山西省临汾市铁路职工子弟第一中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试题含解析

山西省临汾市铁路职工子弟第一中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵.记鲑鱼的游速为v（单位：m/s），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q.科学研究发现v与成正比.当v=1m/s时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900.当v=2m/s时，其耗氧量的单位数为（

）A.1800 B.2700 C.7290 D.8100参考答案：D【分析】设，利用当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900求出后可计算时鲑鱼耗氧量的单位数.【详解】设，因为时，，故，所以，故时，即.故选：D.【点睛】本题考查对数函数模型在实际中的应用，解题时注意利用已知的公式来求解，本题为基础题.2.设，则“”是“直线和直线平行”的（

）A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C.充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C3.已知集合,，则为A.

B.

C.

D.参考答案：D略4.已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是(

)．参考答案：C5.若复数是纯虚数，则的值为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略6.对于函数，当实数属于下列选项中的哪一个区间时，才能确保一定存在实数对（），使得当函数的定义域为时，其值域也恰好是A． B． C． D．参考答案：D略7.已知O为坐标原点，点A（4，2），则的最大值是（

）

A．

B．

C．

D．10参考答案：答案：C8.已知实数满足等式，下列五个关系式：①②③④⑤其中可能成立的关系式有（

）A．①②③

B．①②⑤

C．①③⑤ D．③④⑤参考答案：B9.点在函数的图象上，且角的终边所在直线过点，则（

）

A．

B．

C．-3

D．参考答案：C试题分析：因为在函数的图象上，即得，故，故选C.考点：（1）对数函数的性质；（2）正切函数的定义.10.把函数f（x）=sin2x﹣2sinxcosx+3cos2x的图象沿x轴向左平移m（m＞0）个单位，所得函数g（x）的图象关于直线x=对称，则m的最小值为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】利用二倍角的正弦和余弦公式化简f（x），平移后取x=得到，进一步得到，取k=0求得正数m的最小值．【解答】解：∵f（x）=sin2x﹣2sinxcosx+3cos2x=1﹣2sinxcosx+2cos2x=1+1+cos2x﹣sin2x=﹣（sin2x﹣cos2x）+2=．∴把函数f（x）的图象沿x轴向左平移m（m＞0）个单位，得到函数g（x）的图象的解析式为：g（x）=．∵函数g（x）的图象关于直线x=对称，∴，即．∴k=0时最小正数m的值为．故选：A．【点评】本题考查了三角函数的倍角公式，考查了三角函数的平移，三角函数的平移原则为左加右减上加下减，训练了三角函数对称轴方程的求法，是中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.(几何证明选讲选做题)如图4所示，圆的直径AB=6，为圆周上一点，．过作圆的切线，过A作的垂线AD，垂足为D，则∠DAC=

．参考答案：答案：30解析：由RtACB的各边的长度关系知∠CAB=30,而弦切角

=∠CAB=30。那么在RtADC中∠ACD=60，故∠DAC=30。

12.某人从标有1、2、3、4的四张卡片中任意抽取两张.约定如下：如果出现两个偶数或两个奇数，就将两数相加的和记为；如果出现一奇一偶，则将它们的差的绝对值记为，则随机变量的数学期望为

.参考答案：略13.如图，在矩形中，

，，以为圆心，1为半径作四分之一个圆弧，在圆弧上任取一点，则直线与线段有公共点的概率是

▲

．

参考答案：答案：14.如图，已知OA=OB=OC，∠ACB=45°，则∠OBA的大小为．参考答案：45°考点：圆周角定理．.专题：计算题．分析：结合题意，可分析得出点A、B、C在以点O位圆心，以OA长为半径的圆周上，即可得出∠ACB和∠AOB分别为圆周角和圆心角，且两角对应的弧相等，即可得出∠AOB=2∠ACB=80°．解答：解：根据题意，可以以点O为圆心，以OA为半径作圆，即可得出点A、B、C均在圆周上，根据圆周角定理，故有∠AOB=2∠ACB=90°．由△OAB为等腰三角形，所以∠OBA=45°故答案为：45°点评：本题主要考查了学生对知识的灵活运用能力和对问题的分析能力，属于常规性试题，是学生练习的很好的题材．15.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_______________.参考答案：12+π由三视图可知该几何体为一个长方体和一个等高的圆柱的组合体，其中长方体的长、宽、高分别为4、3、1，圆柱的底面直径为2，高位1，所以该几何体的体积为【点评】本题主要考查几何体的三视图、柱体的体积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，属于容易题。本题解决的关键是根据三视图还原出几何体，确定几何体的形状，然后再根据几何体的形状计算出体积。16.在△ABC中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是

．参考答案：﹣2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的运算法则：平行四边形法则作出，判断出共线，得到的夹角，利用向量的数量积公式将转化成二次函数求出最小值，【解答】解：以OB和OC做平行四边形OBNC．则因为M为BC的中点所以且反向∴=，设OA=x，（0≤x≤2）OM=2﹣x，ON=4﹣2x∴=2x2﹣4x（0≤x≤2）其对称轴x=1所以当x=1时有最小值﹣2故答案为﹣217.若函数f(x)在(1,2)内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间(1,2)至少二等分

次

参考答案：7略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知圆C与圆D：x2+y2﹣4x﹣2y+3=0关于直线4x+2y﹣5=0．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若点P（2，0），M（0，2），设Q为圆C上一个动点．①求△QPM面积的最大值，并求出最大值时对应点Q的坐标；②在①的结论下，过点Q作两条相异直线分别与圆C相交于A，B两点，若直线QA，QB的倾斜角互补，问直线AB与直线PM是否垂直？请说明理由．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（Ⅰ）求出圆心坐标，即可求圆C的方程；（Ⅱ）①设点Q到PM的距离为h，圆心C到PM的距离为d，所以．△QPM面积的最大值即需要h取的最大值，此时点Q与圆心C的连线与PM垂直；②证明kPM?kAB=﹣1，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）∵x2+y2﹣4x﹣2y+3=0，∴（x﹣2）2+（y﹣1）2=2．

…设圆C的圆心为C（a，b），又因为圆C与圆D关于直线4x+2y﹣5=0对称，即圆心D（2，1）与（a，b）关于直线4x+2y﹣5=0对称．∴，…∴．

∴圆C的方程为x2+y2=2．…（Ⅱ）①因为点P（2，0），M（0，2），所以，…设点Q到PM的距离为h，圆心C到PM的距离为d，所以．△QPM面积的最大值即需要h取的最大值，此时点Q与圆心C的连线与PM垂直，故有最大值，最大面积，…此时点Q坐标为点（﹣1，﹣1）．

…②直线AB与直线PM垂直，理由如下：…因为过点Q（﹣1，﹣1）作两条相异直线分别与圆C相交于A、B两点，直线QA、QB的倾斜角互补，所以直线QA、QB斜率都存在．设直线QA的斜率为k，则直线QB斜率为﹣k，所以直线QA的方程：y+1=k（x+1）?（1+k2）x2+2k（k﹣1）x+k2﹣2k﹣1=0，…又因为点Q（﹣1，﹣1）在圆C上，故有，所以，同理，…

，…又，所以有kPM?kAB=﹣1，故直线AB与直线PM垂直．…【点评】本题考查求一个圆关于直线的对称圆的方程的方法，直线和圆相交的性质，判断两直线垂直的方法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.(坐标系与参数方程选讲)已知在平面直角坐标系xoy中圆C的参数方程为（为参数），以OX为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为则圆C截直线所得弦长为

.参考答案：略20.济南高新区引进一高科技企业，投入资金720万元建设基本设施，第一年各种运营费用120万元，以后每年增加40万元；每年企业销售收入500万元，设表示前年的纯收入.（=前年的总收入-前年的总支出-投资额）(Ⅰ）从第几年开始获取纯利润？(Ⅱ）若干年后，该企业为开发新产品，有两种处理方案：①年平均利润最大时，以480万元出售该企业；②纯利润最大时，以160万元出售该企业；问哪种方案最合算？参考答案：由题意知每年的运营费用是以120为首项，40为公差的等差数列.设纯利润与年数的关系为，设.

(Ⅰ）获取纯利润就是要求，故有，解得.又，知从第三年开始获取纯利润.

(Ⅱ）①年平均利润，当且仅当时取等号.故此方案获利（万元），此时.

②，当时，.故此方案共获利1280+160=1440（万元）.

比较两种方案，在同等数额获利的基础上,第①种方案只需6年，第②种方案需要10年，故选择第①种方案.

21.（本小题满分12分）某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试。已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书。现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为，科目B每次考试成绩合格的概率均为.假设各次考试成绩合格与否均互不影响.（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的数学期望E.参考答案：解析：设“科目第一次考试合格”为事件，“科目补考合格”为事件；“科目第一次考试合格”为事件，“科目补考合格”为事件.

(Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为,注意到与相互独立，则.答：该考生不需要补考就获得证书的概率为.(Ⅱ)由已知得，，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得

故答：该考生参加考试次数的数学期望为.【高考考点】本小题主要考查概率的基本知识与分类思想,考查运用数学知识分析问题,解决问题的能力.【易错提醒】理解不了题意,如当次数为时表示什么意思,有的同学就认为是只要两次考试即可,就会出现分别算等就大错特错了,因为这样的话按题目意思就应该还要进行一次考试,而你算的是的概率,后面的依次类推.【备考提示】对于概率大家都知道要避免会而不全的问题,上述问题就是考虑不周全所造成的,所以建议让学生一定注重题干中的每一句话,每一个字的意思.只有这样才能做到满分。22.已知数列{an}的前n项和为Sn，满足3Sn=an﹣1．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=，数列{bn}前n项的和为Tn，证明：Tn＜．参考答案：考点：数列的求和