高中数学苏教版3第一章计数原理1.4计数应用题 第1章计数应用题_第1页
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文档简介

计数应用题1.利用两个基本计数原理、排列与组合,解决较为复杂的计数问题.(重点)2.掌握解决有限制条件的排列组合问题的思想、策略和方法.(难点)[小组合作型]可化为排数(队)问题的计数问题(1)有五张卡片的正、反面上分别写有0与1,2与3,4与5,6与7,8与9,将其中任三张并排放在一起组成三位数,共可以组成________个不同的三位数.(2)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法有________种.(3)从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中A,B,C,所得的经过坐标原点的直线有________条(用数字表示).【精彩点拨】(1)法一(直接法),分有“0,1”卡和无“0,1”卡两类;法二(排除法),去掉0在百位上的所有情形.(2)“插空法”分类求解.(3)C=0,从{1,2,3,5,7,11}中任取两个元素给A,B便可.【自主解答】(1)法一(直接法):依“元素”分类,满足条件的三位数有以下三类:①不要0与1的有Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(3,3)·23个;②要1不要0的有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)·22个;③要0不要1的有2Ceq\o\al(2,4)·22·Aeq\o\al(2,2)个.故共可组成不同的三位数:Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(3,3)·23+Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)·22+2Ceq\o\al(2,4)·22·Aeq\o\al(2,2)=432(个).法二(间接法):把百位、十位、个位看作三个位置,从5张卡片中任选3张分别放到这三个位置上有Ceq\o\al(3,5)·Aeq\o\al(3,3)种,再正反面交换,有23种,故总数为Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(3,3)·23,其中0在百位上时不符合要求,有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)·22,故可得到不同的三位数Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(3,3)·23-Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)·22=432(个).(2)分两类:(1)先排歌舞类有Aeq\o\al(3,3)=6种排法,再将其余的三个节目插空.如图所示,或者,此时有2Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)=72种;(2)先排歌舞类有Aeq\o\al(3,3)=6种排法,其余的两个小品与相声排法如图△,或者△,有4Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,2)=48,所以共有72+48=120种不同的排法.(3)因为直线过原点,所以C=0,因此只需从{1,2,3,5,7,11}中任取两个元素分别作为A,B便可,共有Aeq\o\al(2,6)种不同取法,对应Aeq\o\al(2,6)=30条不同直线.【答案】(1)432(2)120(3)301.本例(2)在求解时,常因注意不到“同类节目不相邻”导致错解或思维不全面.2.实际问题中某些安排、选派、选举等问题,可以转化为排队问题求解,但要搞清特殊元素(或位置)选择恰当的方法计数.[再练一题]1.从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别为a,b,共可得到lga-lgb的不同值的个数是________.【导学号:29440018】【解析】首先从1,3,5,7,9这五个数中任取两个不同的数排列,共Aeq\o\al(2,5)=20种排法,因为eq\f(3,1)=eq\f(9,3),eq\f(1,3)=eq\f(3,9),所以从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lga-lgb的不同值的个数是20-2=18.【答案】18分组、分配问题中的计数问题有6本不同的书,按照以下要求处理,分别有多少种不同的分法:(1)将6本书分成三堆,一堆一本,一堆两本,一堆三本;(2)将6本书分给三个人,甲得一本,乙得两本,丙得三本;(3)将6本书分给三个人,一人一本,一人两本,一人三本;(4)将6本书平均分给三个人,每人两本.【精彩点拨】【自主解答】(1)不平均分组问题.先在6本书中任取一本,作为一堆,有Ceq\o\al(1,6)种取法,再从余下的5本书中任取两本,作为一堆,有Ceq\o\al(2,5)种取法,最后从余下的三本中取三本作为一堆,有Ceq\o\al(3,3)种取法,故一共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)=60种不同的分法.(2)不平均定向分配问题.由(1)知,分成三堆的方法有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)种,而每种分组方法又仅对应一种分配方法,故甲得一本,乙得两本,丙得三本的方法也是Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)=60种.(3)不平均不定向分配问题.由(1)知,分为三堆的方法有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)种,但每种分组方法又有Aeq\o\al(3,3)种分配方法,故一人一本,一人两本,一人三本的方法有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)=360种.(4)平均分配问题.将6本书平均分给三个人时,三个人一个一个地来取书,甲从6本书中任取2本的方法有Ceq\o\al(2,6)种,甲不论用哪一种方法取得2本书后,乙再从余下的4本书中取2本,有Ceq\o\al(2,4)种方法,甲、乙不论用哪种方法各取两本书后,丙从余下的2本书中取出2本书,有Ceq\o\al(2,2)种方法,所以一共有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)=90种方法.1.本题属于典型分配问题,(1)(2)属于逐个分配,直接应用分步计数原理.(3)采用先分组再分配的方法.2.解决此类问题要注意分组的各种类型的计算方法,对于分配问题,可以按要求逐个分配,也可先分组再分配.[再练一题]2.(1)在本例中,将6本书分给甲、乙、丙三个人,甲得四本,乙、丙两人各一本,有多少种不同的分法?(2)在本例中,若6本书完全相同,分给甲、乙、丙三位同学,每人至少有一本,有多少种不同的分法?【解】(1)甲从6本书中任取4本的方法有Ceq\o\al(4,6)种,甲不论用哪一种方法取得4本书后,乙再从余下的2本书中取1本,有Ceq\o\al(1,2)种方法,甲、乙不论用哪种方法取书后,丙从余下的1本书中取出1本,有Ceq\o\al(1,1)种方法,所以一共有Ceq\o\al(4,6)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)=30种方法.(2)(隔板法):把6本书排成一排摆好如图“○○○○○○”,因为书都相同,所以从中间的5个位置中隔上两块板,甲、乙、丙只要按从左到右的顺序依次拿取相应的书即可.所以共有Ceq\o\al(2,5)=10种方法.[探究共研型]涂色中的计数问题探究在使相邻区域涂色不相同时,应采用什么计数原理进行?【提示】在相邻区域涂色不相同问题中,相邻区域涂色时采用分步计数原理进行,但不相邻区域颜色可相同,因此又要用到分类计数原理.1423图1­4­1用五种不同的颜色给图1­4­1中的四个区域涂色,每个区域涂一种颜色.(1)共有多少种不同的涂色方法?(2)若要求相邻(有公共边)的区域不同色,那么共有多少种不同的涂色方法?【精彩点拨】(1)无限制条件的涂色问题,只要符合题意便可.(2)有限制条件的涂色问题,注意相邻区域及对称区域的颜色.【自主解答】(1)由于1至4号区域各有5种不同的涂法,故依分步计数原理知,不同的涂色方法有54=625种.(2)第一类:1号区域与3号区域同色时,有5×4×1×4=80种涂法.第二类:1号区域与3号区域异色时,有5×4×3×3=180种涂法.依据分类计数原理知,不同的涂色方法有80+180=260种.1.涂色问题的基本要求是相邻区域不同色,但是不相邻的区域可以同色.因此一般以不相邻区域同色,不同色为分类依据,相邻区域可用分步涂色的办法涂色.2.涂色问题往往涉及分类、分步计数原理的综合应用,因此,要找准分类标准,兼顾条件的情况下分步涂色.[再练一题]3.如图1­4­2所示的几何体是由一个三棱锥PABC与三棱柱ABCA1B1C1组合而成的,现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色),要求相邻的面均不同色,则不同的染色方案共有________种.【图1­4­2【解析】先涂三棱锥PABC的三个侧面,然后涂三棱柱的三个侧面,由分步计数原理,共有3×2×1×2=12(种)不同涂法.【答案】121.甲组有男同学5名,女同学3名,乙组有6名男同学,2名女同学,从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法有________种.【解析】第一类,选出的1名女生出自甲组,选法为Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,6)=225(种);第二类,1名女生出自乙组,选法为Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,2)=120(种).共有225+120=345(种).【答案】3452.某公司招聘了8名员工,平均分配给下属的甲、乙两个部门,其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门,另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门,则不同的分配方案共有________种.【解析】第一步,先将两名英语翻译人员分到两个部门,共有2种方法,第二步将3名电脑编程人员分成两组,一组1人另一组2人,共有Ceq\o\al(1,3)种分法,然后再分到两部门去共有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)种方法,第三步只需将其他3人分成两组,一组1人另一组2人即可,由于是每个部门各4人,故分组后两人所去的部门就已确定,故第三步共有Ceq\o\al(1,3)种方法.由分步计数原理得共有2Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3)=36(种)分配方案.【答案】363.从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展览,如果甲、乙两种种子不能放入1号瓶内,那么不同的放法共有________种.【导学号:29440019】【解析】分步完成:第一步,从甲、乙以外的8种种子中选1种放入1号瓶内;第二步,从剩下的9种种子中选5种放入余下的5个瓶子内.故不同的放法种数为Ceq\o\al(1,8)Aeq\o\al(5,9)=120960(种).【答案】1209604.如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有________种.【解析】先安排甲学校的参观时间,一周内两天连排的方法一共有6种:(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7),任选一种为Ceq\o\al(1,6),然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观,安排方法有Aeq\o\al(2,5)种,按照分步计数原理可知共有不同的安排方法Ceq\o\al(1,6)Aeq\o\al(2,5)=120种.【答案】1205.有一排8个发光二极管,每个二极管点亮时可发出红光或绿光,若每次恰有3个二极管点亮,但相邻的两个二极管不能同时点亮,根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的信息,求这排二极管能表示的信息种数共有多少种?【解】因为相邻的两个二极管不能同时点亮,所以需要把3个点亮的二极管插放在未点亮的5个二极管之间及两端的6个空上,共有Ceq\o\al(3,6)种亮灯方法.然后分步确定每个二极管发光颜色有2×2×2=8(种)方法,所以这排二极管能表示的信息种数共有Ceq\o\al(3,6

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