概率论与数理统计第7章7-1点估计

第七章参数估计数理统计的基本问题之一：根据样本所提供的信息，对总体的分布以及分布的数字特征做出统计推断．

统计推断假设检验参数估计点估计区间估计（矩估计法、最大似然估计法）第一节点估计

教学内容

1矩估计法

2最大似然估计法教学重点矩估计法与最大似然估计法的应用

样本统计量描述作出推断研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性，完全取决于其抽样分布的性质.随机抽样总体一、提出问题参数估计是统计推断的基本问题之一,参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估计总体的某些参数或者参数的某些函数.在许多实际问题中,根据实践经验已经知道数据来自于某类分布总体,但总体中有些参数是未知的.问题:(1)在一定时间内某信息台接到的呼叫次数X是一个随机变量,由实践经验知道它服从泊松分布,而其中参数是多少呢？(2)调查男学生的身高，根据以往经验，这些数据应该来自正态总体，我们怎样才能得到这个正态总体的两个参数呢？这类问题称为参数估计.参数估计问题的一般提法X1,X2,…,Xn要依据该样本对参数作出估计,或估计的某个已知函数.现从该总体抽样，得样本

设有一个统计总体,总体的分布函数为F(x,)，其中为未知参数(

可以是向量).

随机抽查100个婴儿,…得100个体重数据10,7,6,6.5,5,5.2,

…呢?据此,我们应如何估计和而全部信息就由这100个数组成.例1

已知某地区新生婴儿的体重,未知我们知道,若,由大数定律,自然想到把样本体重的平均值作为总体平均体重的一个估计.样本体重的平均值则.用样本体重的均值估计.

类似地，用样本体重的方差估计.1.矩估计法

矩估计法是英国统计学家K.皮尔逊最早提出来的.由辛钦定理,若总体的数学期望有限,则有其中为连续函数.

这表明,

当样本容量很大时,在统计上,可以用用样本矩去估计总体矩.这一事实导出矩估计法.定义用样本原点矩估计相应的总体原点矩,又用样本原点矩的连续函数估计相应的总体原点矩的连续函数,这种参数点估计法称为矩估计法

.

理论依据:

大数定律矩估计法的具体做法如下

设总体的分布函数中含有k个未知参数,那么它的前k阶矩,一般都是这k个参数的函数,记为：i=1,2,…,k从这k个方程中解出j=1,2,…,kj=1,2,…,k那么用诸的估计量

Ai分别代替上式中的诸,即可得诸的矩估计量：矩估计量的观察值称为矩估计值

.矩估计(MomentEstimation)又称数字特征法估计

即注意：上述方程的解

它们就是未知参数θ1，θ2，…，θ的矩估计．做法：用“总体矩等于样本矩”列出矩方程（组），解之即得矩估计．解:由矩法,样本矩总体矩从中解得的矩估计.即为数学期望是一阶原点矩

例3

设总体X的概率密度为是未知参数,其中X1,X2,…,Xn是取自X的样本,求参数的矩估计.解:由密度函数知

例4

设X1,X2,…,Xn是取自总体X的一个样本其中>0,求的矩估计.具有均值为的指数分布故E(X-)=

D(X-)=即

E(X)=

D(X)=解得令用样本矩估计总体矩即

E(X)=

E(X2)=2.最大似然法

它是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法.

它首先是由德国数学家高斯在1821年提出的.GaussFisher

然而,这个方法常归功于英国统计学家费歇.

费歇在1922年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法的一些性质.最大似然法的基本思想

先看一个简单例子：一只野兔从前方窜过.是谁打中的呢？

某位同学与一位猎人一起外出打猎.如果要你推测，你会如何想呢?只听一声枪响，野兔应声倒下.

你就会想，只发一枪便打中,猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率.看来这一枪是猎人射中的.

这个例子所作的推断已经体现了极大似然法的基本思想.二、、最大似然估计法试求参数p的最大似然估计量。故似然函数为-------它与矩估计量是相同的。(4)在最大值点的表达式中,用样本值代入就得参数的极大似然估计值.求极大似然估计(MLE)的一般步骤是：(1)由总体分布导出样本的联合概率函数

(或联合密度);(2)把样本联合概率函数(或联合密度)中自变量看成已知常数,而把参数看作自变量,

得到似然函数L();(3)求似然函数L()

的最大值点(常常转化为求lnL()的最大值点)，即

的MLE;解：似然函数为对数似然函数为例6

设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本求的极大似然估计.其中

>0,求导并令其为0=0从中解得即为