(压轴题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题

244244一、选题1．给出下列函数：

f

12

；

f

；③

f

.

使得

f

的函数是（）A．②

B．③

C．③

．②③2．设

x3

，

x

，

1

xdx

则a，，的小0

0A．a>b>c

B．Ca>c>b．b>c>a3．若函数

f

1在x

是增函数则

的取值范围()A．

12

B．

．,D4．由

y

2

和

围成的封闭图形的面积是（）A．

．

C

32D335．知

f(xx

x

，则函数f(在f(0))处切线l与标轴围成的三角形的面积为A．

1B．2

．D．6．一物体在力x)＝－x＋力位，移单位m)用力下，沿与力(x相的方向由x＝m直线运动到x＝m处做的功)．A．925JB850JC825J．J7．由曲线xy直线yy

所围成的平面图形的面积为（）A．

2

B．

4ln3

C．

4

．

3298．已知函数

xxx，120,1

f

（）A．

B．

C．

2

．

4

9．函数

(x)

x

(

在[上（）A．有最大值0，最小值

B．最大值0最小值

C．小值

323

，无最大值

．无最大值，也无最小值10．

10

(1x2

)dx）

2323A．

2

2

B．

C．

2

12

．

11．列积分值最大的是（）A．

（

x

B．

22

C．

．

e

1

12．曲线

y4

，y

1x

，x2

围成的封闭图形的面积为A．

172

2ln2

B．

152

2

C．

152

+2ln

．

172

+2ln二、填题13．积分

21

1x

的值等________.14．积分

1

xdx

的值为．15．知

fx,x

(e为自然对数的底)则

e0

f

_________.16．函数

f

的图象与直线

x,x

及轴围成图形的面积称为函数

f

在知数

f

在

上的面积为

f

在

上的面积为．．定积分

sin

________．18．知平面区域

4

，直线

lmx

和曲线:y

有两个不同的交点，直线

l

与曲线

C

围成的平面区域为M，区域内随机投一点A，A在区域M内概率为

(M，若()

,12

，则实数

m的取值范围___________.19．线20．线

y

x

与直线所围成的封闭图形的面积_．和曲线x围一个叶形图（如图所示阴影部分），其面积是________．

00三、解题21．知函数fx)

ln（aR）

F(x)bx

（

）（）论

f(

的单调性；（）

，

(x)f(x)F)

，若

（

x）gx)12

的两个零点，且xx122

，试问曲线

yg()

在点x

处的切线能否与轴行？请说明理由.22．图，函数

f(x

（其中

2

）的图象与坐标轴的三个交点为,R

，且

P(Q(,0)3

，M为

QR

3的中点，且的纵坐标为.4（）

f(x)

的解析式；（）线段与数f()

图象围成的图中阴影部分的面.23．形顶B、在以为直径的圆上，=2米，(1)如1，若电热丝由AB，，这部分组成，在，上米可辐1单位热量，在BC上米可辐射2单位热量，请设计BC的长度，使得电热丝辐射的总热量最大，并求总热量的最大值；(2)如图2，电热丝由弧AB,CD和BC这部分组成，在弧,CD上米可辐射1单位热量，在弦上每米可辐射2单热量，请设计的度，使得电热丝辐射的总热量最大．

aa24．物体沿直线以速度

v(t)2t（的位为秒v的位为米秒）的速度作变速直线运动，求该物体从时刻t=0秒时刻t=5秒运动的路?25．知函数

f()

ax

，其中∈R.(1)当＝时，求f(的值；(2)讨并求出x在其定义域内的单调区间．26．知函数(x

x

．（）函数

f(x)

的图象在f(1))处切线经过点(0,，求的；（）否存在整数，使函数值；若不存在，请说明理由；

f(

的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a的（）

a

，求证：函数

f(x)

既有极大值，又有极小值【参考答案】***试卷处理标记，请不要除一选题1．解析：【分析】利用定义判①②的函数为奇函数，根据奇函数和定积分的性质，判①②；利用反证法，结合定积分的性质，判③.【详解】对，

的定义域为Rf(1)ln(12)2)()即函数

为奇函数，则

使得

f的定义域为R对，f)cosx(x)

，即函数

为奇函数，则

使得

f对，

，使得

f

成立则

2

，解得a，0矛，则不足故选：【点睛】

10331033本题主要考查了定积分的性质以运用，属于中档.2．A解析：【解析】借助定积分的计算公式可算得

a

33x22

，1b

2x213

，

c410

，所以，应选答案A。3．D解析：【解析】由题意得

f

1x

在

上恒成立，即x

，因为

1yx2

在

上单调递减，所以y

x

x

134a4

，选D.点睛：已知函数单调性求参数值或取值范围的一般方法：）利用导数结合参数讨论函数单调区间取法，根据单调区间与定义区间包含关系，确定参数值或取值范围；）利用导数转化为导函数非正或非负恒成立问题，结合变量分离转化为不含参数的函数，利用导数求新函数最值得参数值或取值范.4．C解析：【解析】试题分析：画出函数图象如下图所示，所以围成的面积为

1

2

x2

1

323

.

111考点：定积.5．A解析：【解析】试题分析：由

f(xx

x

知

f(x

x

，则

f

x

，而f(0)

，即切点坐标为

，切线斜率

，则切线l:y

x

，切线l与标轴的交点分别为,0和

，则切线

l

与坐标轴围成的三角形的面积

12考点：函数在某点处的切线6．C解析：【解析】＝x)dx＝

(322x＋＝x－＋x)

＝000－＋－－＋＝825(J)．7．C解析：【详解】由，解得，解得yx

13

，

yyx

解得，围成的平面图形x的面积为

，则

113xx12x

，

Sln

，故选C.8．D解析：【解析】

f

sin，xdx|0

的几何意义是以原点为圆心，半径为

的圆的面积的

，故

1

4

f4

，故选9．B

解析：【分析】根据定积分的运算，可得

f)

13

x

x

，再利用导数求得

f(

的单调性和极值，检验端点值，即可得答案【详解】由题意，函数

f()

x

t(tdt

x

13

x

，则f)xx4)

，当

x[时f

0

，

f(x)

单调递增；当

x4)时f

，

f(

单调递减；当(4,5]时f

，

f(

单调递增；又由

f

32，f(0)0，(4)，f(5)3

，所以函数

f(

的最大值为0，小值为

.故选：【点睛】本题考查定积分的运算，利用导数求函数的最值问题，考查分析理解，求值化简的能力，属中档题10．解析：【分析】函数

x2

的图象是以

(1,0)

为圆心，以1为径的上半圆，作出直线

，则图中阴影部分的面积为题目所要求的定积.【详解】由题意，

x

x2dx()dx

，如图：

(1,0)()dxx)1x(1,0)()dxx)1xdx1dx()x()dx（2xsinx

x2

的大小相当于是以为圆心以为半径的圆的面积的

14

，故其值为所以，

4

1，，2210

4

12所以本题选D.【点睛】本题考查求定积分，求解本题关键是根据定积分的运算性质将其值分为两部分来求，其中一部分要借用其几何意义求值，在求定积分时要注意灵活选用方法，求定积分的方法主要有两种，一种是几何法，借助相关的几何图形，一种是定义法，求出其原函数，本题两种方法都涉及到了，由定积分的形式分析，求解它的值得分为两部分来求，和.

11．解析：【分析】对各个选项计算出被积函数的原函数，再将上下限代入即可得到结果，进行比较即可得到结果.【详解】A：

2

xxdx

，函数x

sin奇函数，故

x

sin

，

dx|

2

，B:

(x

2

，C:

表示以原点为圆心，以2为径的圆的面积的，

211115211115

4

14

，D:

1x

dxlnx

ln

，通过比较可知选项的分值最，故选【点睛】计算定积分的步骤：先被积函数变形为基本初等函数的和、差等形式②根据定积分的基本性质，变形③别利用求导公式的逆运算，找到相应的的原函数④利用积分基本定理分别求出各个定积分的值，然后求代数差．12．解析：【解析】【分析】联立方程组，确定被积区间和被积函数，得出曲边形的面积x)，可求x2解，得到答案．【详解】由题意，联立方程组1，得x

12

，所以曲线

y4x

，

，x2围的闭图形的面积为S(4x)dx(2xlnx|(22))]2x222

，故选．【点睛】本题主要考查了利用定积分求解曲边形的面积，其中解答中根据题意求解交点的坐标，确定被积分区间和被积函数，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．二、填题13．【分析】直接根据定积分的计算法则计算即可【详解】故答案为：【点睛】本题考查了定积分的计算关键是求出原函数属于基础题解析：【分析】直接根据定积分的计算法则计算即可．【详解】

1313

1x

lnx|

，故答案为：．【点睛】本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题．14．【解析】根据定积分的定义知故填解析：

23【解析】根据定积分的定义知，

1

112133

，故填.15．【解析】因为所以解析：

43【解析】因为

fx,x

，所以

fx0

1131x|e316．【解析】解：令则问题等价于求解在区间上的面积由题中所给的结论可知：函数的周期为结合正弦函数的性质可知：将函数的图象向上平移两个单位得到函数的图象增加的面积为：综上可得：函数在上的面积为解析【解析】

解：令t

3

，则问题等价于求解

g在区

上的面积，由题中所给的结论可知：

sin3

13

，函数gt的期为

2

，结合正弦函数的性质可知：

sin3tdt

23

，将函数

yt

的图象向上平移两个单位得到函数的图象，增加的面积为：

，综上可得：函数

f

在

上的面积为

23

.

17．【解析】试题分析：因为所以考点：定积分的计算【方法点睛】本题主要考察利用换元法求定积分计算定积分首先要熟悉常见函数的导函数因题中恰好为的导函数所以可以考虑用换元法来求定积分；本题也可利用三角恒等变换解析：【解析】试题分析：因为2ttdt0

，所以

.考点：定积分的计算【方法点睛】本题主要考察利用换元法求定积分，计算定积分，首先要熟悉常见函数的导函数，因题中

恰好为

的导函数，所以可以考虑用换元法来求定积分；本题也可利用三角恒等变换来求，因为

，所以有

sint

2tdt240

14

udu11u402

.18．【分析】试题分析：平面区Ω=的面积为当时结合图形可知直线斜率当时由可知令一交点为由定积分可知面积所以考点：数形结合法定积分几何概型概率等点评：本题涉及到的知识点较多题目有一定的难度在求解过程中多次解析：【分析】试题分析：平面区域Ω=y)|{积为，4

([2SM

，当

S

时，结合图形可知直线斜率当

时由

ymx

，

可知令一交点为

m2mm

，由定积分可知面积

，所以

m

考点：数形结合法，定积分，几何概型概率等点评：本题涉及到的知识点较多，题目有一定的难度，在求解过程中多次用到了数形结合法，这种方法在求解函数题，几何题时应用广泛，需加以重视【详解】请在此输入详解！19．【解析】【分析】确定被积函数与被积区间利用用定积分表示面积即可求得结论【详解】曲线y=sinx与直线x=0x=π4y=0所围成的封闭图形的面积为0π4sinxdx=-cosx|0故答案解析：【解析】【分析】确定被积函数与被积区间利用用定积分表示面即求得结.【详解】曲线

与直线

所围成的封闭图形的面积为，故答案为.【点睛】本题主要考查利用定积分求面积，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础.20．【分析】先求出两个曲线的交点坐标得所求阴影部分应该是曲线从到1的一段投影到x轴的面积减去曲线从0到1的一段投影到x轴的面积最后根据定积分的几何意义用积分计算公式可以算出阴影部分面积【详解】设阴影部1解析：3【分析】先求出两个曲线的交点坐标

C(1,1)，得所阴影部分应该是曲线

x从到1的段投影到x轴面积减曲线

y

x

从0到1的一段投影到轴面积，最后根据积分的几何意义，用积分计算公式可以算出阴影部分面.【详解】设阴影部分面积为S，题意得两个图象的交点为，S

x

313x3

32

3

.故答案:

13

.【点睛】本题着重考查了定积分的几何意义和积分的计算公式等知识点，属于中档.

2x222x222xx,x三、解题21．1）时

f

，

f(x)

在

单调递增，af(x调减是调增区间

；（）yf(x)

在x

处的切线不能平行于轴。【解析】试题分析：1）对函数求导，再依据到函数值与函数单调性之间的关系分类探求单调区间；（）假曲线

y的切线能否与x轴平，然后依据假设建立方程0组，最后再构造函数

tt

导的知识断定假设不成。解：（）f

2x2xxxx(1)当时

f

单调递增，（）时，fa

有

,f

-0+f

↘

极小值

↗aa所以时fx的单调减区间是增区间是(

2

x假设

y的切线能平行于x轴0

x由假设及题意得：x1111

.................2ln2222

................

200b201222633200b201222633xx2

.................g.............x0由-得，21212x即x.................⑤x1由⑤得，x令x2

12ln21x01

1212.则式可化为

t

2tt

，设函数

h

2tt

，则

14tt

,所以函数

2tt

在于是，当

0

时，有

h

tt

与矛.所以

y切线不能平行于x轴0点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，精心设置了两个问题，旨在考查导数知识在研究函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用。求解第一问时，先函数的解析式进行求导，再对参数进行分类讨论研究导函数的值的符号，从而求出函数的单调区间；求解第二问时，先假设存在处的切线平行于轴然后在假设的前提下进行分析推证，从而得0出与已知和假设矛盾的结论，使得问题获解。22．1）

fx

3；（）【解析】分析：1）

P

,0周期

,又ym

3，则y，，而可得结果；2将阴4影部分的面积分成两部分，分别利用定积分的几何意义求的曲边形的面积，求和即.

详解：1），周期又（）图可知设轴上方的阴影部分面积为则

，轴方的阴影部分面积为，则点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质以及定积分的几何意义，属于中档.一情况下，定积分

f

的几何意义是介于轴曲线

y

f

以及直线

x

之间的曲边梯形面积的代数和，其在轴方的面积等于该区间上的积分值，在x轴方的面积等于该区间上积分值的相反所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求23．1）设计BC长为

74

9米，电热丝辐射的总热量最大，最大值为单位．2）应设2计BC长3米电热丝辐射的总热量最大．【解析】试题分析：1）角为自变量设＝，别表示，，根据题意得函数θ+4sin

,利二倍角余弦公式得关于sin二次函数,据二次函数对称轴与定义区间2位置关系求最值2）角为自:设＝，用长公式表示,,得函数2θ＋利导数求函数单调并定最值试题解：设AOB＝，(0，)则＝，＝θ，总热量单位f(θ＝θ+4sin＝8(sin4sin＋，sin＝，此时＝θ＝)，总热量最大(单位．答：应设计长为米，热丝辐射的总热量最大，最大值为单．

(2)总热量单位g(θ＝θ＋θ，(0，)令g'θ)0，2－θ＝，＝，增区间（，），减区间（，）当θ＝，(θ)最，时＝θ＝

米答：应设计长为

米，电热丝辐射的总热量最大．24．

米【解析】当

3时()t当时()t2

.物从时刻t=0秒时刻秒运动的路程

=

929)42

(米25．1）＝－f(x的大点＝＋为(x的小值点；（）见解析【解析】【分析】(1)利导数求函数极值点；）先求出

f

1x(2

2

2－＋，a分类讨论求出函数的单调区.【详解】解：fx)的义域为，＋，4时，x＝x＋

6x

，f

x2xx(x2x

.令fx)0x＝2±3.列表f′(x

(02－3)＋

2－30

(2，＋－

230

(2＋，＋f(x

极大值

极小值所以，＝－为(x的大值点x＝＋3为x)的小值点．(2)

1a1x2(x

，设gx)＝2－＋1，x＞，①＜0时gx)0，x0在x(0＋上恒成立，此时函数f(x)在间，∞)单调递增；

2212111212221222121112122212②当＞时g(x)x.24当1－

2

≥0，0＜≤2时，x＞，′(x)＞在x(0，上成立，时函数(x)在区间，＋上调增；当a＞时，方程g(x＝的根分别为x

aa2,x2

，且＜＜，当(0，)时，g()＞，′()＞，函x在，上调递增；当(x，)时，(x＜，′(x＜，故函数x在，x单调递减；当(x，＋时，x0，′(x＞，故函数fxx，＋上调递增．综上所述，当a时，函数x的调增区间为

(