山东省青岛市第十九中学2022年高三数学文测试题含解析

山东省青岛市第十九中学2022年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，正三棱锥中，点在棱上，点在棱上，且，若异面直线和所成的角为，则异面直线与所成的角（）A．等于

B．等于

C．等于

D．等于参考答案：A略2.设复数，是的共轭复数，则

(

)

A．B．

C．

D．1参考答案：D3.已知函数，，若函数有两个不同的零点，则实数的取值为(

)A．或

B．或

C．或

D．或参考答案：D略4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知可得：几何体为三棱柱，求出底面面积，周长及高，代入棱柱表面积公式，可得答案．【解答】解：由已知可得：几何体为三棱柱，底面是斜边长为4，斜边上的高为的直角三角形，底面面积为：2，底面周长为：6+2，棱柱的高为4，故棱柱的表面积S=2×2+4×（6+2）=24+12，故选：A．5.设集合，，则

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：，，，故选C.考点：集合的运算6.若，，成等差数列，则的值等于（

）A．1

B．0或

C．

D．参考答案：D故选：D

7.函数y=x+cosx的大致图象是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】函数的图象与图象变化；函数的图象．

【专题】计算题；数形结合．【分析】先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除A、C两个选项，再看此函数与直线y=x的交点情况，即可作出正确的判断．【解答】解：由于f（x）=x+cosx，∴f（﹣x）=﹣x+cosx，∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），故此函数是非奇非偶函数，排除A、C；又当x=时，x+cosx=x，即f（x）的图象与直线y=x的交点中有一个点的横坐标为，排除D．故选：B．【点评】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，属于中档题．8.已知复数则A. B.z的实部为1 C.z的虚部为 D.z的共轭复数为1+i参考答案：C9.在四面体S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为（）A．11π B．7π C． D．参考答案：D考点：球的体积和表面积；球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：求出BC，利用正弦定理可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．解答：解：∵AC=2，AB=1，∠BAC=120°，∴BC==，∴三角形ABC的外接圆半径为r，2r=，r=，∵SA⊥平面ABC，SA=2，由于三角形OSA为等腰三角形，则有该三棱锥的外接球的半径R═=，∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=．故选：D．点评：本题考查三棱锥的外接球表面积，考查直线和平面的位置关系，确定三棱锥的外接球的半径是关键．10.等差数列的前n项和为，若,则(

)A.

-2

B.0

C.2

D.4参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知是曲线的两条互相平行的切线，则与的距离的最大值为_____.参考答案：略12.若在R上可导，，则____________．参考答案：略13.设（5x﹣）n的展开式的各项系数和为M，二项式系数和为N，若M﹣N=240，则展开式中x的系数为

．参考答案：150【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题．【分析】根据M﹣N=240，解得2n的值，可得n=4．再求出（5x﹣）n的展开式的通项公式，令x的幂指数等于1，求得r的值，即可求得展开式中x的系数．【解答】解：由于（5x﹣）n的展开式的各项系数和M与变量x无关，故令x=1，即可得到展开式的各项系数和M=（5﹣1）n=4n．再由二项式系数和为N=2n，且M﹣N=240，可得4n﹣2n=240，即22n﹣2n﹣240=0．解得2n=16，或2n=﹣15（舍去），∴n=4．（5x﹣）n的展开式的通项公式为Tr+1=?（5x）4﹣r?（﹣1）r?=（﹣1）r??54﹣r?．令4﹣=1，解得r=2，∴展开式中x的系数为（﹣1）r??54﹣r=1×6×25=150，故答案为150?【点评】本题主要考查二项式的各项系数和与二项式系数和的关系，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．14.若向量，则与夹角的余弦值等于_____参考答案：【分析】利用坐标运算求得；根据平面向量夹角公式可求得结果.【详解】

本题正确结果：【点睛】本题考查向量夹角的求解，明确向量夹角的余弦值等于向量的数量积除以两向量模长的乘积.15.对于区间，我们定义其长度为，若已知函数的定义域为,值域为,则区间长度的最大值为

▲

.参考答案：16.一组数据，，，，的平均数是，则这组数据的方差是_________．参考答案：由题意知，解得。所以这组数据的方差为。17.已知AD是的中线，若，,则的最小值是____________．参考答案：1略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，其中一个顶点是双曲线的焦点，（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点的直线与椭圆C相交于不同的两点A，B，过点A，B分别作椭圆的两条切线，求其交点的轨迹方程．参考答案：（1），（2）．（1）由题意可知双曲线的焦点，，所以椭圆的C：中a＝5，········································1分根据，解得c＝，所以，·································3分所以椭圆的标准方程为．·································4分（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，另设，，设在处切线的方程为，与椭圆C：联立：，消去可得：，由，得，化简可得：，由，可得，，所以上式可化为：，∴，，所以椭圆在点A处的切线方程为：①，··························7分同理可得椭圆在点B的切线方程为：②，·······················8分联立方程①②，消去x得：，解得，··········9分而A，B都在直线上，所以有，所以，所以，即此时的交点的轨迹方程为；·····11分当直线的斜率不存在时，直线的方程为x＝0，则，则椭圆在点A处的切线方程为：①，椭圆在点B的切线方程为：，此时无交点．综上所述，交点的轨迹方程为．······································12分19.（本小题满分13分）

设，函数，函数，.（Ⅰ）判断函数在区间上是否为单调函数，并说明理由；（Ⅱ）若当时，对任意的，都有成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）当时，若存在直线（），使得曲线与曲线分别位于直线的两侧，写出的所有可能取值.(只需写出结论)参考答案：（Ⅰ）不是单调函数（Ⅱ）（Ⅲ）试题分析：（Ⅰ）根据导数研究函数单调性，先求导数：，再求导函数零点，列表分析得函数在区间上为单调递增，区间上为单调递减.即函数在区间上不是单调函数.

（Ⅱ）先转化条件为：当时，，因此求实数的取值范围，就是分别求，这可利用导数求函数最值（Ⅲ）由题意得：直线为曲线与曲线分割线，由（Ⅱ）得，因此的所有可能取值为试题解析：（Ⅰ）解：结论：函数在区间上不是单调函数.

…1分

求导，得，

…2分

令，解得.

当变化时，与的变化如下表所示：0↗

↘

所以函数在区间上为单调递增，区间上为单调递减.

所以函数在区间上不是单调函数.

…4分（Ⅱ）解：当时，函数，，.由题意，若对任意的，都有恒成立，

只需当时，.

…5分

因为.

令，解得.

当变化时，与的变化如下表所示：0↗

↘

所以.

…7分

又因为.

令，解得.

当变化时，与的变化如下表所示：0↘

↗

所以.

…9分

综上所述，得.

…10分（Ⅲ）解：满足条件的的取值集合为.

…13分考点：利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数最值20.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA=AB=BC=4，∠ABC=90°，PC=4，D为线段AC的中点，E是线段PC上一动点．

（1）当DE⊥AC时，求证：PA∥面DEB；（2）当△BDE的面积最小时，求三棱锥E-BCD的体积．

参考答案：(Ⅰ)在直角中，，，∴，又∵在中，，，，∴，∴…3分，又，∴，又面，面，∴面…6分(Ⅱ)∵，，，∴面，又面，∴，又∵，，∴，又，∴面，又面，∴，…9分，又，∴当最小时，的面积最小，又当时，最小，故此时，∴，∴，又面，∴

……12分．21.（本小题满分12分）如图，已知三棱锥的三条侧棱、、两两垂直，且，．（Ⅰ）求点到平面的距离；（Ⅱ）设、、依次为线段、、内的点．证明：是锐角三角形．参考答案：解：（Ⅰ）依题意得，则中，边上的高．

设点到平面的距离为，则由即．即点到平面的距离为．……6分（Ⅱ）设，则有依题意得则有为锐角，同理可得、均为锐角．故是锐角三角形．……12分解法二：依题意，建立如图所示坐标系．（Ⅰ）则，设平面的法向量为m，则有设点到平面的距离为．

……6分（Ⅱ）设，则有，则，又、、三点不共线为锐角，同理可得、均为锐角．故是锐角三角形．

……12分22.如图所示，在四边形ABCD中，AB⊥DA，CE=，∠ADC=；E为AD边上一点，DE=1，EA=2，∠BEC=（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】（Ⅰ）设∠CED=α．在△CED中，由余弦定理，可解得CD=2，在△CED中，由正弦定理可解得sin∠CED的值．（Ⅱ）由题设知α∈（0，），先求cos，而∠AEB=，即可求cos∠AEB=cos（）的值．【解答