20 投影与视图(课程讲义例题练习)

投影与视图知识讲解【习标1.在观察、操作、想象等活动中强对空间物体的把握和理解能力；2.通过实例了解中心投影与平行影；3.会画直棱柱、圆柱、圆锥和球三种视图；4.能根据三种视图描述简单的几.【点理要一投投现物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投现.影所在的平面为投影.中投手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发出的，这样的光线照射在物体上所形成的投影称为中心投影相应地，我们会得到两个结论：(1)等高的物体垂直地面放置时如图1所，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点源远的物体它的影子.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还.在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位.要诠：光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两.平行投1.平行投影的定义太阳光线可看成平行光线，平行光线所形成的投影称行影相应地，我们会得到两个结论：①等高的物体垂直地面放置时，如图1示，在太阳光下，它们的影子一样.②等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长.

2.物高影长的关系①在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东→东，影长也是由长变短再变长.②在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比.即：.利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度.注：用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻影要诠：1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生.利平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光.、正影如图所示，图(中投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影图2)中投线斜着射投影面(中投影线垂直照射投影(即投影线正对着投)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影.图3)样，当平行光线与投影面垂直时，这种投影称投.要诠：正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投.要二中投与行影区与系区别：（1）太阳光线是平行的，故太光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例（2）同一时刻，太阳光下影子方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向联系：（1）中心投影、平行投影都是究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影通的平行光线有太阳光线光等而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影通常状下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光.（2）在平行投影中，同一时刻变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变.在心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变.要诠：在解决有关投影的问题时必须先判断准确是平行投影还是中心投影，然后再根据它们的具体特进一步解决问题.

要三视三视图（1）视图用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体视图（2）三视图在实际生活和工程中，人们常常从正面、左面和上面三个不同方向观察一个物体，分别得到这物体的三个视图通常们把从正面得到的视图叫做主视，从面得到的视图叫做左视，从面得到的视图叫做俯图主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视三视图间关（1）位置关系一般地，把俯视图画在主视图下面，把左视图画在主视图右面，如(1)所.（2）大小关系三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，视图与俯视图的宽相等的原.如(2)示要诠：三视图把物体的长、宽、高三个方面反映到各个视图上，具体地说，主视图反映物体的长和高俯视图反映物体的长和宽视反映物体的高和宽住些特征能为画物体的三视图打下坚实的.画几何的视画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下：(1)确定主视图的位置，画出主视图；(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图长对(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图高平俯视图宽相”几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线要画成虚.要诠：画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所，首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确用虚线表示看不到的轮廓线；其三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，三视图的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视.由三视想几体形由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上和左侧面，然后综合起来考虑整体图.要诠：由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以从如下途径进行分析：(1)根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高；根实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线；(3)记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象帮

助；利由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，反复练习，不断总结方.【型题类一投的图计1．如何才能使如图所示的两棵在同一时刻的影长分别与它们的原长相等，试画图说明．【答案与解析】(1)如图所示．可在同一方向上出与原长相等的影长，此时为平行投影．(2)如所示，可在两树外侧不同方向上画出与原长相等的影子，连结影子的顶点与树的顶点．交于点．此时为中心投影，点即光源位置．【总结升华连结物体顶点与其影长的顶点如果得到的是平行线即平行投影如得到相交直线，则为中心投影，这是判断平行投影与中心投影的方法，也是确定中心投影光源位置的基本做法但若中心投影光源在两树同侧时，图中的两棵树的影长不可能同时与原长相等，所以点光源可以选在树之间．特别提醒：易错认为只有平行投影才能使两棵树在同一时刻的影长分别与它们的原长相等从而漏掉上图这一情形．举反：【变】一盏路灯相对，有一玻璃幕墙，幕墙前面的地面上有一盆花一棵树AB．晚上，幕墙反射路灯，灯光形成那盆花的影子DF树影BE是路灯灯光直接形成的，如图所示，你能确定此时灯光源的位置吗【答案作法如下：①连结FC并延长交玻璃幕墙于点；②过点作线OG垂直玻璃幕墙面；

③在另一作POG＝∠FOG交EA延长于点．P点即此时路灯光源位置，如图示．2.（·盐城校级模拟）如图，小与同学合作利用太阳光线测量旗杆的高度，身高的小明落在地面上的影长为BC=2.4m（1）请你在图中画出旗杆在同一时刻光照射下落在地面上的影子EG；（2）若小明测得此刻旗杆落在地面的长EG=16m，请求出旗杆DE的度．【思路点拨】（1）连结AC过D点作DGAC交于G点则GE为求；（2）先证明eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)ABC△，后利用相似比计算DE的长．【答案与解析】解）子EG如所示；（2DGAC，G=，eq\o\ac(△,)ABC△RtDGE，

=

，即

=

，解得

，旗的高度为

．【总结升华】本题考查了平行投，也考查了相似三角形的判定与性质．举反：

【变】图，小亮利用所学的数学知识测量某旗杆AB的高．（1请你根据小亮在阳光下的影，画出旗杆AB在光下的投影．（2已知小亮的身高为1.72m在同一时刻测得小亮和旗杆AB的影长分别为0.86m和6m，求杆AB的高．【答案解）如图所示：（2如图，因为，AB都直地面，且光线DF∥AC，所以eq\o\ac(△,Rt)DEF∽Rteq\o\ac(△,，)ABC所以

DE

，即

1.720.866

，所以AB=12（m答：旗杆AB的高12m．类二三图3．如图，分别从正面、左面、面观察该立体图形，能得到什么平面图形．【答案与解析】从正面看该几何是三角形，从左面看该几何体是长方形，从上面看该几何体是一长方形中带一条竖线．如图：

【总结升华】本题考查了几何体三视图的判断．举反：【变】图，画出这些立体图形的三视图．【答案）如图：（2）如图：（3）如图：

（4）如图：4州校级月考图是由个小立方体所搭几何体的俯视图小正方形中的数字表示该位小立方体的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图．【思路点拨】由已知条件可知，视图有，每列小正方数形数目分别为，2，左视图有3列，每列小正方形数目分别为，3．据此可画出图形．【答案与解析】解：如图所示：【总结升华本考查几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视的列数与俯视图的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．类三三图有计5．某工厂要对一机器零件表面行喷漆，设计者给出了该零件的三视(如图所示，你根据视图确定其喷漆的面积．

【思路点拨】首先要根据立体图的三视图，想象出物体的实际形状，然后再计算表面.【答案与解析】解：长方体的表面积(30×40+40×25+25×30)×2＝5900(cm，圆柱体的侧面积为3.14×20×32＝2010(cm)其喷漆的面积为5900+2010＝7910(cm)．【总结升华由机械零件的三视图，可想象它是一个组合体，是由一个长方体和一个圆柱体组．其表面积是一个长方体的六个面与圆柱体的侧面构成．圆柱的上表面补在长方体的上表面被圆柱体遮挡的部)该组合体是由一长方与一圆柱体组合而成，但不能认为组合体的表面积就是两几何体的表面积之和．举反：【变】某体的三视图如图：（1）此物体是什么体；（2）求此物体的全面积．【答案】解）根据三视图的知识，主图以及左视图都为矩形，俯视图是一个圆，故可判断出该几何体为圆柱．（2根据圆柱的全面积公式可20π×40+2×π×10=1000．

投影与视—巩固练习【固习一选题1.如所示，身高为1.6米某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC＝2.0米BC＝8.0米，则旗杆的高度是)A．6.4米B米C．8.0米．9.02淄模拟）下列图形中，示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（）A

B

C．

D．3．有一正方体，六个面上分别有数字、2、4、5、6有三个人从不同的角度观察的结果如图所示．如果记6的面的数字为a，2对面的数字为，那么a+b的值为)ABC4．如图所示是一个几何体的实图，则其主视图是(5．如图所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C时，测得影子CD的为米，续往前走3米达E处，测得影子EF的为2米已知王华的身高是1.5，那么路灯A的度AB等于)A．4.5米B．6米C．7.2米．8第5题

第6题6．由n个同小正方体堆成的几何体，其视图如图所示，则n的大值是)A．1813C．21

二、填空题7．如图所示上体育课，甲、乙名同学分别站在C、D位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲、乙同学相距1米甲身高1.8，乙身高米，则甲的影长是________米第7题

第8题8．如图所示，小明在时得树的影长为2m，B又测得该树的影长为8m，若两次日照的光互相垂直，则树的高度为________m9．图，四个几何体中，它们自的三个视图（主视图、左视图和俯视图）有两个相同，而另外一个不同的几何体是_____________写序号）10牡江）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，如图所示，则搭该几何体的小正方体最多是个11.下是由两个长方体组合而成的一个立体图形的三视图，根据图中所标尺寸(位：mm)，算出这个立体图形的表面积________mm12．如图是一个由若干个正方体建而成的几何体的主视图与左视图，那么下列图形中可以作为该几何体的俯视图的序号是____________多填或错填得分少填酌情给分

三解题13.明小丽在操场上玩耍，小丽突然高兴地对小明说到的‘脑袋’了图表示此时小明和小丽的位置．（1请画出此时小丽在阳光下影子；（2已小明身高为1.60m小明和小丽之间的距离为而小丽的影子长为1.75m求小丽的高．14石子校级月考画出图中的块立方块搭成几何体的视图、左视图和俯视图．（2）一个由几个相同的小立方体搭成几何体的俯视图如右图所示，方格里的数字表示该位置的小立方体的个数，请你画出这个几何体的主视图和左视图．15．学习投影后，小明、小颖利灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图所示，在同一时间，身高为1.6m的小(AB)影子BC长3m，而小颖EH)刚好在灯灯泡的正下方H点并测得HB＝6m(1)请在图中画出形成影子的光，并确定路灯灯泡所在的位置G；求灯灯泡的垂直高度GH；如小明沿线段BH向颖点H)去，当小明走到中点B处，求其影子BC的；当小1继续走剩下的路程的到B处影子的长明续走剩下路程的到B处3

按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的

1n

到处，其影子n

nn

的长为_______m(直接用含的数式表)．【案解】一选题1.【答案】C；【解析】由题意得，

该学生的身高AC1.6，即旗杆的高度旗杆高8.0

，∴旗的高度为8.0米．2.【答案】A；【解析A影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子故本选项正确；B影子的方向不相同，故本选项错误；C、子的方向不相同，故本选项错误；D、同高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，故本选项错误．故选A3.【答案】B；【解析】可在一小正方体各个面上按图示要求标上数字，也可发挥空间分析与想象力作出判断a，b，．4.【答案】C；【解析】观察一个物体，主视图是从正面看到的图形，本题中物体由上下两个部分组成，上面物体从正面看到的是一个等腰梯形，下面是一个长方体，从正面看到的是一个长方形，再由上面的物体放置的位置特征可知选C5.【答案】B；【解析】如图所示，⊥BC，AB，∴GC∥AB．∴eq\o\ac(△,∽)eq\o\ac(△,，)ABD∴

DBAB

．设BC＝x，

1．同理，得xx

．∴x．∴∴AB＝6．6.【答案】A；

11.53

．【解析】这道题在俯视图上操作，参照主视图从左到右，最左边一列3层，每个方格上最大标3，中间一列有2层每个方格上最大标上2最右边一列有3，每个方格上最大标上3，共计18，即n的大值是18(如图．

二填题7案6；【解析】eq\o\ac(△,∽)AEDeq\o\ac(△,，)∴8案4；

BC，即．∴AD＝5．∴＝CD+AD＝6.ACADAD【解析】首先将实际问题转化为几何模型，如图所示，已知EDF＝90°⊥EF于G，EG＝2，GF＝8，求DG．证△DEG∽eq\o\ac(△,，)∴

DGEGDG

．即DG＝2×8＝16∴DG＝4(m)．9案③④【解析】正方体的主视图、