位数．(2)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法有________种．(3)从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中A，B，C，所得的经过坐标原点的直线有________条(用数字表示)．【精彩点拨】(1)法一(直接法)，分有“0,1”卡和无“0,1”卡两类；法二(排除法)，去掉0在百位上的所有情形．(2)“插空法”分类求解．(3)C＝0，从{1,2,3,5,7,11}中任取两个元素给A，B便可．【自主解答】(1)法一(直接法)：依“元素”分类，满足条件的三位数有以下三类：①不要0与1的有Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(3,3)·23个；②要1不要0的有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)·22个；③要0不要1的有2Ceq\o\al(2,4)·22·Aeq\o\al(2,2)个．故共可组成不同的三位数：Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(3,3)·23＋Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)·22＋2Ceq\o\al(2,4)·22·Aeq\o\al(2,2)＝432(个)．法二(间接法)：把百位、十位、个位看作三个位置，从5张卡片中任选3张分别放到这三个位置上有Ceq\o\al(3,5)·Aeq\o\al(3,3)种，再正反面交换，有23种，故总数为Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(3,3)·23，其中0在百位上时不符合要求，有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)·22，故可得到不同的三位数Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(3,3)·23－Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)·22＝432(个)．(2)分两类：(1)先排歌舞类有Aeq\o\al(3,3)＝6种排法，再将其余的三个节目插空．如图所示，或者，此时有2Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)＝72种；(2)先排歌舞类有Aeq\o\al(3,3)＝6种排法，其余的两个小品与相声排法如图△，或者△，有4Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,2)＝48，所以共有72＋48＝120种不同的排法．(3)因为直线过原点，所以C＝0，因此只需从{1,2,3,5,7,11}中任取两个元素分别作为A，B便可，共有Aeq\o\al(2,6)种不同取法，对应Aeq\o\al(2,6)＝30条不同直线．【答案】(1)432(2)120(3)301．本例(2)在求解时，常因注意不到“同类节目不相邻”导致错解或思维不全面．2．实际问题中某些安排、选派、选举等问题，可以转化为排队问题求解，但要搞清特殊元素(或位置)选择恰当的方法计数．[再练一题]1．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lga－lgb的不同值的个数是________.【导学号：29440018】【解析】首先从1,3,5,7,9这五个数中任取两个不同的数排列，共Aeq\o\al(2,5)＝20种排法，因为eq\f(3,1)＝eq\f(9,3)，eq\f(1,3)＝eq\f(3,9)，所以从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga－lgb的不同值的个数是20－2＝18.【答案】18分组、分配问题中的计数问题有6本不同的书，按照以下要求处理，分别有多少种不同的分法：(1)将6本书分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本；(2)将6本书分给三个人，甲得一本，乙得两本，丙得三本；(3)将6本书分给三个人，一人一本，一人两本，一人三本；(4)将6本书平均分给三个人，每人两本．【精彩点拨】【自主解答】(1)不平均分组问题．先在6本书中任取一本，作为一堆，有Ceq\o\al(1,6)种取法，再从余下的5本书中任取两本，作为一堆，有Ceq\o\al(2,5)种取法，最后从余下的三本中取三本作为一堆，有Ceq\o\al(3,3)种取法，故一共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60种不同的分法．(2)不平均定向分配问题．由(1)知，分成三堆的方法有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)种，而每种分组方法又仅对应一种分配方法，故甲得一本，乙得两本，丙得三本的方法也是Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60种．(3)不平均不定向分配问题．由(1)知，分为三堆的方法有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)种，但每种分组方法又有Aeq\o\al(3,3)种分配方法，故一人一本，一人两本，一人三本的方法有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)＝360种．(4)平均分配问题．将6本书平均分给三个人时，三个人一个一个地来取书，甲从6本书中任取2本的方法有Ceq\o\al(2,6)种，甲不论用哪一种方法取得2本书后，乙再从余下的4本书中取2本，有Ceq\o\al(2,4)种方法，甲、乙不论用哪种方法各取两本书后，丙从余下的2本书中取出2本书，有Ceq\o\al(2,2)种方法，所以一共有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝90种方法．1．本题属于典型分配问题，(1)(2)属于逐个分配，直接应用分步计数原理．(3)采用先分组再分配的方法．2．解决此类问题要注意分组的各种类型的计算方法，对于分配问题，可以按要求逐个分配，也可先分组再分配．[再练一题]2．(1)在本例中，将6本书分给甲、乙、丙三个人，甲得四本，乙、丙两人各一本，有多少种不同的分法？(2)在本例中，若6本书完全相同，分给甲、乙、丙三位同学，每人至少有一本，有多少种不同的分法？【解】(1)甲从6本书中任取4本的方法有Ceq\o\al(4,6)种，甲不论用哪一种方法取得4本书后，乙再从余下的2本书中取1本，有Ceq\o\al(1,2)种方法，甲、乙不论用哪种方法取书后，丙从余下的1本书中取出1本，有Ceq\o\al(1,1)种方法，所以一共有Ceq\o\al(4,6)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)＝30种方法．(2)(隔板法)：把6本书排成一排摆好如图“○○○○○○”，因为书都相同，所以从中间的5个位置中隔上两块板，甲、乙、丙只要按从左到右的顺序依次拿取相应的书即可．所以共有Ceq\o\al(2,5)＝10种方法．[探究共研型]涂色中的计数问题探究在使相邻区域涂色不相同时，应采用什么计数原理进行？【提示】在相邻区域涂色不相同问题中，相邻区域涂色时采用分步计数原理进行，但不相邻区域颜色可相同，因此又要用到分类计数原理．1423图1­4­1用五种不同的颜色给图1­4­1中的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色．(1)共有多少种不同的涂色方法？(2)若要求相邻(有公共边)的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？【精彩点拨】(1)无限制条件的涂色问题，只要符合题意便可．(2)有限制条件的涂色问题，注意相邻区域及对称区域的颜色．【自主解答】(1)由于1至4号区域各有5种不同的涂法，故依分步计数原理知，不同的涂色方法有54＝625种．(2)第一类：1号区域与3号区域同色时，有5×4×1×4＝80种涂法．第二类：1号区域与3号区域异色时，有5×4×3×3＝180种涂法．依据分类计数原理知，不同的涂色方法有80＋180＝260种．1．涂色问题的基本要求是相邻区域不同色，但是不相邻的区域可以同色．因此一般以不相邻区域同色，不同色为分类依据，相邻区域可用分步涂色的办法涂色．2．涂色问题往往涉及分类、分步计数原理的综合应用，因此，要找准分类标准，兼顾条件的情况下分步涂色．[再练一题]3．如图1­4­2所示的几何体是由一个三棱锥PABC与三棱柱ABCA1B1C1组合而成的，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________种.【图1­4­2【解析】先涂三棱锥PABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，由分步计数原理，共有3×2×1×2＝12(种)不同涂法．【答案】121．甲组有男同学5名，女同学3名，乙组有6名男同学，2名女同学，从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法有________种．【解析】第一类，选出的1名女生出自甲组，选法为Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,6)＝225(种)；第二类，1名女生出自乙组，选法为Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,2)＝120(种)．共有225＋120＝345(种)．【答案】3452．某公司招聘了8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有________种．【解析】第一步，先将两名英语翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有Ceq\o\al(1,3)种分法，然后再分到两部门去共有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即可，由于是每个部门各4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有Ceq\o\al(1,3)种方法．由分步计数原理得共有2Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3)＝36(种)分配方案．【答案】363．从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展览，如果甲、乙两种种子不能放入1号瓶内，那么不同的放法共有________种.【导学号：29440019】【解析】分步完成：第一步，从甲、乙以外的8种种子中选1种放入1号瓶内；第二步，从剩下的9种种子中选5种放入余下的5个瓶子内．故不同的放法种数为Ceq\o\al(1,8)Aeq\o\al(5,9)＝120960(种)．【答案】1209604．如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有________种．【解析】先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，任选一种为Ceq\o\al(1,6)，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有Aeq\o\al(2,5)种，按照分步计数原理可知共有不同的安排方法Ceq\o\al(1,6)Aeq\o\al(2,5)＝120种．【答案】1205．有一排8个发光二极管，每个二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3个二极管点亮，但相邻的两个二极管不能同时点亮，根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的信息，求这排二极管能表示的信息种数共有多少种？【解】因为相邻的两个二极管不能同时点亮，所以需要把3个点亮的二极管插放在未点亮的5个二极管之间及两端的6个空上，共有Ceq\o\al(3,6)种亮灯方法．然后分步确定每个二极管发光颜色有2×2×2＝8(种)方法，所以这排二极管能表示的信息种数共有Ceq\o\al(3,6