山东省青岛市平度灰埠镇灰埠中学高三数学理模拟试题含解析

山东省青岛市平度灰埠镇灰埠中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，若恒成立，则的取值范围是（

）（A）

（B）

(C)

(D)参考答案：C略2.设定义在R上的偶函数满足，是的导函数，当时，；当且时，．则方程根的个数为A．12

B．16

C．18

D．20参考答案：C略3.不等式组的区域面积是(

)A．

B．

C．

D．

参考答案：D略4.已知，，则（

）A．2

B．

C．

D．1参考答案：D5.若的展开式中含有常数项，则的最小值等于

A.

B.

C.

D.参考答案：C

【知识点】二项式系数的性质．J3

解析：由题意，（x6）n的展开式的项为Tr+1=Cnr（x6）n﹣r（）r=Cnr=Cnr，令6n﹣r=0，得n=r，当r=4时，n取到最小值5故选：C．【思路点拨】二项式的通项公式Tr+1=Cnr（x6）n﹣r（）r，对其进行整理，令x的指数为0，建立方程求出n的最小值．6.已知函数f（x）=ax2﹣1的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线8x﹣y+2=0平行，若数列{}的前n项和为Sn，则S2015的值为(

)A． B． C． D．参考答案：C【考点】数列的求和；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】数形结合；转化思想；导数的概念及应用；等差数列与等比数列．【分析】函数f（x）=ax2﹣1的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线8x﹣y+2=0平行，可得f′（x）|x=1=（2ax）|x=1=2a=8，解得a．可得f（x）=4x2﹣1，==．利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=ax2﹣1的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线8x﹣y+2=0平行，∴f′（x）|x=1=（2ax）|x=1=2a=8，解得a=4．∴f（x）=4x2﹣1，f（n）=4n2﹣1．∴==．∴数列{}的前n项和为Sn=+…+==．则S2015=．故选：C．【点评】本题考查了利用导数研究切线、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.已知函数是奇函数，当时，则的值等于（

）A．

C．

D．-参考答案：D8.如果命题，命题，那么命题p是命题q的

(A)充分不必要条件

(B)必要不充分条件

(C)充分必要条件

(D)既不充分也不必要条件参考答案：A9.若函数在上既是奇函数又是增函数，则的图象是（

）

A

B

C

D参考答案：C10.设i是虚数单位，复数在复平面内表示的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：A考点： 复数代数形式的乘除运算．

专题： 数系的扩充和复数．分析： 直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后求出复数所对应点的坐标得答案．解答： 解：∵=，∴复数在复平面内表示的点的坐标为（3，1），在第一象限．故选：A．点评： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.不等式的解集是

.参考答案：答案：

12.函数的值域是__________．参考答案：略13.已知cos(－a)＝，则sin2a＝

.参考答案：14.已知，，则的值为

．参考答案：15.已知向量，．若向量满足，，则=．参考答案：略16.如图，l1，l2，l3是同一平面内的三条平行直线，l2，l3在l1的同侧．l1与l2的距离是d，l2与l3的距离是2d，边长为1的正三角形ABC的三个顶点分别在l1，l2，l3上，则d=

．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】过A，C作AE，CF垂直于L2，点E，F是垂足，将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处，延长DA交L2于点G，由此可得结论．【解答】解：如图，过A，C作AE，CF垂直于L2，点E，F是垂足，将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处，延长DA交L2于点G．由作图可知：∠DBG=60°，AD=CF=2d．在Rt△BDG中，∠BGD=30°．在Rt△AEG中，∠EAG=60°，AE=d，AG=2d，DG=4d．∴BD=d在Rt△ABD中，AB=d=1，∴d=．故答案为：．17.已知函数f（x）=1﹣，g（x）=lnx，对于任意m≤，都存在n∈（0，+∞），使得f（m）=g（n），则n﹣m的最小值为．参考答案：1【考点】函数恒成立问题；全称命题．【专题】转化思想；换元法；导数的综合应用；简易逻辑．【分析】由题意可得1﹣=lnn；从而可得n=；令1﹣=t，t＜1；则m=t﹣，从而得到y=n﹣m=et﹣t+；求导求函数的最小值即可．【解答】解：由m≤知，1﹣≤1；由f（m）=g（n）可化为1﹣=lnn；故n=；令1﹣=t，t≤1；则m=t﹣，则y=n﹣m=et﹣t+；故y′=et+t﹣1在（﹣∞，1]上是增函数，且y′=0时，t=0；故y=n﹣m=et﹣t+在t=0时有最小值，故n﹣m的最小值为1；故答案为：1．【点评】本题考查了函数恒成立问题，利用导数法以及换元法转化为求函数的最值是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f（x）=2sinxcosx﹣cos（2x﹣）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当x∈时，求函数f（x）的最大值及取得最大值时的x的值．参考答案：【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）通过二倍角公式已经两角差的余弦函数化简表达式，然后应用两角差的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的系数，利用周期公式求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）根据x∈，利用（Ⅰ）求出2x﹣的范围，利用正弦函数的最大值直接求函数f（x）的最大值及取得最大值时的x的值．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=2sinxcosx﹣cos（2x﹣）=sin2x﹣（cos2xcos）=cos2x=sin（2x﹣），所以f（x）=sin（2x﹣）．函数f（x）的最小正周期为T==π．…（Ⅱ）因为x∈，所以2x﹣．所以，当2x﹣，即x=时，sin（2x﹣）=1，函数f（x）的最大值为1．…（13分）【点评】本题是中档题，考查二倍角公式与两角和与差的三角函数，函数的周期以及函数的最大值的求法，考查计算能力．19.（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：－y＋3＋＝0和圆：＋＋8x＋F＝0．若直线l被圆截得的弦长为．（1）求圆的方程；（2）设圆和x轴相交于A，B两点，点P为圆上不同于A，B的任意一点，直线PA，PB交y轴于M，N两点．当点P变化时，以MN为直径的圆是否经过圆内一定点？请证明你的结论；（3）若△RST的顶点R在直线x＝－1上，点S，T在圆上，且直线RS过圆心，∠SRT＝，求点R的纵坐标的范围.参考答案：（1）圆：＋＝16－F．由题意，可得＋＝16－F，所以F＝12，所以圆的方程为＋＝4．

（4分）（2）设P(，)(≠0)，则＋＝4．又A(－6，0)，B(－2，0)，所以：y＝(x＋6)，M(0，)，：y＝(x＋1)，N(0，)．（6分）圆的方程为＋＝．化简得＋－(＋)y－12＝0，令y＝0，得x＝（9分）又点(，0)在圆内，所以当点P变化时，以MN为直径的圆经过圆内一定点(，0)．

（10分）（3）设R(－1，t)，作⊥RT于H，设＝d，由于∠＝，所以＝2d．由题意d≤2，所以≤4，即≤4，所以≤t≤．

所以点A的纵坐标的范围为[，]．

（16分）20.(本小题满分l2分)

某学校制定学校发展规划时，对现有教师进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数分布)如表：学历35岁以下35～50岁50岁以上本科803020研究生x20y

(I)用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的教师中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有l人的学历为研究生的概率；

(II)在该校教师中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取l人，此人的年龄为50岁以上的概率为，求x、y的值．参考答案：略21.已知椭圆W：（a＞b＞0）的上下顶点分别为A，B，且点B（0，﹣1）．F1，F2分别为椭圆W的左、右焦点，且∠F1BF2=120°．（Ⅰ）求椭圆W的标准方程；（Ⅱ）点M是椭圆上异于A，B的任意一点，过点M作MN⊥y轴于N，E为线段MN的中点．直线AE与直线y=﹣1交于点C，G为线段BC的中点，O为坐标原点．求∠OEG的大小．参考答案：解：（Ⅰ）依题意，得b=1．又∠F1BF2=120°，在Rt△BF1O中，∠F1BO=60°，则a=2．∴椭圆W的标准方程为．（Ⅱ）设M（x0，y0），x0≠0，则N（0，y0），E（，y0）．由点M在椭圆W上，则．即．又A（0，1），则直线AE的方程为．令y=﹣1，得C．又B（0，﹣1），G为线段BC的中点，