高中数学苏教版3第二章概率【全国一等奖】

学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．【解析】由超几何分布的概率公式可得P(恰好取到一件次品)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(3,7),C\o\al(4,10))＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)2．有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为________．(用式子表示)【解析】二级品不多于1台，即一级品有3台或者4台，其概率为eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(3,97)＋C\o\al(4,97),C\o\al(4,100)).【答案】eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(3,97)＋C\o\al(4,97),C\o\al(4,100))3．下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是________．①将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数为X；②从7男3女的10名学生干部中选出5名优秀学生干部，女生的人数为X；③某射手的命中率为，现对目标射击1次，记命中的次数为X；④盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时摸球的总次数．【解析】①③均为重复试验，不符合超几何分布总体的分类要求；②④总体分为明确的两类，但④中的随机变量X不是抽取样本中一类元素的个数．【答案】②4．一个盒子里装有相同大小的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则P(X≤1)＝________.【解析】由已知X～H(2,4,26)，则P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,4)C\o\al(2,22),C\o\al(2,26))，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,22),C\o\al(2,26))，故P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(2,22)＋C\o\al(1,22)C\o\al(1,4),C\o\al(2,26))＝eq\f(319,325).【答案】eq\f(319,325)5．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取3台，其中两种品牌的彩电齐全的概率是________．【解析】P＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,2),C\o\al(3,5))＋eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,2),C\o\al(3,5))＝eq\f(9,10).【答案】eq\f(9,10)6．某校从学生会中的10名女生干部与5名男生干部中随机选取6名学生干部组成“文明校园督察队”，则组成4女2男的“文明校园督察队”的概率是________．(用式子表示)【解析】组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为eq\f(C\o\al(4,10)C\o\al(2,5),C\o\al(6,15)).【答案】eq\f(C\o\al(4,10)C\o\al(2,5),C\o\al(6,15))7．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为________．(结果用最简分数表示)【解析】从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A，则P(A)＝eq\f(C\o\al(1,27)C\o\al(1,3),C\o\al(2,30))＋eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,30))＝eq\f(28,145).【答案】eq\f(28,145)8．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于，n至少为________.【导学号：29440040】【解析】用X表示中奖票数，P(X≥1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(n－1,48),C\o\al(n,50))＋eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(n－2,48),C\o\al(n,50))>，解得n≥15.【答案】15二、解答题9．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列；(2)他能及格的概率．【解】(1)设抽到他能背诵的课文的数量为X，X～H(3,6,10)．则P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,6)C\o\al(3－k,4),C\o\al(3,10))(k＝0,1,2,3)，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,6)C\o\al(3,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,30)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(2,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(3,10)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(1,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,2)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,6)C\o\al(0,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,6).所以X的分布列为X0123Peq\f(1,30)eq\f(3,10)eq\f(1,2)eq\f(1,6)(2)他能及格的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).10．袋中有形状大小完全相同的4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．(1)求得分X的概率分布；(2)求得分大于6分的概率．【解】(1)从袋中随机取4个球有1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分，故X的可能取值为5,6,7,8.∴P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(3,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(4,35)，P(X＝6)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(18,35)，P(X＝7)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(1,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(12,35)，P(X＝8)＝eq\f(C\o\al(4,4)C\o\al(0,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(1,35).故所求概率分布为X5678Peq\f(4,35)eq\f(18,35)eq\f(12,35)eq\f(1,35)(2)根据随机变量X的概率分布，可以得到得分大于6分的概率为P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝eq\f(12,35)＋eq\f(1,35)＝eq\f(13,35).能力提升]1．在六个数字1,2,3,4,5,7中，若随机取出三个数字，则剩下三个数字都是奇数的概率是________．【解析】剩下三个数字都是奇数，则取出的三个数字为两偶一奇．故P＝eq\f(C\o\al(2,2)·C\o\al(1,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(4,20)＝.【答案】2．现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是eq\f(5,7)，则语文课本有________本.【导学号：29440041】【解析】设语文课本有m本，任取2本书中的语文课本数为X，则X服从参数为N＝7，M＝m，n＝2的超几何分布，其中X的所有可能取值为0,1,2，且P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,m)C\o\al(2－k,7－m),C\o\al(2,7))(k＝0,1,2)．由题意，得P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(0,m)C\o\al(2,7－m),C\o\al(2,7))＋eq\f(C\o\al(1,m)C\o\al(1,7－m),C\o\al(2,7))＝eq\f(1,2)×eq\f(7－m6－m,21)＋eq\f(m7－m,21)＝eq\f(5,7)，∴m2－m－12＝0，解得m＝4或m＝－3(舍去)．即7本书中语文课本有4本．【答案】43．某电视台在一次对收看新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了45名电视观众，其中20至40岁的有18人，大于40岁的有27人．用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，在这5名观众中再任取2名，则恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率为_____________________________________．【解析】由于是分层抽样，所以5名观众中，年龄为20至40岁的有eq\f(18,45)×5＝2人．设随机变量X表示20至40岁的人数，则X服从超几何分布H(2,2,5)，故P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,5).【答案】eq\f(3,5)4．从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A“取出的2件产品都是二等品”的概率P(A)＝.(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率；(2)若该批产品共10件，从中任意抽取2件，X表示取出的2件产品中二等品的件数，求X的概率分布．【解】(1)设任取一件产品是二等品的概率为p，依题意有P(A)＝p2＝，解得p1＝，p2＝－(舍去)．故从该批产品中任取1件是二等品的概率为.(2)若该批产品共10件，由(1)知其二等品有10×＝2件，故X的可能取值为0,1,2.P(X＝0