2020学年上海市嘉定区高二第二学期期末考试数学试题

—————教育源享步入识洋——————2020学年上海市嘉定区高二第二学期期末考试数学试题一、单选题1夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异”是以我国哪位数学家命名的数学原理（）．杨辉

B刘微C．祖暅D．李淳风【答案】C【解析】由题意可得求不规则几何体的体积的求法，即运用祖暅原理【详解】“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异”的意思是“夹在两平行平面之间的两个几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果两个截面面积仍然相等，那么这两个几何体的体积相等以我国数学家祖暅命名的数学原理，故选：C.【点睛】本题考查祖暅原理的理解空间几何体体积的求法对概念的理解，属于基础题.2已知抛物线

y

＝

（

是正常数）上有两点Ay、Bxy，焦点122，甲：

x12

p24

；乙：yy

；丙

；丁：

1FAp

.以上是“直线经过焦点”的充要条件有几个（）．

B

C．2

D金戈铁骑

3pxmymy11122———————育源共3pxmymy11122【解析】设直线的方程为my

，将直线AB的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理验证四个选项结论成立时，实t线AB过焦点”的充要条件的个.【详解】

的值，可以得出“直设直线AB方程为x点F的坐标为,0.

线交x轴于点

物线的焦2px将直线AB方程与抛物线的方程联立，消去x得，myy2pt

，由韦达定理得yyypt12

.对于甲条件，

x1

y14p4p

，得

t

，甲条件是“直线AB经过焦点F”的必要不充分条件；对于乙条件yypt2

tAB过抛物线的焦点乙条件是“直线AB经过焦点”的充要条件；对于丙条件xy1212

2

3pt，tpt4

2

，解t

t，所以，丙条件是“直线过焦点F”的必要不充分2条件；对于丁条件，1FAFBppp22ppmymym2yyt2金戈铁骑

，——————————教资共步入识洋—————，

m

2pptpmt2

2pm2pp22

2p

，化简t

p24

，t

，所以，丁条件是“直AB经过焦点F”的必要不充分条件.综上所述，正确的结论只个，故选：B.【点睛】本题考查抛物线的几何性质，以及直线与抛物线的综合问题，同时也考查了充分必要条件的判定，解题时要假设直线的方程，并将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求解，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中等题.二、填空题3椭圆2的焦点坐标是__________.3【答案】2,0【解析椭圆方程中得出ab值，可得c的值，可得出椭圆的焦点坐标.【详解】由题意可得3

2

，因此，椭圆

3

2

的焦点坐标是

，故答案为：2,0.【点睛】本题考查椭圆焦点坐标的求解题时要从椭圆的标准方程中得出ab的值，同时也要确定焦点的位置，考查计算能力，属于基础题

4若复数z满足【答案

，则实部是_________.金戈铁骑

—————教育源享步入识洋————【解析】由

得出

，再利用复数的除法法则得出

的一般形式，可得出复数z的实部.【详解】

，因此，复数

的实部1故答案为【点睛】本题考查复数的概念，同时也考查了复数的除法，解题时要利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题5球的表面积是其大圆面积的________．【答案】【解析设球的半径为，可得出球的表面积和球的大圆面积，从而可得出结果.【详解】设球的半径为R则球的表面积为

4，球的大圆面积为，因此，球的表面积是其大圆面积的倍，故答案为：.【点睛】本题考查球的表面积公式的应用，考查计算能力，属于基础题6棱长为的正四面体的高为__________.【答案】

【解析】利用正弦定理计算出正四面体底面三角形的外接圆半径r，再利用公式

可得出正四面体的高.【详解】金戈铁骑

223xxxxxx1xxx————教育源享步知海———223xxxxxx1xxx设正四面体底面三角形的外接圆的半径为r

，由正弦定理得r

26r，333因此，正四面体的高为

62322

，故答案为：.【点睛】本题考查正四面体高的计算，解题时要充分分析几何体的结构，结合勾股定理进行计算，考查空间想象能力，属于中等题7展开二项式

6

，其常数项为_________.【答案】20【解析】利用二项展开式通项，令x指数为零，求出参数的值，再代入通项可得出二项式

展开式的常数项.【详解】二项式

6k展开式的通项kk

6

6

，得k

.所以，二项式

展开式的常数项C

36

20

，故答案为：20

.【点睛】本题考查二项展开式中常数项的计算，解题时要充分利用二项式展开式通项，利用指数来求解，考查运算求解能力，属于基础题.8

4中

个不同的数组成一个三位数个数大于200

，共有_____同的可能．【答案36【解析由题意得知，三位数首位2金戈铁骑

4中的某个数，十位和个位数没

——————————教资共步入识洋————————有限制，然后利用分步计数原理可得出结果【详解】由于三位数比200数没有限制，

大，则三位数首位

中的某个数，十位数和个位因此，符合条件的三位数的个数CA236

，故答案为

.【点睛】本题考查排列组合综合问题，考查分步计数原理的应用，本题考查数字的排列问题时要弄清楚首位和零的排列分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9圆锥的母线长是3高是2

，则其侧面积是________.【答案】3【解析计算出圆锥底面圆的半径，然后利用圆锥的侧面积公式可计算出圆锥的侧面积.【详解】由题意知，圆锥的底面半径为

r

32因此，圆锥的侧面积为S

33故答案为：.【点睛】本题考查圆锥的侧面积，解题的关键就是要求出圆锥的母线长和底面圆的半径，利用圆锥的侧面积公式进行计算，考查计算能力，属于中等题10双曲线

2的虚轴长为2其渐近线夹角为__________.3b【答案】．【解析】计算

的值，得出渐近线的斜率，得出两渐近线的倾斜角，从而可得出两渐近线的夹角.金戈铁骑

———————教资共步入识洋————【详解】由题意知，双曲线

2y2的虚轴长为，b3b所以，双曲线的渐近线方程为

yx两条渐近线的倾斜角分别、

，因此，两渐近线的夹角，故答案为.【点睛】本题考查双曲线渐近线的夹角，解题的关键就是求出渐近线方程，根据渐近线的倾斜角来求解，考查运算求解能力，属于基础题11在空间直角坐标系中，某个大小为锐角的二面角的两个半平面的法向量分别为

，则该二面角的大小为________结果用反三角函数表示【答案arccos

【解析设锐二面角的大小为

，利用空间向量法求cos

的值，从而可求【详解】设锐二面角的大小cos

2

，

arccos

1，故答案为arccos.【点睛】本题考查利用空间向量法计算二面角，同时也考查了反三角函数的定义，考查运算求解能力，属于基础题.12现有颜色为红、黄、蓝的小球各三个，相同颜色的小球依次编1、

，从中任3

个小球，颜色编号均不相同的情况有__________．金戈铁骑

—————————教资源享步知海———————【答案【解析设红色的三个球分别为A、

A、，黄色的三个球分别、12B，蓝色的三个球分别C，列出所有符合条件的选法组合，可3得出结果.【详解】设红色的三个球分别为、、，黄色的三个球分别为、B、，蓝32色的三个球分别CCC，现从中任31

个小球，颜色编号均不相同的情况有：,C、A,,C、,B,C、AB,C、A,C、31112,,C1因此，从中任3

个小球，颜色编号均不相同的情况6

种，故答案为

.【点睛】本题考查分类计数原理的应用，在求解排列组合问题时，若符合条件的基本事件数较少时，可采用列举法求解，考查分类讨论数学思想，属于中等题13已知点

，st，

u

2

2

，复数

z、在复平面1内分别对应点

，若1

2

，则z

的最大值是__________.【答案【解析】由题意可知，点

在曲线x内，Q圆y2

上，利用三角不等式得出zzOP，可求出2【详解】

的最大值.由题意知，点P

在曲线y内，Q圆

上，如下图所示：金戈铁骑

——————教育资共步入识洋—————由三角不等式得zzzOP12当点P为3

为正方形的顶点，且O.

方向相反时，取最大，故答案【点睛】本题考查复数模的最值，解题时充分利用三角不等式与数形结合思想进行求解，能简化计算，考查数形结合思想的应用，属于中等题14已知在二面AB，点

在半平内，且POB

对于半平面

内异

的任意一

12

二面取值的集合为__________.【答案】90【解析画出图形，利用斜线与平面内直线所成的角中，斜线与它的射影所成的角是最小的，判断二面角的大小即可【详解】如下图所示，过点在平内作PC

，垂直为

，金戈铁骑

mmn——————————教育源享步入识洋————————mmn

在二面，点

在平，且

POB

，若对于平面内异于O

的任意一Q，都

12

.因为斜线与平面内直线所成角中，斜线与它的射影所成的角是最小的，即

是线PO

与平面

成的角

平面平面

所以，平面所以，二面角AB是

.故答案为：90.【点睛】本题考查二面角平面角的求解，以及直线与平面所成角的定义，考查转化与化归思想和空间想象能力，属于中等题.15已知nN*

，

，下面哪一个等式是恒成立的（）mn

n!!

BAn

n!(n)!C

m

m

C

m

D

m

m【答案】B【解析利用排列数、组合数公式以及组合数的性质可对各选项中的等式的正误进行判断.【详解】由组合数的定义可

mn

!m!

，A项错误；!由排列数的定义可知A，B选项正确；!由组合数的性质可C

rn

rn

C

r，则C项均错误.故选：n【点睛】本题考查排列数、组合数的定义以及组合数的性质的应用，意在考查对这些金戈铁骑

ii1ii2222———————ii1ii222216在复数范围内，多项式．4xC．

4

可以因式分解为（）B．xD．xx2【答案】A【解析】将代数式化为【详解】

4x24x22，然后利用平方差公式可得出结果iii44x2xx，故选：A.4【点睛】本题考查复数范围内的因式分解，考查平方差公式的应用，属于基础题三、解答题17已知复w满足

i为虚数单位

w

，求一个以

为根的实系数一元二次方程．【答案】

x

【解析】先由

w

求出复数w，再由zw

求出复数

，计算出其复数

，可得出以复数

为根的实系数方程为

x

【详解】由

w

，得w

iii

ii

5w

5

z

.z，z

，金戈铁骑

b202c220—————教育源享步入识b202c220因此，以复数

为一个根的实系数方程为x

，即x即

x.【点睛】本题考查复数形式的乘法与除法运算，考查实系数方程与虚根之间的关系，考查运算求解能力，属于中等题.18面直角坐标系中

x22:点a2

F为

．（1若其长半轴长为，焦距，求其标准方程．（2证明该椭圆上一动点P

到点F的距离的最大值是a

．【答案

224

解.【解析题设条件可得出a的值，进而可求b的值，由此得出椭C

的标准方程；（2设点,0

x，将该点代入椭方程得出a

2

0

，并代d

的表达式，转化为关于x

的函数，利用函数的性质求出

的最大值.【详解】（1由题意，，，22．圆的标准方程为

24（2设,0

，0

,0，2d

x0

x20

0

2

xa20

cx0

2c

c

a2xd金戈铁骑

xx————————教资共步入识洋——————【点睛】xx本题考查椭圆方程的求解及椭圆方程的应用，在处理与椭圆上一点有关的最值问题时，充分利用点在椭圆上这一条件，将问题转化为二次函数来求解，考查函数思想的应用，属于中等题.19推广组合数公式，定Cmx

!

，其x且规C

0x

．的值；（1C（2设当x为何值时，函数

f

C3

取得最小值？【答案

时，

C3x

取得最小值.【解析据题中组合数的定义计算C的值；2（2根据题中组合数的定义求出函数f，然后利用基本不等式求出函数【详解】

y

的最小值，并计算出等号成立对应的x的值.（1由题中组合数的定义C

3!

（2由题中组合数的定义得

f

C3

xx2

．因为x由基本不等式得x

2x

，当且仅当

x2

时，等号成立，所以当时，

C3x

取得最小值．【点睛】本题考查组合数的新定义，以及利用基本不等式求函数最值，解题的关键就是利用题中组合数的新定义进行化简、计算，考查运算求解能力，属于中等金戈铁骑

1883——————————教资共步入识洋————————题.188320被嘉定著名学者钱大昕赞誉为“国朝算学第一”的清朝数学家梅文鼎曾创造出一类“方灯体示，在棱长4正方体ABCDC中，点Pi111i

为棱上的四等分点.（1求该方灯体的体积；（2求直线PP和P的所成角；2（3求直线P和平面PP的所成角．91【答案60arcsin.33【解析出八个角（即八个三棱锥）的体积之和，然后利用正方体的体积减去这八个角的体积之和即可得出方灯体的体积；（2以A原点，为轴，AD为y

轴，为z轴建立空间直角坐标1系，利用空间向量法求出直线和的所成角；611（3求出平P法向量，利用空间向量法求出直PP和平面P1299132的所成角的正弦值，由此可得出P和平面的所成角的大小.9132【详解】（1在棱长为的正方体﹣AB中，点Pi11i

为棱上的四等分点，该方灯体的体积：

11V323

；（2以A原点，为轴，AD为y，AA1系，金戈铁骑

轴，建立空间直角坐标

P0,3,4———教育源享步知海P0,3,4P1

,42

6

P11

1,1,012

P611

，设直线和P的所成角为，611直线和PP的所成角；2611

PPP1111PPP1211

，（34,0,3，13

，

P13

，9

，设平面PP的法向量129

，则

nx1nxy12

，得，取x得z

，设直线和平面PP的所成角sin9132

9913

2，23直线和平面PP的所成角为919

．【点睛】本题考查多面体的体积、异面直线所成角、直线与平面所成角的计算，解题的关键就是建立空间直角坐标系，利用空间向量法进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.21双曲线

xy2a,b的左、右焦点分别为a2

FF，直l过F且2与双曲线交于、B两点．金戈铁骑

1a21a2（1l准方程；

———————教育资共步入识洋————的倾斜角为3AB是等腰直角三角形，求双曲线的标2（23b

，l

的斜率存在，且FA，l1

的斜率；（3证明：点P

到已知双曲线的两条渐近线的距离的乘积为定值是a2该点在已知双曲线上的必要非充分条件．x2y【答案

解析.【解析代入双曲线的方程，得出

2y，由

等腰直1角三角形，可得出线的标准方程；

b22c，再a入可得ba

的值，由此可得出双曲（2求出双曲线的标准方程设直l

的方程为

该直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，并求出线段AB的中点的坐标，由FA得出FAFB，转化为利用这两条11直线斜率之积为出实数

的值，可得出直l

的斜率；（3设Py，