山西省临汾市南官庄中学2023年高三数学理下学期期末试题含解析

山西省临汾市南官庄中学2023年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.给出下列四个命题，其中正确的一个是（

）

A．在线性回归模型中，相关指数，说明预报变量对解释变量的贡献率是

B．在独立性检验时，两个变量的列联表中对角线上数据的乘积相差越大，说明这两个变量没有关系成立的可能性就越大

C．相关指数R2用来刻画回归效果，R2越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越好

D．随机误差e是衡量预报精确度的一个量，它满足E（e）=0参考答案：D略2.已知∈(，0)，，则=A.

B.

C.

D.参考答案：D3.如果复数是纯虚数，则实数的值为（

）A．0

B．2

C．0或3

D．2或3参考答案：A4.若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则可以是A.

B.

C.

D.参考答案：解析：的零点为x=,的零点为x=1,的零点为x=0,的零点为x=.现在我们来估算的零点，因为g(0)=-1,g()=1,所以g(x)的零点x(0,),又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，只有的零点适合，故选A。5.“m=0”是“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=2相切”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出“m=0”是“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=2相切”的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：若直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=2相切，则（1，1）到x+y﹣m=0的距离是，故=，故|2﹣m|=2，2﹣m=±2，解得：m=0或m=4，故“m=0”是“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=2相切”的充分不必要条件，故选：B．6.北宋数学家沈括的主要数学成就之一为隙积术，所谓隙积，即“积之有隙”者，如累棋、层坛之类，这种长方台形状的物体垛积，设隙积共n层，上底由a×b个物体组成，以下各层的长、宽依次各增加一个物体，最下层（即下底）由c×d个物体组成，沈括给出求隙积中物体总数的公式为S=[（2b+d）a+（b+2d）c]+（c﹣a）．已知由若干个相同小球粘黏组成的几何体垛积的三视图如图所示，则该垛积中所有小球的个数为（）A．83 B．84 C．85 D．86参考答案：C【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由题意，a=3，b=1，c=7，d=5，n=5，代入公式，即可得出结论．【解答】解：由题意，a=3，b=1，c=7，d=5，n=5，∴S=[（2b+d）a+（b+2d）c]+（c﹣a）=85，故选C．7.方程xy=lg|x|的曲线只能是（

）参考答案：D8.与函数有相同图象的一个函数是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略9.若的平均数为4，标准差为3，且，，则新数据的平均数和标准差分别为（

）A．-6

9

B．-6

27

C．-12

9

D．-12

27参考答案：A选A．数据的变化，会引起其数字特征的变化．变化规律总结为：若数据由,则平均值由

方差由，标准差由．10.一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x、y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y＝f(x)，则y＝f(x)的图象是

()参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一个口袋里装有大小相同的6个小球，其中红色、黄色、绿色的球各2个，现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球同颜色的概率是

.若取到红球得1分，取到黄球得2分，取到绿球得3分，记变量为取出的三个小球得分之和，则的期望为

.参考答案：0.6

612.曲线y=x2和它在点（2，1）处的切线与x轴围成的封闭图形的面积为

．参考答案：【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求出导数和切线的斜率，可得切线的方程，根据题意画出区域，然后依据图形，利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】解：y=x2在（2，1）点处的切线l，则y′=x，∴直线l的斜率k=y′|x=2=1，∴直线l的方程为y﹣1=x﹣2，即y=x﹣1，当y=0时，x﹣1=0，即x=1，所围成的面积如图所示：S=x2dx﹣×1×1=x3|﹣=﹣=．故答案为：．13.若命题“”是真命题，则实数的取值范围是_________．参考答案：略14.中心均为原点O的双曲线C2与椭圆有公共的焦点，其中F为右焦点，点A是C1，C2在第一象限的公共点，若则C2的离心率为

参考答案：15.（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={3，5}，则?UA=

．参考答案：{1，2，4}考点： 补集及其运算．专题： 集合．分析： 根据集合的基本运算进行求解即可．解答：∵全集U={1，2，3，4，5}，A={3，5}，∴?UA={1，2，4}，故答案为：{1，2，4}．点评： 本题主要考查集合关系的应用，比较基础．16.若点P在曲线C1：上，点Q在曲线C2：上，点R在曲线C3：上，则|PQ|－|PR|的取值范围是

．参考答案：17.直线6x-8y-19=0与直线3x-4y+0.5=0的距离为_________.参考答案：2略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=，g(x)=k(x－1)．（1）证明：?k∈R，直线y=g（x）都不是曲线y=f（x）的切线；（2）若?x∈[e，e2]，使得f（x）≤g（x）+成立，求实数k的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率，设出切点，构造函数h（x）=lnx+x﹣1，求出导数和单调区间，即可得证；（2）f（x）≤g（x）+?﹣k（x﹣1）≤，可令m（x）=﹣k（x﹣1），x∈[e，e2]，则?x∈[e，e2]，使得f（x）≤g（x）+成立?m（x）min≤．对k讨论，当k≥时，当k＜时，运用单调性，求出最小值，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（1）证明：f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），f（x）的导数为f′（x）=，直线y=g（x）过定点（1，0），若直线y=g（x）与y=f（x）相切于点（m，），则k==，即为lnm+m﹣1=0①设h（x）=lnx+x﹣1，h′（x）=+1＞0，则h（x）在（0，+∞）递增，h（1）=0，当且仅当m=1①成立．与定义域矛盾，故?k∈R，直线y=g（x）都不是曲线y=f（x）的切线；（2）f（x）≤g（x）+?﹣k（x﹣1）≤，可令m（x）=﹣k（x﹣1），x∈[e，e2]，则?x∈[e，e2]，使得f（x）≤g（x）+成立?m（x）min≤．m′（x）=﹣k=﹣（﹣）2+﹣k，当k≥时，m′（x）≤0，m（x）在[e，e2]递减，于是m（x）min=m（e2）=﹣k（e2﹣1）≤，解得k≥，满足k≥，故k≥成立；当k＜时，由y=﹣（t﹣）2+﹣k，及t=得m′（x）=﹣（﹣）2+﹣k在[e，e2]递增，m′（e）≤m′（x）≤m′（e2），即﹣k≤m′（x）≤﹣k，①若﹣k≥0即k≤0，m′（x）≥0，则m（x）在[e，e2]递增，m（x）min=m（e）=e﹣k（e﹣1）≥e＞，不成立；②若﹣k＜0，即0＜k＜时，由m′（e）=﹣k＜0，m′（e2）=﹣k＞0，由m′（x）单调性可得?x0∈[e，e2]，由m′（x0）=0，且当x∈（e，x0），m′（x）＜0，m（x）递减；当x∈（x0，e2）时，m′（x）＞0，m（x）递增，可得m（x）的最小值为+k（x0﹣1），由+k（x0﹣1）≤，可得k≥（﹣）＞（）=＞，与0＜k＜矛盾．综上可得k的范围是k≥．19.设函数f（x）=k（x﹣1）﹣2lnx（k＞0）．（1）若函数f（x）有且只有一个零点，求实数k的值；（2）设函数g（x）=xe1﹣x（其中e为自然对数的底数），若对任意给定的s∈（0，e），均存在两个不同的ti∈（）（i=1，2），使得f（ti）=g（s）成立，求实数k的取值范围．参考答案：【考点】52：函数零点的判定定理；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）由题意可知：当f（x）=0，则k（x﹣1）﹣2lnx=0，即（x﹣1）=lnx，若k＞0，当直线与曲线y=lnx有且只有一个交点（1，0）时，则直线为曲线y=lnx在x=1处的切线，则，即可求得实数k的值；（2）g（x）=xe1﹣x，求导知g'（x）=（1﹣x）e1﹣x，令g'（x）≥0，求得函数的单调递增区间，g'（x）＜0，求得函数的单调递减区间，求得其值域，对任意m∈（0，1），方程f（x）=m在区间上有两个不等实根，根据函数的单调性求得函数的最小值，h（x）=﹣x+2lnx+2﹣2ln2，求导，利用导数求得其单调区间及最大值，则，即可求得实数k的取值范围．【解答】解：（1）由于f（1）=0，则由题意，f（x）有且只有一个零点x=1，令f（x）=0，k（x﹣1）﹣2lnx=0，则（x﹣1）=lnx若k＞0，当直线与曲线y=lnx有且只有一个交点（1，0）时，直线为曲线y=lnx在x=1处的切线，则，即k=2，综上，实数k的值为2．（2）由g（x）=xe1﹣x可知g'（x）=（1﹣x）e1﹣x，令g'（x）≥0，解得：x≤1，g'（x）＜0，解得：x＞1，即g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减，从而g（x）在（0，e）上的值域为（0，1）；则原题意等价于：对任意m∈（0，1），方程f（x）=m在区间上有两个不等实根，，由于f（x）在上不单调，则，且f（x）在上单调递减，在上单调递增，则函数f（x）的最小值为，记h（x）=﹣x+2lnx+2﹣2ln2，则h′（x）=﹣1+=，由h′（x）＞0解得：x＜2，从而函数h（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，最大值为h（2）=0，即；另一方面，由；综上，实数k的取值范围为．【点评】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及最值，导数与不等式的综合应用，考查构造法，考查计算能力，属于难题．20.已知函数f(x)＝x2＋2ax＋b的图像过点(1,3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于原点对称．(1)求f(x)与g(x)的解析式；(2)若F(x)＝g(x)－λf(x)在(－1,1上是增函数，求实数λ的取值范围．参考答案：(1)由题意知：a＝1，b＝0，∴f(x)＝x2＋2x.设函数y＝f(x)图像上的任意一点Q(x0，y0)关于原点的对称点为P(x，y)，则x0＝－x，y0＝－y.∵点Q(x0，y0)在y＝f(x)的图像上，∴－y＝x2－2x.∴y＝－x2＋2x.∴g(x)＝－x2＋2x.(2)F(x)＝－x2＋2x－λ(x2＋2x)＝－(1＋λ)x2＋2(1－λ)x，∵F(x)在(－1,1上是增函数且连续，F′(x)＝－2(1＋λ)x＋2(1－λ)≥0恒成立，即λ≤＝－1在(－1,1上恒成立，由－1在(－1,1上为减函数，当x＝1时取最小值0，故λ≤0，所求λ的取值范围是(－∞，0．21.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.(1)求角B的大小；(2)设向量，边长，当取最大值时，求b边的长.参考答案：(1)(2).分析：（1）由题意，根据正弦定理可得，再由余弦定理可得，由此可求角的大小；（2）因为由此可求当取最大值时，求边的长.详解：（1）由题意，所以

（2）因为所以当时，取最大值，此时，由正弦定理得，点睛：本题考查正弦定理，余弦定理的应用，考查向量数量积的运算，以及二次函数的最值，属于中档题．22.已知焦距长为4的双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点，且点在双曲线的一条渐近线上．（1）求该双曲线的方程；（2）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；（3）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：由条