河师大探究性课堂

探究性课堂教学的实践与思考

河南师大附中张存敬

张存敬，河南师大附中教师全国优质课一等奖首届河南省最具成长力教师十佳教师河南省中招考试命题专家组成员全国初中数学竞赛优秀辅导员河南省班级管理专家组成员河南省骨干教师培训讲师

探究性教学的教学价值学生探究而不是老师讲授；学生思考而不是机械训练；深度思维而不是简单重复。着眼中考，提升课堂品味；

2013年全国初中数学联赛；

2010年的中考数学探究性教学的经典案例

案例：它就叫π

蓝天白云下，数学教师带着一群学生走进公园，来到一棵梧桐树前，翻开课本对他们说“书上说这种树成熟后树干的直径是3厘米～90厘米，请你们拿尺子去量一量，看看这棵树的树干直径是多少”．说完就把皮尺递给学生．来到树边，两个学生相对而立，拉直皮尺用目测方式估算出树的直径约为45厘米．教师说：“你们这样做只是估计和猜测，还有没有其他方法可以算得比较准确呢?”这时一名学生说：“我们可以先量圆周，然后在地上画圆圈，再量这个圆周的直径．”于是几个学生都去做这件事．教师又问其他学生“还有没有不同的方法?”自主探究一个学生看了看树的两侧后说“直径是树的圆周除以2”．教师说：“好．你把你的计算结果去和在地上画圆圈的同学比较比较看．”结果不符．教师又问“他们量出圆周长150厘米，除以2是75厘米，可是量地上圆圈的直径是45厘米．有没有比2更好的除数呢?”这时一个学生说：“那就除以3”．想了一想又补充说“再减5”．“很好．现在你们找到了一个公式，那么就去量一下那棵梧桐树，再用这个公式计算一下吧!”教师指着一棵半径大约只有15厘米的梧桐树说道．几个学生量出树的周长，用这个公式一算，结果大失所望．教师又请他们再去量其他的树．过了一会儿，一个学生回来说“除以3很对，但是减去5就不太对”．自主探究另一个学生说：“3好像还不够大．”教师问：“要多大才够?”学生们就这样由几棵树的尺寸慢慢去推算，发现圆周扣除3倍直径后，剩余的那一段长大约是直径的1/8，因而认为应该是圆周除以3.125，学生就这样在“丌”值上下不断推算着，这时候教师才说：“我要告诉你们一个秘密，有一个魔术般的数字非常奇特，有自己的名字，它就叫丌，不论圆多大多小，你们都可以用丌值除圆周求出直径，或根据直径求圆周⋯⋯”然后教师和学生们一路逛公园，用丌值去验证其他的树干的直径和周长，直到学生确信丌是恒常的值．自主探究数学探究活动的模式一般为：自主探究案例一：负负得正证法一（乘法的意义）证法二（类比）证法三（-1×0=0）案例二：多边形内角和的重点是什么多边形内角和案例21.公式（结果）2.多种方法（过程）3.转化思想（解决问题的基本思维：转化为已知）4.五边形转化为四边形和三角形5.转化思想要强调吗？6.归纳思维7.类比（类比什么，研究问题的方法，结果的形式）有边长为1的等边三角形卡片若干张，使用这些三角形卡片拼出边长为2，3，4，…的等边三角形（如图19），根据图形推测，每个等边三角形所用三角形卡片总数与边长的关系式是（）案例3案例的价值：这个方法很好！对两种不同解决问题的方法和思维教学价值的理解

平方差公式的探究案例4.

方案一

方案二：小明去市场买一种水果，价格为每公斤9．8元，现称出该水果为10．2公斤，小明随即报出了要付现金99．96元．你知道小明为什么算得这么快吗?说说你的理由．教学效果：导入材料呈现后，教师让学生对上述问题发表看法．学生积极发言，有人说小明是神童，有人说小明用了计算器，也有人说小明看了电子天平秤，等等．

原来小明是这样计算的：9.8×10.2=(10-0.2)×(10+0.2)=l02-0.22=99.96．请问(1)他这样处理正确吗?请验证；(2)这种运算是不是巧合呢?你能再举例说明吗?(3)你能写出一般结论吗?

案例5——几何作图案例6——如何问，学生才愿学1.怎样的四边形是菱形？2.你打算选用哪一个方法3.如何证明案例6——如何问，学生才愿学1.可能是特殊的平行四边形？（培养直观思维）2.点C在什么位置，是菱形。（学生也许会说中点）3.你能把一张三角形的纸片折成一个菱形吗？案例7——圆锥侧面积探究

师：老师让每位同学做了一个圆锥的模型，哪位同学来说一说，你是怎样来做这个圆锥模型的．生1：我是把一张纸先卷成一个圆锥的形状，然后按大小裁剪好，并把它粘牢，再按下底的大小粘上一个圆面．师：大家有没有想过，圆锥的侧面是什么形状的呢?生：扇形!师：只有部分同学说是扇形，请大家用剪刀沿圆锥的一条母线将侧面剪开并展平，看一看圆锥的侧面是什么形状．经过动手实践，学生一致认为圆锥的侧面展开图是一个扇形．师：同学们，这个扇形的半径就是圆锥的母线．那么这个扇形的弧长应该是圆锥的什么呢?学生：底面周长．教师：如果设圆锥的母线长为z，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径和弧长分别是多少?扇形的面积又是多少呢?学生：这个扇形的半径是z，弧长是2兀r，面积是·2兀r·兀rf．教师：这就是圆锥的侧面积计算公式．

分析：学走路案例2教师：下面我们来探究圆锥侧面的形状．老师不想直接告诉大家该怎么探究，因为同学们已经经历了制作圆锥模型的过程，相信你们能找到答案．在探究之前，老师提几点建议和要求：以你制作的圆锥模型为工具，运用所学的知识去探究，要求独立思考探究．同时应思考以下几个问题：(1)你是用什么方法、怎样进行探究的?(2)你认为运用什么知识可以求出圆锥的侧面积?(3)在探究得到的结论中，需要已知哪几个量才可以求出圆锥的侧面积?(4)用字母表示圆锥的侧面积的计算公式．经过大约4分钟的时间，教师看到学生都找到了方法——把圆锥的侧面剪开展平成一个扇形．大多数学生已初步有了计算公式，还有一部分学生不知所措．于是进入了第二个环节．教师：下面请各小组相互讨论、交流各自的想法。分析：完美风暴裴光亚《数学教师的专业发展》

案例8——平分面积已知四边形ABCD，用一条直线把四边形的面积平分，求出该直线.

两种方法的教学价值

案例9——有理数的除法

1.怎么计算8÷（-4）？

2.因为（-2）×（-4）=8，所以8÷（－4）=－2.

另一方面，我们有

8×（－1/4）=－2.

于是有

8÷（－4）=8×（－1/4）.

案例10——有理数的乘法思考观察下面的乘法算式，你能发现什么规律吗？

3×3=9,3×2=6,3×1=3,3×0=0.你认为老师接下来要写什么，为什么？

案例11----三角形相似判定

案例12--2013年中考试题探究试题如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转.当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是

；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是

.（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请证明小明的猜想.2013年中考试题探究试题（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE