高中数学人教A版第一章三角函数 弧度制学案

20232023学年高一年级数学导学案（31）班级姓名学号编写：赵海通审阅：王欣欣陈业慧§1.学习目标：1．理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换．象限角的概念2．体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系．3．掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．学习重点：角度制与弧度制的概念，弧度和角度的转换；弧长公式和扇形面积公式。学习难点：区间角与象限角【学法指导】1．通过类比长度、重量的不同度量制，体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出弧度制．2．弄清1弧度的角的含义是了解弧度制，并能进行弧度与角度换算的关键．3．引入弧度制后，应与角度制进行对比，明确角度制和弧度制下弧长公式和扇形面积公式的联系与区别.一．知识导学1．1弧度的角：把长度等于的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号表示，读作．2．弧度制：用作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．3．角的弧度数的规定：一般地，正角的弧度数是一个，负角的弧度数是一个，零角的弧度数是.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是.这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定．4．角度与弧度的互化：(1)角度转化为弧度：360°＝rad；180°＝rad；1°＝rad≈45rad.(2)弧度转化为角度：2πrad＝；πrad＝；1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈°＝57°18′.二．探究与发现【探究点一】弧度制问题11弧度的角是怎样规定的？1弧度的角和圆半径的大小有关吗？你能作出一个1弧度的角吗？问题2如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么α的弧度数与l、r之间有着怎样的关系？请你完成下表，找出某种规律.的长OB旋转的方向∠AOB的弧度数∠AOB的度数0——eq\f(π,2)r顺时针方向πr逆时针方向2πr顺时针方向eq\f(πr,180)逆时针方向r逆时针方向2r顺时针方向规律：如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么_______________，即_________.问题3除了角度制，数学还常用弧度制表示角．请叙述一下弧度制的内容．问题4角度制与弧度制换算时，灵活运用下表中的对应关系，请补充完整.角度化弧度弧度化角度360°＝rad2πrad＝180°＝radπrad＝1°＝eq\f(π,180)rad1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°【探究点二】弧度制下的弧长公式和扇形面积公式问题1我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，请根据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公式．(设半径为r，圆心角弧度数为α)．问题2角度制与弧度制下扇形的弧长及面积公式对比：设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则度量单位类别α为角度制α为弧度制扇形的弧长l＝____l＝扇形的面积S＝______S＝______＝_____【探究点三】利用弧度制表示终边相同的角在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2kπ＋α(k∈Z)，其中α的单位必须是弧度．问题1利用弧度制表示终边落在坐标轴上的角的集合.终边所在的位置角的集合x轴y轴坐标轴问题2利用弧度制表示终边落在各个象限的角的集合.α终边所在的象限角α的集合ⅠⅡⅢⅣ【典型例题】例1．(1)把112°30′化成弧度；(2)把－eq\f(7π,12)化成角度．小结将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记πrad＝180°即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°即可．跟踪训练1。将下列角按要求转化：(1)300°＝________rad；(2)－22°30′＝________rad；(3)eq\f(8π,5)＝________度．例2．已知一扇形的周长为40cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？小结灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题．跟踪训练2。一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．例3．把下列各角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角：(1)－1500°；(2)eq\f(23π,6)；(3)－4.小结在同一问题中，单位制度要统一，角度制与弧度制不能混用．跟踪训练3。将－1485°化为2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式是___________．三．巩固训练1．时针经过一小时，时针转过了 ()A．eq\f(π,6)rad B．－eq\f(π,6)radC．eq\f(π,12)rad D．－eq\f(π,12)rad2．若α＝－3，则角α的终边在 ()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的中心角的弧度数是()A．1 B．4 C．1或4 D．2或44．把－eq\f(11,4)π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是_______．四．课后小结1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“