2020年高考数学复习高中数学解题思想方法求导法

求导法一、内容归纳求导法之所以成为高中阶段一定掌握的基本方法和技术,是基于求导法在函数问题中应用广泛，好多函数不等式或相关的函数问题都需借助求导法，经过判断单调性，经过分析单调区间、最值、极值等函数性质加以解决。例1求f(x)x22x3,x[1,1]的最大值与最小值.解：f'(x)2x2令f'(x)0,则x1,而f'(x)0,则x1.函数f(x)在-1,1上递减.则有f(x)minf(1)2f(x)maxf(1)6评析：利用求导法判断函数单调性追求最值，方法直接简洁。例2求f(x)2x4-x3值域.解：由2x40解得x2,即f(x)的定义域为，x30f'(x)112x32x42x42x322x4x3由f'(x)0可知，2x32x4,即x4则f(x)在2.单调递加.f(x)minf(2)1即f(x)的值域是-1，+.评析：求函数值域是中学教课中的难点，一般可以经过观察图像或不等式性质来解，也可以经过函数单调性求最值，此题形式较为复杂，较难作出函数图像，可采纳求导法判断函数的单调性来解。例3已知m,n是正整数，且1mn,证明：1+mn(1n)m证明：因为1mn且m,n为正整数,2mn构造函数f(x)=ln(1x)(x2)xxln(1x)求导f‘(x)=1xx2由x2可知，0x1,ln(1x)ln31,则f'(x)0.1+x即f(x)=ln(1x)在2，+单调递减.x因为2mn,则ln(1m)ln(1n)mn则有nln(1m)mln(1n),即证1+mn(1n)m.评析：利用求导法证明不等式，要点是如何依据不等式的构造特色构造辅助函数（函数与方程思想），把不等式的证明转变成利用导数研究函数的单调性或最值，从而证明不等式。例4乞降Sn12x3x2......nxn1(x0)解：当x1时，Sn123......n(n1)n=2当x1时，xx2x3........xnxxn11x两边求导，(xx2x3........xn)'(xxn1)'1x即12x3x2......nxn1=1(n1)xnnxn1(1x)2n(n1),x1则Sn2nn11(n1)xnx,x1(1x)2评析:数列是一种特别的函数，它有通项公式an和前n项和公式Sn，而且an和Sn都是关于n的函数，所以可以把Sn看作是某个函数的导数，此题利用求导法解题有效的避开了错位相消的繁琐运算。例5若命题“x0,,不等式exsinxkx”是真命题，则实数k的取值范围是（）2A.,1B.,e2C.(1,D.e2,e2)解(法1)：令f(x)exsinxkx.Qx0,2,不等式exsinxkx"是真命题且f(0)0f'(x)ex(sinxcosx)k0在x0,恒成立2kex(sinxcosx)在x0,恒成立2令g(x)ex(sinxcosx),g'(x)2excosx0故g(x)在0,上单调递加.2所以g(x)g(0)1,即k1.应选A.解(法2)：令f(x)exsinx,g(x)kx.Qx0,,不等式exsinxkx"是真命题2f(x)g(x)在x0,恒成立2在x0,时，f(x)的图像不在g(x)图像的下方.2作f(x)的图像：‘x）=xQx0,,f（sinxcosx2esin(x)024令g(x)xx'(x)2excosx0e（sincosx）,g由f(0)0,f'(0)1即g(x)x恰好与f(x)相切.有图像知：只要k1评析：此题利用数形联合思想，运用求导法作出较为正确的函数图像，充分利用图像的直观表现，找寻不等式成立的临界条件，解答简洁明快。练习题1若函数f(x)x-1sin2xasinx在,单调递加，则a的取值范围。3利用导数乞降：利用求导法证明以下不等式（1）已知：x(0)，求证1lnx11；x1xx（2）已知：nN且n2，求证：111lnn111。23n2n1参照答案1.分析：此题观察恒成立问题，对原函数求导可得f'(x)12cos2xacosx4cos2xacosx5，若原函数在R上单调递加，则333f'(x)0恒成立，设cosxt,(t[1,1])，y'4t23at50,分别带入t1和3t1，解得1,1.332.分析:∵，两边都是关于x的函数，求导得。令x=1得，即证。3.分析（1）令11t，由x>0，∴t>1，x1xt1原不等式等价于11lntt1t令f(t)=t-1-lnt，∵f(t)11当t(1,)时，有f(t)0，∴函数f(t)在t(1,)递加t∴f(t)>f(1)即t-1<lnt另令g(t)lnt11t1，则有g(t)t20tg(t)在(1,