2020北京北师大实验高二(下)期中数学

nn10n0112100学习是一件很nn10n01121002020师大实验高二（下）期中数

学一、选择题8道小题，每题，共32分．（分若式﹣）＝+axn1…+ax+对任意∈成，则a+…+的为）A0

B1C2

D．﹣）．（分复

，则在复平面内z对应点的坐标是（）A，0）

B（0）

C．

D．．（分下函数中，既是偶函数，又在，∞上单调递增的是（）A＝

B＝

C．yD．＝ex．（分对任意的，x∈，＜，下列不等式中一定成立的是（）AC．．（分函AC．．（分已函数

BD．1（x﹣）1的导数为（）BD．在点x＝x处切的倾斜角是，x的为（）A

B

C．

D．．（分已函数（x）满足f（）＝﹣1，（1＝，则函数y＝f）在1处瞬变化率为（）A1B．2．D2．（分从20同学中选派3人分别加数学、物理学科竞赛，要求每科竞赛都有人参加，而且每人只能参加一科竞赛．记不同的选派方式有，则计算式可以是（）1/

111212122学习是一件很有意思的事111212122A

B

C．

D．二、填空题8道小题，每题，共32分．（分已（x）是的奇函数，当＞，（x）＝x﹣x

，则f（﹣）的值为．．（）函数y＝

的定义域是．．（）若复数z的轭复数＝i，则z＝．．（）若，正整数＝．．（）在二次项式（x﹣）

的展开式中，常数项的值是．（用具体数字作答）．（）除函数y＝x，x∈[﹣，﹣外，再写出一个定义域和值域均为[2﹣1]的函数：．．（）设有编号为，2，，5的把锁和对应的五把钥．现给这把钥匙也分别贴上编为，23，，五个标签，则有

种不同的姑标签的方法；若想使这5把匙中至少有2把打开贴有相同标签的锁，则有

种不同的贴标签的方法．（用数字作答）．（）如果直线y＝t（＞0与函数

的图象有两个不同的交点，其横坐标分别为，x，以下结论：①t＞；②lnx+＞0；③x+＞；④x﹣的取值范围是（，，中正确的是．（填入所有正确结论的序号）三、解答题4道小题，共36）．（）已知函数．（1求f（x）在x＝的切线方程；（2求不等式'）＜2的集．．（10分已知：直线y＝与物＝（a为常数）交于两点（x，）B（x，）且抛物线在点A，B处切线互相垂直．（1求值；（2求两条切线交点的横坐标（用示）．2/

ninnnnnn1mKninnnnnn1mK．（12分已知椭圆

学习是一件很有意思的事离心率为，（，2）椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形．点C是圆的下顶点，经过椭圆中心O的条直线与椭圆交于A，B两点（不与点合），直线CACB分与轴于点D．（1求椭圆的标准方程；（2判断DGE的小是否为定值，并证明你的结论．．（）已知，无穷数{}，a∈{0，1}（i＝1，，…）．记{a}的和为构数{}所有∈*都定义b＝（n≥2）．（1若{}单调递减数列，直接写出数{}通项公式：（2若a＝0且存在∈N*得b＞0.8，求证：存在K∈*使得＝．3/

nn110n10111211nn110n1011121122020师大实验高二（下）期中数学参考答案一、选择题8道小题，每题，共32分．【分析】直接令＝1即求得结论．【解答】解：∵等式x﹣）

＝axn+ax

1+…+ax+对任意x∈R成立，令x＝1＝a+a+…+a；故选：A．【点评】本题主要考查二项式定理的应用以及赋值法的应用，属于基础题目．．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简即可得z对的点的坐标，则案可求．【解答】解：由＝＝＝i；则在复平面内，对的点的坐标是：0，1．故选：B．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础．．【分析】结合偶函数的定义及函数单调性的定义逐项检验即可判断．【解答】解：y＝x

为偶函数，且在0+）上单调递，符合题意；y＝

为偶函数，且在，∞）上单调递减，不符合题意；y＝cosx为函数且在（0+）上不单调，不符合意；y＝e为奇非偶函数，不符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，属于基础试题．．【分析】根据任意的，x∈，＜x，取特殊值可排除ABD【解答】解：根据任意的，∈，x＜，＝，x＝，可排除，取

，可排除D．故选：．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题．．【分析】直接运用商的导数的求导法则求解．4/

0020322020学习是一件很有意思的事0020322020【解答】解：．故选：D．【点评】本题考查了导数的运算，考查了商的导数的求导法则，，题是基础题．．【分析】根据切线的倾斜角求出斜率，然后令导数等于斜率，即可解出的值．【解答】解：易知，因为在x＝x处切线倾斜角为，故，解得

．故选：A．【点评】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，属于基础题．．【分析】先对函数求得y＝[f'（x）+fx）ex

，再将x＝1代进行计算即可得解．【解答】解：∵y＝f（）e

，∴y＝（x）

+f（x）ex＝['（x）+f（）]•x，当x＝1时＝[f（）f（1]e1（﹣）＝．故选：．【点评】本题考查导数的概念和导数的乘法运算法则，考查学生的运算能力，属于基础题．．【分析】根据题意，分2步行分析：先从20名同学中选出人再将选出的3安排参加两科竞赛，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步行分析：先从20名同学中选出3人，有3

种选法，再将选出的安排参加两科竞赛，需要先将三人分成2组参加科竞，有CA2

＝6种况，则有C3

种不同的选法；故n＝C，故选：B．【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．5/

学习是一件很有意思的事二、填空题8道小题，每题，共32分．【分析】要求f（﹣）的值，先求出f（2）值，根据函数是一个奇函数得到两个函数值之间的互为相反数的关系，即可得到结果．【解答】解：∵（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时f（x）＝x﹣x2∴f（）＝﹣22＝﹣2∴f（﹣2＝f2）＝．故答案为：2．【点评】本题考查函数的奇偶性的应用，解题的过程中，一定要抓住函数的性质，利用函数奇偶的对称性求解，关键是奇偶性的运用．．【分析】可看出，要使得原函数有意义，需满足，出范围即可．【解答】解：要使原函数有意义，则，解得＜或＞，∴原函数的定义域为（﹣∞，0）∪，）．故答案为：（﹣，）∪，∞．【点评】本题考查了函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域，分式不等式的解法，考查了算能力，属于基础题．．【分析】设＝a+bi（a∈R），代入＝z+1+i，整理后利用复数等的条件列式求得，b的，则答案可求．【解答】解：设z＝a+bi（，b∈R，由＝2+1+i，得﹣＝2bi）i＝（2a+1）（2b+1i，∴，＝﹣1，＝﹣．∴＝．故答案为：﹣1．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数相等的条件，是基题．．【分析】由题意利用排列数、组合数公式，求出n的．【解答】解：若，

＝n﹣）（n2，求得＝5，6/

555学习是一件很有意思的事555故答案为：5．【点评】本题主要考查排列数、组合数公式的应用，属于基础题．．【分析】写出二项展开式的通项，由x的数为0求得r值则常数项可求．【解答】解：由令6﹣r＝0，得r＝3，

＝，∴二项项式（x﹣）

的展开式中的常数项的值为

．故答案为：﹣160【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．．【分析】写出一个定义域和值域均为[﹣2，﹣1]的函数即可【解答】解：定义域和值域均为[2﹣1]的函数为：y＝﹣﹣x，x∈﹣2﹣1]故答案为：y＝﹣3﹣x，x∈﹣2，﹣．【点评】本题考查了函数的定义域和值域的定义，考查了计算能力，属于基础题．．【分析】对于第一空：由排列数公式计算可得答案，对于第二空：分3种况讨论：①都可以打开贴有相同标签的锁，即标签全部贴对，钥匙中有把可以打开贴有相同标签的锁，即有个签贴对，③钥匙中有把以开贴有相同标签的锁，即有个标签贴对，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，现给这把匙也贴上编号为1，，3，5的个标签，则有A标签的方法：若这钥匙中至少有能打开贴有相同标签的锁，分3种况讨论：①5把可以打开贴有相同标签的锁，即5个签全部贴对，有贴标签的方法；

＝120种同的贴②5把匙中有3把以打开贴有相同签的锁，即有标签贴对，有C

＝种标签的方法；③5把匙中有2把以打开贴有相同签的锁，即有标签贴对，有C＝20种贴标签方法；则一共有＝种标签的方法；故答案为：120．【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．．【分析】根据对勾函数的图象与性质，即可判断各命题的真假．【解答】解：作出函数y＝x的图象，如图所示：7/

121212121211112学习是一件很121212121211112当x＞0时+≥2，为直线y＝t＞0与函数所以t＞2①正确；

的图象有两个不同的交点，不妨设x＜，∴lnx+＝，②错误；

，化简可得x＝1，x+＞x﹣x＝x﹣∵0x＜，

＝2，③正确；，∴x﹣

＜0即x﹣x的值范围是（，）④正确．故答案为：①③④．【点评】本题主要考查函数的性质应用，基本不等式的应用，两函数图象的交点横坐标与方程的之间的关系应用，属于中档题．三、解答题4道小题，共36）．【分析】1）求出f（x）的导数，然后求出斜，最后利用点斜式求出切线方程；（2直接求导数，然后解一个一元二次不等式即可．8/

1221122学习是一件很有意思的事1221122【解答】解：（1）（义域0+））．f'）2，（1＝，所以切线方程为y﹣12（x﹣1），即＝2﹣．（2不等式为，所以x

﹣3＞0（＞0）．解此不等式得x＞1或，x＞0．所以f（x）＜2解集为．【点评】本题考查利用导数求切线的基本思路，一元二次不等式的解法，同时考查学生的运算能．属于中档题．．【分析】1）先联立直线、抛物线方程，消去得关于x的元二次方程利用韦达定理结合A、两点处的导数积为﹣1，即可求出的值；（2先表示出、两点处的切线方程，然后解出交点的横坐即可．【解答】解：（1）由，去得ax2

﹣kx﹣1＝0显然a．又直线与抛物线交于两点A（，），（x，）所以．对y＝求导得y＝，所以两条切线的斜率分别为＝2，＝ax．因为两条切线互相垂直，所以，所以．（2由题意知切点分别为：，，所以两条切线的方程分别为

……①；和

……②．联立①②解方程组得：交点的横坐标为：．【点评】本题考查导数的几何意义，切线方程的求法，以及利用方程思想解决问题的能力．属于档题．．【分析】1）利用已知条件求出；合离心率求出c，然后求解b即可得到椭圆方程．9/

0000000Knn120000000Knn12（2

学习是一件很有意思的事是定值．设A（x，）（﹣x，）求出直线的程求出，E坐，利用向量的数量积转化求解即可．【解答】解：（1）椭圆

离心率为，（0，）与椭圆的左、右顶点可构成等腰直角三角形，所以＝2；离心率为，以＝ea＝；．椭圆方程为．（2

是定值．设A（x，）（﹣x，），则直线CA的方程为．将y＝0代入，解得，即．同理，解得．，将

代入上式，得．所以GD⊥GE即证．【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力是难题．．【分析】1）直接利用数列的关系式的变换求出列为单调递减数列，最后归纳出数列的通项公式．（2利用）归纳出的通项公式和存在性问题的应用求出存在∈N*，使得b＝0.8【解答】解：（1）由于：数列{}所有n∈*都定义＝（．

，进一步确定数所以所以a＝1，＝．

，10/

n2n1mKKKK学习是一件很有意思的事n2n1mKKKK，所以na＜+a