3基本不等式教学设计

《基本不等式》教课方案一、[教材依照]人教A版必修5第三章不等式基本不等式二、[设计思想]本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上睁开的，作为重要的基本不等式之一,为后续的学习确定基础。要进一步认识不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不行缺的。基本不等式在知识系统中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实质中有着广泛的应用，所以它也是对学生进行感情价值观教育的好素材，所以基本不等式应要点研究。教课中注意用新课程理念办理教材，学生的数学学习活动不但要接受、记忆、模拟和练习，并且要自主研究、着手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、指引者、合作者的作用，指引学生主体参加、揭露实质、经历过程。就知识的应用价值上来看，基本不等式是从大批数学识题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如数形联合、概括猜想、演绎推理、分析法证明等在各种不等式研究问题中有着广泛的应用；别的它在如“求面积必定，周长最小；周长必定，面积最大”等实质问题的计算中也常常涉及到。就内容的人文价值上来看，基本不等式的研究与推导需要学生观察、分析、概括、猜想，有助于培育学生的创新思想和研究精神,是培育学生应企图识和数学能力的优异载体。三、[教课目标]依照《新标准》对《不等式》学段的目标要乞降本班学生实质状况，特确定以下目标：1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单问题；培育学生研究能力以及分析问题解决问题的能力。2、过程与方法目标：依照创建情形，提出问题→分析概括证明→几何解说→应用（最值的求法、实质问题的解决）的过程体现。启动观察、分析、概括、总结、抽象概括等思想活动，培育学生的思想能力，领会数学看法的学习方法，经过运用多媒体的教课手段，引领学生主动研究基本不等式性质，领会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。3、感情与态度目标：经过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实质中来，培育学生用数学的眼光看世界，经过数学思想认知世界，从而培育学生擅长思虑、勤于着手的优异质量。四、[教课要点]应用数形联合的思想理解基本不等式，

并从不一样角度研究基本不等式

ab

ab

的证明过程2及应用。五、

[

教课难点

]1、基本不等式成即刻的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）；2、利用基本不等式求解实质问题中的最大值和最小值。六、[教课方法]本节课采纳观察——感知——抽象——概括——研究；启示引诱、讲练联合的教课方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实质问题出发，放手让学生研究考虑。以现代信息技术多媒体课件、几何画板作为教课辅助手段，加深学生对基本不等式的理解。基本不等式：ab≤ab简要教课思路2【学习目标】１.知识与技术1）认识基本不等式的证明过程。2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。2．过程与方法研究并认识基本不等式的证明过程，体验基本不等式在实质中的应用。3．感情、态度与价值观经过实例，体验数学与平常生活的联系，感觉数学的适用价值，增强应企图识，提升实践能力。【学习要点】应用数形联合的思想理解基本不等式，并从不一样角度研究基本不等式的证明过程。【学习难点】用基本不等式求最大值和最小值。【知识构造】基本不等式的几何背景︱基本不等式：ab≤ab2︱︱基本不等式的证明过程基本不等式的应用【学习过程】D引入a2b2a研究1在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形，设直角三角形的两条直角边的长为a、b,那么①正方形ABCD的面积S=A②4个全等的直角三角形的面积S′=③S与S′的大小关系为新课一、基本不等式的研究B依据研究1获得1、重要不等式说明：

FbE2、基本不等式（＊）说明：你能依据不等式的性质分析推导出（＊）式吗要证ab①ab2只需证ab②要证②，只需证ab0③要证③,只需证(-)20④明显,④是成立的,当且仅当ab时,④的等号成立意会练习：七、[教课过程]教课过程设计以问题为中心，以研究解决问题的方法为主线睁开。这类安排重申过程，吻合学生的认知规律，使数学教课过程成为学生对知识的再创建、再发现的过程，从而培育学生的创新意识。详尽过程安排以下：一、创建情形，提出问题；设计企图：数学教育一定基于学生的“数学现实”，现真相境问题是数学教课的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实．基于此,设置以下情境:一、自学怀疑，交流展现【研究】：上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是依据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热忱好客。现将图中的“风车”抽象成以下图，问题1、比较大正方形的面积与4个直角三角形的面积，你能找到如何的不等关系利用图中相关面积间存在的数目关系，抽象出不等式a2b22ab问题2、上式能否取到等号什么时候取等号当且仅当a＝b时，等号成立问题4、你能给出证明吗抽象概括：一般地，对于任意实数a,b，有a2b22ab，当且仅当a＝b时，等号成立。问题3、上式中a,b的范围能扩大吗对于任意实数a,b，有a2b22ab问题5、假如用a,b去替代上述结论中的a,b，则a,b需要满足什么条件问题6、替代以后能获得什么结论什么时候取等号问题7、你能给出证明吗要证abab①2只需证ab②要证②,只需证ab0③要证③,只需证()20④明显,④是成立的。当且仅当a=b时,④中的等号成立。（告诉学生，这类证明方法称之为分析法，在我们高三的时候会合适的加深增补）评论：证明方法叫做分析法,其实是找寻结论的充分条件,执果索因的一种思想方法.本背景企图在于利用图中相关面积间存在的数目关系，抽象出不等式a2b22ab。在此基础上，指引学生认识基本不等式。经过ppt课件，让学生更直观的抽象、概括出以下结论：二、抽象概括：一般地，对于任意实数a,b，有a2b22ab，当且仅当a＝b时，等号成立。[问]你能给出它的证明吗学生在黑板上板书。特别地，当a>0,b>0时，在不等式a2b22ab中，以a、b分别取代a、b，获得什么设计依照：类比是学习数学的一种重要方法，此环节不但让学生理解了基本不等式不等式的本源，打破了要点和难点，并且感觉了此中的函数思想，为今后学习确定基础.答案：abab(a,b0)。2【概括总结】若a0,b0，则有abab，当且仅当a=b时，abab。22我们称此不等式为基本不等式。此中ab称为a,b的算术均匀数，ab称为a,b的几2何均匀数。二、掌握要点，突出主题基本不等式：问题8、上述公式主要用于解决最值问题，你能观察出它可以解决哪些式子的最值问题问题9、在求最值的过程中需要满足什么条件[问]如何理解“当且仅当”（学生小组谈论，交流看法，师生总结）“当且仅当a=b时，等号成立”的含义是：当a=b时，取等号，即ababab；2仅当a=b时，取等号，即abab。ab24、研究基本不等式证明方法：[问]如何证明基本不等式（企图在于引领学生从感性认识基本不等式到理性证明，实现从感性认识到理性认识的升华）方法一：作差比较或由(ab)20睁开证明。方法二：分析法（完成课本填空）设计依照：课本是学生认识世界的窗口和工具，心理学研究表示：任何学习都是学习者自主建构的过程.在这个过程中，离不开学习主体与文本之间的交互作用.有意义的接受学习是自主建构，有意义的发现学习也是自主建构.前者的认知系统是同化，它惹起认知构造的量变；后者的认知系统是适应，它惹起认知构造的质变.既没有绝对的接受学习，也没有绝对的发现学习，老是二者互相交替、有机联合.所以，课本一定成为学生赖以学会学习的文本.在教课中要让学生学会仔细看书、专心思虑，养成讲讲议议、着手动笔、仔细观察、专心领会的好习惯，真切学会读“数学书”。要证abab①2只需证ab②要证②,只需证ab0③要证③,只需证()20④明显,④是成立的。当且仅当a=b时,④中的等号成立。（告诉学生，这类证明方法称之为分析法，在我们高三的时候会合适的加深增补）评论：证明方法叫做分析法,其实是找寻结论的充分条件,执果索因的一种思想方法.5、研究基本不等式的几何意义：借助初中阶段学生熟知的几何图形，指引学生研究不等式ab

abab

(a,b

0)

ab

(a,b

0)2

的几何解说，经过数形联合，给予不等式

2

几何直观。进一步意会不等式中等号成立的条件。三、研究概括以下命题中正确的选项是①对于任意实数

a,b，均有a

b

2ab；②当

x

0时，因为

1

x2

2x

，当且仅当

1

x2

时，即

x=1

时，等号成立。所以函数y1

x2(x

0)的最小值为

2；③当x(0,π)时，有sinx44；所以函数ysinx4在(0,π)的最小值为4。2sinxsinx2引入闯关游戏分层完成，小组谈论，使学生领会看法应用模式，学会捕获解题切入点，理解利用基本不等式求最值的条件“正”、“定”和“等”。5分钟以上命题均是依据基本不等式的使用条件中的难点和要点处设置的，目的是利用学生原有的平面几何知识，进一步意会到不等式abab成立的条件a0,b0，及当且仅当ab时，2等号成立。这些“圈套”要让学生自己往里跳，而后自己再从中爬出来，完整放手让学生自主研究，老师指导，师生概括总结。结论：若两正数的乘积为定值，则当且仅当两数相等时，它们的和有最小值；若两正数的和为定值，则当且仅当两数相等时，它们的乘积有最大值。简记为：“一正、二定、三相等”。四、意会练习：公式应用之一：(1)若x0,x1_________.（学生指出正、定、等）的最小值为________,此时xx若a>0,b>0,且a+b=2,则ab的最大值为_______,此时a=_____,b=_____。（学生指出正、定、等）公式应用之二：（最优化问题）设计企图：新奇风趣、简单易懂、切近生活的问题,不但极大地增强学生的兴趣，拓宽学生的视线，更重要的是调动学生研究研究的兴趣，指引学生增强对生活的关注，让学生领会：数学就在我们身旁的生活中2(1)在学农时期，生态园中有一块面积为100m的矩形茶地，为了保护茶叶的健康生长，学校决定用篱笆围起来，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少此刻学校库房有一段长为36m的篱笆，要围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少学生分组谈论、纠正、争论，合作交流。指引学生领会基本不等式的正用和逆用，量化赋分。分钟五、反思总结，整合新知：经过本节课的学习你有什么收获得得了哪些经验教训还有哪些问题需要请教设计企图：经过反思、概括，培育概括能力；帮助学生总结经验教训，牢固知识技术，提升认知水平.老师依据状况完美以下：一个不等式：若a0,b0，则有abab，当且仅当a=b时，abab。22两种思想：数形联合思想、概括类比思想。三个注意：基本不等式求函数的最大(小)值是注意：“一正二定三相等”六、部署作业：课本P100习题A组1、2题七、课下思虑：类比基本不等式，当a,b,c均为正数，猜想会有如何的不等式八、[教课反思]我校教课指导目标为：“低起点，高看法，高目标”。新课程标准中对知识的发生的过程提出了较高的要求，多次使用了“经历”、“感觉”、“研究”等感情，态度与价值观要求行为动词，重视学生对问题的研究能力。在证明基本不等式时，x2y222xy一般方法：x，y∈R，(x－y),当且仅当x=y时，等号成立。0x2y2ab令x=a,y=b,2xy2ab所以,当且仅当a=b时，等号成立。接下来发问学生能否有其余方法证明该不等式，没想到学生思想活跃，提出了两种证法，令我始料不及，收获很大。证法2：当a>0,b>0222时，有(a