12.2.2相似三角形的性质及判定.讲义学生版

''''''相三形性及定2）中考要板相似三角形

A级要求了解相似三角形

考要B级要求掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌握相关的模型

C要求会运用相似三角形相关的知识解决有关问题知识点一、相似的有关概念．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互变换称为相似变换．．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等．．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念．相似三角形的定对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，△ABC与△A

相似，记作△A

，符号∽读“似于．CB

C．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1全等三角形一是相似形，相形不一定“全等形．三、相似三角形的性质．相似三角形的对角相等如图，△ABC与△A

相似，则有

．12.2.2相似三角形的性质及判定（）

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''''''''''''''''''''''''CB

C．相似三角形的对边成比例如图，△ABC与△A

相似，则有

BCAC（为似比BAABCB．相似三角形的对边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．

C如图，△△

相似，是△ABC中BC边的中线，

是△

中

边上的中线，则有

BCAMBA

（为相似比MB

M

'

C图1如图，△与

相似，是△中BC上的高线，

是△

中

边上的高线，则有

BCAHAAA

（k为似比CB

C图2如图3eq\o\ac(△,)ABC与△

相似，是△中的平分线，A

是A

中

的角平分线，则有

BCABAA

（k为相似比12.2.2相似三角形的性质及判定（）

讲义·学生版Page2of16

''''''''''''''''''''''CB

C图3．相似三角形周长比等于相似比．如图，△

相似，则有

BCAC（k为似比用比例的等比质有ABBCBCACAB

．CB

C图4．相似三角形面积比等于相似比的平方．如图，△△是ABC中边上的高线，高线，则有

BCAHAAA

（k为似比而可得eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)

BCAHB

．CB

C图5四、相似三角形的判定．平行于三角形一的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形原三角形相似．．如果一个三角形的两个角与另一三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单成：两角对应相等，两个三角形似．．如果一个三角形的两边和另一个角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形似．．如果一个三角形的三条边与另一三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地成：三边对应成比例，两个三角相似．．如果一个直角三角形的斜边和一直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例那么这两个直角三角形相似．12.2.2相似三角形的性质及判定（）

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．直角三角形被斜上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）．如果一个等腰三角形和另一个等三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形似；如果它们的腰和底对应成比，那么这两个等腰三角形也相似．五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法“三点定形”．横向定型法欲证

ABBE

横观察比例式中的分子的条线段是ABBC三字母恰△ABC的顶点；分母的两条线段是和BF，三个字母F恰△BEF的三个顶点．因此只需证△∽△EBF．．纵向定型法欲证

ABDEBCEF

，纵向观察，比例式左边的比AB和BC中的三个字母AB恰△的点；右边的比两条线段是DE和EF中的三个字母DF恰△的个顶点．因此只需证△∽△．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到公共边有关的相似问题。这类问题的典型模型是射影定理模型模型的特征和结论要熟练掌握和透理解．倒数式的证明，往往需要先进行形，将等式的一边化为，另一边化为几个比值和形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之复合式的证明比较复杂．通常需进行等线代换（对线段进行等量代换比代换，等积代换，复合式转化为基本的比例式或等式，然后进行证明．六、相似证明中常见辅助线的作法在相似的证明中，常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形，同时再结合量代换得到要证明的结论．常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等．如图：AD平D，求证：

AB．DC1DC证法一：过C∥AD，BA的长线于E∴．∵，．．BABA∵ADCE，．DCBEAC点评：做平行线构造成比例线段，利用A型的基本模型．12.2.2相似三角形的性质及判定（）

讲义·学生版Page4of16

12D证法二；过作AC的平行线，交AD的长线于．∴，AB．∵BE，∴

BEAB．DCAC点评：做平行线构造成比例线段，利用X型的基本模型．七、相似证明中的面积法面积法主要是将面积的比，和线段的比进行相互转化来解决问题．常用的面积法基本模型如下：ABCHD如图：

eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)

BC．

图：“山字型

HOD

如图：

eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)

AHAO．DGOD

图2：“田”型

DSABAD如图：eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)．AEAC

C图3“”型12.2.2相似三角形的性质及判定（）

讲义·学生版

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八、相似证明中的基本模型

DE

D

D

F

E

I

FCBC

G

BDHB

E

O

O

F

DCDFDCD

D

EH

DO

CBCD

DCCDCD

DCADA

A

A

AD

D

D

GDEBF

B

G

EEECFBFGC

F

G

H

DF

D

F

G

D

F

M

D

F

NEECBBH例题精一、与角平分线有关的相似问题

C12.2.2相似三角形的性质及判定（）

讲义·学生版Page6of16

【例】如，AD是的角平分线，求证：

ABACDC【例】已ABC中BAC的角平分线交对边BC的长线于，证：

ABBDCDCD【巩固】已知ABC中BAC外角平分线交对边的长于，证：AD

BDABCD12.2.2相似三角形的性质及判定（）

讲义·学生版Page7of16

【例】已：分别为的、外角平分线，M为的点，求证：

BMACCMABDME【巩固】已知：分别为ABC的、外角平分线，求证：

112.BCDE【例】已四边形，、F分为一组对边BC、的点，若求证：AB、DC与EF成角

BEAFABECFDDC

F

D12.2.2相似三角形的性质及判定（）

讲义·学生版Page8of16

二、与公共边有关的相似问题【例】如ABC中ACBCAB

BDAC

CDAD

D【例】如，在矩形中，对角线AC、BD相于G，E为的点，连接BE交AC于，连接FD，90下列四对三角形：①△与△ACD；②△FED与DEB；△CFD与；ADF与其中相似的为（）A

EDFBCA①④

B．②

C．③④

D．②【巩固】如图，矩形ABCD中BEAC于F，是CD中点，下列式子成立的是（）DEF

AABF

AF

B．BF

AF

C．BF

AF

D．

AF

12.2.2相似三角形的性质及判定（）

讲义·学生版Page9of16

【例】如，中AD于D，BEAC于E，DF于F，交于G，FDAC的延长线交于点H，证：DF

FG.AF

G

EB

D

CH【巩固】如图，中D在AC上AD，M是中点，MEAC于点是ME的中点，连接DP。证：BEDPC

C

【例】如，在直角梯形ABCD中∥CD，角线ACBD，垂足为，AD，过的直线EF∥ABADF．⑴，⑵

D

CF

EA12.2.2相似三角形的性质及判定（）

讲义·学生版Page10of16

【巩固】如图，中ACBCDAB于DE为BC的点，AC的长线交于F．求证：

FA．FDF3AD

21

EB【例】如，在中，AD平BAC，的直平分线交于E交BC的长线于，求证：FD

FB．AEBDCF【巩固】如上图，在中FD求证：AD平BAC

FB，AD的直平分线交于交延长线于F，DCF12.2.2相似三角形的性质及判定（）

讲义·学生版Page11of16

【例1】已知，如图，为边三角形，DAE120DAE两边交直线于D两，求证：BC

．ADB

C2

13DC【巩固】已知，如图，为腰三角形，，不添加辅助线的条件下：⑴当与满什么关系时，(_____)⑵证你的结论．

括号里填图中已有线．ADBCE三、与旋转有关的相似问题【例1】如角形ABCD中BCD90CDE梯形内一点90将绕C点旋转与重，到DCF，连EF交CD于．已知BCCF，DM:MC的为（）A5:3

B．3:5

C．4:3D4A

DE

M12.2.2相似三角形的性质及判定（）

FB讲义·学生版Page12of16

【例1】如，四边形ABCD和均正方形，求::CE

ADG

G

B

B

E

E【巩固图等边△ABC中，为上的动点CD为一边上作等边△连，求证：BC．（2如图2将1）中的等边△为以为边的等腰三角形，所作EDC改相似于△ABC请问：是否有AE？明你的结论．

A

ED

D

B

C12.2.2相似三角形的性质及判定（）

讲义·学生版Page13of16

【例1】把块全等的直角三角板和DEF放在一起，是三角板的角顶点与角板ABC的斜边中点O重，其中DEF45，三角板固定不动三板DEF绕O转射线DE与线AB交于点线DF与段相交于点Q（1）如图1，射线DF过点，点与点重时，易证△APD∽CDQ此时，．（2）将三角板DEF由1的示的位置绕点O沿时针方向旋转，设旋转角，中0值是否改变？说明你的理由．（3在（）的条件下，设，块三角板重叠的部分面积为，求于的数关系式．A

AE

AP

D)

E

D(O)PBQC

BM

Q

D()CB(Q

C

EF

F

P

F图

图

图3四、与相似有关的动点问题【例1】如，中

3，，P从出，沿方以2/的度移动，5点Q从出CA向也以1s的度移动Q分从C出发过少时间CPQ与CBA相？ABC12.2.2相似三角形的性质及判定（）

讲义·学生版Page14of16

【巩固如，在矩形中ABBC，点沿AB边点A开向点以

秒的速度移动，点沿DA边1/秒速度从点D开始移动，如果同时出发，用（）表示移动的时间(0≤t≤6)．⑴当为何值时，QAP为腰直角角