李雅普诺夫意义下的稳定

4控制系统的稳定性引言经典控制中的稳定性即判据适用于线性时不变系统李亚普诺夫意义下的稳定性，内部稳定，还可用系统综合1892年Lyapunov适用于各类系统:线性,非线性李亚普诺夫稳定性理论基本内容第一法（间接法）第二法（直接法）为什么要引入李稳定性？（有哪些特点）它的主要内容有哪些？4控制系统的稳定性第一方法(间接法)：

对线性系统求解特征方程对非线性系统，首先线性化，在求解特征方程第二方法(直接法)：

不求解特征方程，直接根据李氏函数进行判断李雅普诺夫函数最优系统设计最优滤波自适应控制4控制系统的稳定性稳定性分类①稳定②渐近稳定③大范围渐近稳定④不稳定范数，平衡状态4控制系统的稳定性范数（2范数）定义：状态空间中两个向量的距离x范数状态空间几何意义4控制系统的稳定性平衡状态齐次状态方程一个或多个平衡状态

平衡状态线性系统4控制系统的稳定性例如：求下列系统的平衡状态唯一平衡状态,系统的稳定性

平衡状态的稳定性1稳定（1）定义对于给定的系统，如任意给定实数ε>0，都存在另一依赖于ε

和t0的实数δ(ε,t0)>0，使当||x0-xe||≤δ时，从任意初态x0出发的受扰运动Φ(t;x0,t0)都能满足不等式：

||Φ(t;x0,t0)-xe||≤ε,

那么系统在平衡状态是稳定的。（2）几何含义εδxex0（3）一致稳定

若对取自时间定义区间的任一初始时刻t0,对任给实数ε>0都存在与初始时刻t0

无关的实数δ（ε）>0,使相应受扰运动Φ(t;x0,t0)

满足||Φ(t;x0,t0)-xe||≤ε，则称平衡状态xe为李雅普诺夫意义下的一致稳定。（4）时不变系统的稳定属性对于时不变系统，不管线性系统还是非线性系统，连续系统还是离散系统，李雅普诺夫意义下的稳定和一致稳定必为等价。也即时不变系统的平衡状态xe为李雅普诺夫意义下的稳定，则xe必为李雅普诺夫意义下一致稳定。2渐近稳定（1）定义对于给定的系统，如任意给定实数ε>0，都存在另一实数δ(ε,t0)>0和任给实数，都对应地存在实数，使当||x0-xe||≤δ

时，从任意初态出发的受扰运动Φ(t;x0,t0)都能满足：

||Φ(t;x0,t0)-xe||≤ε且

||Φ(t;x0,t0)-xe||≤

μ

那么系统在平衡状态xe是渐近稳定的。（2）几何含义εδxex0（3）渐近稳定的等价定义（i）由任一初始状态x0

满足||x0–xe||≤δ出发的受扰运动Φ(t;x0,t0)相对于平衡状态xe=0，对所有均为有界。（ii）受扰运动相对于平衡状态xe=0满足渐近性,当u趋近于零，即成立（4）一致渐近稳定若对取自时间定义区间的任意初始时刻t0，由任给实数ε>0都存在与初始时刻t0无关的实数δ(ε)>0，由实数δ(ε)和任给实数都存在与初始时刻t0无关的实数,使得相应受扰运动相对于平衡状态为有界且满足

则称平衡状态为一致渐近稳定。(5)时不变系统的渐近稳定属性对于时不变系统，不管线性系统还是非线性系统，连续系统还是离散系统，平衡状态xe的渐近稳定和一致渐近稳定为等价。必要条件是在整个状态空间只有一个平衡状态.对于线性系统,不管是时不变系统还是时变系统，连续系统还是离散系统，如果平衡状态xe=0是渐近稳定的,则必然也是大范围渐近稳定.当系统满足渐近稳定,而且从状态空间中所有初始状态出发的轨线都具有渐近稳定性,则这种平衡状态是大范围渐近稳定.3大范围渐近稳定4不稳定（1）定义对于给定的系统，如任意给定实数ε>0，都存在另一实数δ(ε,t0)>0，使当||x0-xe||≤δ

时，总存在一个从初始状态x0出发的受扰运动Φ(t;x0,t0)满足

||Φ(t;x0,t0)-xe||>ε

那么系统在平衡状态xe是不稳定的。（2）几何含义εδxex0应注意的几个问题对线性系统来讲，任意一个孤立的平衡状态都可以通过坐标变化转移到状态空间的原点。因此分析坐标原点的稳定性具有代表意义。对非线性系统来讲，如果具有多个平衡状态，各平衡状态的稳定性有可能不同。因此