(北师大版)深圳市八年级数学上册第一单元《勾股定理》测试题(有答案解析)

一、选题1．三个正方形的面积如图所示，则S的为（）A．B．C．D．2．一根竹竿插到水池中离岸边1.5m远水，竹竿高出水面0.5，若把竹竿的顶端拉向岸边，则竿顶刚好接触到岸边，并且和水面一样高，问水池的深度为（）A．m

B．cm

C．

．m3．如图所示，数轴上的点A所示的数为，a的值是（）A．5

B．5

C．

．4．学习勾股定理后，老师布置的课后业“用绳子（绳子足够长）和卷尺，测量学校教学楼的高”，某数学兴趣小组的做法如下①将绳子上端固定在教学楼顶部，子自由下垂，再垂直向外拉到离教学楼底部3m远，在绳子与地面的交点处将绳子打结②将绳子继续往外拉，使打结处离教学楼的距离为，此时测得绳结离地面的度为1m，则学校教学楼的高度为（）A．11

B．m

C．m

．5．下列各组数中，不能作为直角三角的三边长的是（）A．，，

B．，5

C．，，13

．5,6．如图，原来从A村村需要沿路ACB

）绕过两地间的一片湖，在，间好桥后，就可直接从A村到B村．已知

AC5km

，

BC12km

，那么，建好桥后从A村到B村比原来减少的路程为（）A．

B．4kmC．D．7．如图，eq\o\ac(△,在)中，＝，AC＝，AD⊥BC于，为AD上任一点，则MC－2等于（）

A．29B．C36D．8．《九章算术》是我国古代的数学名，其“勾股章一题，大意是说：已知矩形门的高比宽多6，门的对角线长10尺那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为尺根据题意可列方程（）A．

(x

B．

(xC．

(x

．6

2

2

29．如图所示的是2002年北京召开的国际数学家大会的会标，这个图案是“弦图演变而来．弦图最是由三国时期数学家爽在注解一部数学著作时给出的，它标志着中国古代的数学成就．这部中国古代数学著作是（）A．《周髀算经》

B．几何原》

C．《九章算术》

．孙子算经》10．图，在

ABC

中，

，

AC

，

BC

．以AB

为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（）A．

B．12

C．

．

11．图是由四个全等的直三角形与一个小正方形拼成的大正方形．若小正方形边长为

，大正方形边长为1，则一个直角三角形的面积等于（）

A．

B．

C．54

．

12．图，在

eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)ABC

中，

，BC，AD为BAC的分线，将

ADC

沿直线翻得ADE则的为（）A．B．C．D．二、填题13．角三角形纸片的两直边长分别为6，．现将

如图那样折叠，使点与点重合，折痕为DE．

CECB

的值是．14．五个边长为2的正方形按如图所示放置，若，，，四恰好在圆上，则这个圆的面积为．（结果保留）15．图，以eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)的边边长分别向外作正方形，若斜边，图中阴影部分的面积

12

________．

16．直角坐标系中，已知A（，）（，1），点M在轴上，则AM+BM的小值为．．如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为_________.18．图，圆柱的底面半径24高为7π蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬点的最短路程是．19．个直角三角形的两边分别为和cm则此三角形的第三边长为cm．_____（判断对错）20．两根木棒，分别长

cm

、

cm

，要再在

7cm

的木棒上取一段，用这三根木棒为边做成直角三角形，则第三根木棒要取的长度三、解题21．图，在平面直角坐标中，点（，）点（，）以点A为圆心，

长为半径画弧，交轴的负半轴于点

，求点

的坐标．

22．图，在一条东西走向流的一侧有一村庄河原有两个取水点

A,B,

其中,由某种原因，由

到A的现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点

、HB

在同一条直线上），并新修一条路

H,

测得

千米，CH千，HB千米．（）CH是为从村庄河边的最近路．请通过计算加以说明；（）新路比路少多少千米．23．九章算术》中有折抵”问：今有竹高一丈，末折抵地，去根七尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈10尺，一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处距竹子底端7尺，问折断处离地面的高度是多少尺？24．图，在中，D是BC上点若，，，．（）DC的长；（）的积．25．图，eq\o\ac(△,在)中，⊥于DAC＝，＝，＝，求AB的．

26．知：在

ABC

中，点在直线

上，点

B,DE

在同一条直线上，且BABD，BAE.（问题初探）（）如图1若BE平分ABC，求证：AEB

．请依据以下的简易思维框图，写出完整的证明过程．（变式再探）（）如图2若BE平分

的外角，

的延长线于点

，问：AEB和

的数量关系发生改变了吗？若改变，请写出正确的结论，并证明；若不改变，请说明理由．（拓展运用）（）如图3在

的条件下．若

CD

，求EC的度．【参考答案】***试卷处理标记，请不要除

一选题1C解析：【分析】由题可知，已知正方形的面积，利用面积公式，即可求解边长；三个正方形的边长恰好构成直角三角形，由勾股定理可求解．【详解】由题可知三个正方形，利用正方形面积公式可得：面积为16的方形的边长为4面积为25的正方形的边长为5；如图：又三个正方形边长恰好构成直角三角形，第个正方形的长为：

5

2

2

；第个正方形面为9；故选．【点睛】本题主要考查正方形及直角三角形的性质；重点在于面积和边长之间的转换和对图形的分析．2．A解析：【分析】设水池的深度BC＝，＝（x），据勾股定理列出程，进而即可求解．【详解】解：在直eq\o\ac(△,角)中，＝1.5m﹣＝m．设水池的深度BC＝，＝（x）．根据勾股定理得出：AC+BC＝

，+＝（x+0.52，解得：＝．故选：．【点睛】本题主要考查勾股定理的实际应用，根据勾股定理，列出方程，是解题的关键．

22223．C解析：【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可得出选项．【详解】解：＝＝12

2

5

，数上点A所表示的数为，＝5故选：．【点睛】本题考查了数轴和实数，勾股定理的应用，能读懂图象是解此题的关键．4．C解析：【分析】根据题意画出示意图，设学校教学楼的高度为，得ACADx，利用勾股定理可求出x．m

，

，【详解】解：如图，设学校教学楼的高度为x，

AD，

x

m

，BC

，左图，根据勾股定理得，绳长的平方x

2

，右图，根据勾股定理得，绳长的平方

2

，

x

2

2

x

2

，解得：

x

．故选：．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般

22方法就是作垂线．5．D解析：【分析】根据勾股定理的逆定理分别进行判断，即可得出结论．【详解】解：、1

3)

2

4

2

，，，3能为直角三角形的三边长．故此选项不符合题意；B、

2

2，，5能作为直角三角形的三边长．故此选项不合题意；C、2，，，能为直角三角形的三边长．故此选项不符合题意；、(5)

(32，

，

5,7,32不能作为直三角形的三边长．故此选项符合题意．故选：．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，掌握勾股定理逆定理用法是解题的关键．6．B解析：【分析】直接利用勾股定理得出的，进而得出案．【详解】解：由题意可得：

AC

BC

5

12

13km则打通隧道后从A村B村原来减少的路程为：51213

（）故选：．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出长是解题关键．7．D解析：【分析】在eq\o\ac(△,)及eq\o\ac(△,)ADC中分表示出BD2及CD，在eq\o\ac(△,)BDM及eq\o\ac(△,)中分别将BD2及CD

的表示形式代入表示出2

和MC，然后作差即可得出结果．【详解】解：在eq\o\ac(△,)和eq\o\ac(△,)中，

＝

2CD2＝

，在eq\o\ac(△,)BDM和eq\o\ac(△,)CDM中，BM＝2MD＝

2−AD＋MD，MC＝2＋2＝2−AD＋MD2，

2∴＝AC−AD＋MD）（＝2

−AD

＋2）＝．故选：．【点睛】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出MC

和MB2

是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握．8．A解析：【分析】设门的宽为尺则高为），根据勾股定理解答．【详解】设门的宽为尺则高为），根据题意可列方程

(22

，故选：．【点睛】此题考查勾股定理计算，正确理解题意掌握勾股定理计算公式是解题的关键．9．A解析：【分析】根据在《周髀算经》中赵爽提“赵弦即解答．【详解】解：根据在《周髀算经》中赵爽提“赵弦”故选：．【点睛】本题考查勾股定理，知道赵弦图是爽在《周髀算经》提到过是解答的关键．10．解析：【分析】根据勾股定理解得AB【详解】

的值，再结合正方形的面积公式解题即可．在

ABC

中，

，

AC

，

BC

，

2

AC

2

BC

2

2

2

20

以AB

为一条边向三角形外部作的正方形的面积为AB

，故选：．【点睛】本题考查勾股定理的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

11．解析：【分析】根据图形的特征先算出4个角形的面积之和，再除以4，可求解．【详解】由题意得：15×15-3×3=216，216÷4=54故选．【点睛】本题主要考“赵爽弦图的相关计算，理清图形中的面积关系，是解题的关键．12．解析：【分析】由勾股定理求出AC＝，出BE＝，DE＝，则＝，出8）＋2x，解方程求出x即得解．【详解】AB＝，＝，＝，

＋22，eq\o\ac(△,)ADC沿线翻折eq\o\ac(△,)ADE，＝AE，DC＝DEBE＝−AB＝−6，在eq\o\ac(△,)BDE中设＝，则BD＝−x，BD

＋2＝，（）

＋

＝2解得：＝，DE＝．故选．【点睛】本题考主要查了勾股定理，直角三角形的性质，折叠的性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．二、填题13．【分析】先设CE=x再根据图形翻折变换的性质得出AE=BE=8-x再根据勾股定理求出x的值进而可得出的值【详解】解：设则AE=8-x∵△BDE是ADE翻折而成∴AE=BE=8-x在RtB解析：

【分析】

先设=，再根据图形翻折变换的性质得出AE=BEx，再根据勾股定理求出的值，进而可得出

的值．【详解】解：设CE=x，则AE=8-x，BDE是翻折而成，AE==8-，在eq\o\ac(△,)BCE中，BE

=BC2+CE，8-x）=6

2x，解得=

，

7CE==，CB6故答案为：

．【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质及勾股定理，熟“折是一种对称变换，它于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相”的知识是解答此题的关键．14．【分析】根据题意得到圆心的位置设MO=x根据AO2=DO2得到方程求出x得到圆O的半径从而求出面积【详解】解：由题意可得：多个小正方形排成轴对称图形∴圆心O落在对称轴MN上设MO=xAO=DO解析：

【分析】根据题意得到圆心的置，设，据，得到方程，求出x，得到圆的半径，从而求出面积．【详解】解：由题意可得：多个小正方形排成轴对称图形，圆落对称轴MN上，设MO=x，AO=DOAO22，即

，，解得：圆的半径为

=

，

111130圆的面积为=9

，故答案为：

．【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称的性质，圆的性质，解题的关键是根据半径相等得到方程．15．50【析】根据勾股定理可得AC2+BC2=AB2然后判断出阴影部分的面积=2S1再利用正方形的面积等于边长的平方计算即可得解【详解】△ABC是直角三角形∴AC2+BC2=AB2图中阴影部分的面解析：【分析】根据勾股定理可得AC2+BC=AB于边长的平方计算即可得解．【详解】ABC是角三角形，+BC=AB2

2然后判断出阴影部分的面=2S，利用正方形的面积等图阴影部分的积S=212

=50，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理及正方形面积公式的运用．关键是明确直角三角形的边长的平方即为相应的正方形的面积．16．【分析】作点关于x轴对称的点B连接AB则AB′与x轴的交点M即为所求此时BM=BMAM+BM的最小值等于AB的长依据两点间距离公式即可得到AM+BM的最小值【详解】解：如图所示作点关于x轴对称解析2【分析】作点关于轴称的点，连接，则AB与轴的交点M即所求．此时AM+BM的最小值等于的长，据两点间距离公式即可得到AM+BM的小值．【详解】解：如图所示，作点关轴对称的点，（，﹣）

连接AB，则AB与x轴交点M即为所求．此时BM＝，AM+BM的小值等于AB'长，A（1，5），B'（，﹣），＝

4010，即AM+BM的小值为2，故答案为：．【点睛】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．17．【分析】如图由于倒下部分与地面成30°夹角所以∠BAC=30°由此得到AB=2CB而离地面米处折断倒下即米所以得到AB=8米然后即可求出这棵大树在折断前的高度【详解】如图∵∠BAC=30°解析：分析】如图，由于倒下部分与地面成30°夹，所以BAC=30°，由此得到，离面米处折断倒下，即BC=4米所以得到米然后即可求出这棵大树在折断前的高度．【详解】如图，BAC=30°,BCA=90°，，而BC=4米米这大树在折断的高度为AB+BC=12米故答案为12.【点睛】

本题考查了含度角的直角三角形的边长的性质，牢牢掌握该性质是解答本题的关.18．25π【分析】沿过点和过B点的母线剪开展成平面连接AB则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程求出和BC的长根据勾股定理求出斜边AB即可【详解】解：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪解析：π【分析】沿过点过B点的母线剪开，展成面，连接AB，则AB的是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到点的最短路程，求出和BC的长，根据勾股定理求出斜边AB即可．【详解】解：如图所示：沿过点过B点母线剪开，展成平面，连接AB则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点到B点的最短路程，AC＝

×2π×24＝π，C＝，＝，由勾股定理得：＝

ACBC

＝π．故答案为：π【点睛】考核知识点：勾股定理．把问题转化为求线段长度是关键．19．错【分析】分为两种情况并由勾股定理得出解：第一种情况：当斜边长为5cm时；第二种情况：当两直角边为3cm和5cm时【详解】解：当斜边长为5cm时由勾股定理可知：第三边长为；当两直角边为和5cm解析：【分析】分为两种情况并由勾股定理得出解：第一种情况：当斜边长为5cm时；第二种情况：当两直角边为和5cm时．【详解】解：当斜边长为时由勾股定理可知：第三边长为5

；当两直角边为3cm和cm时由勾股定理可知：第三边长为234(．故答案为：错．【点睛】本题考查了勾股定理（直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方），熟记并灵活

运用该定理是解本题的关键．20．【分析】分2种情况：是直角边；②斜边；根据勾股定理求出第三根木棒的长即可求解【详解】解：①直角边第三根木棒要取的长度是（舍去）；②是斜边第三根木棒要取的长度是故答案为：【点睛】考查了勾股定理的解析：11【分析】分种况①6cm求解．【详解】

是直角边；

是斜边；根据勾股定理求出第三根木棒的长即可解：

是直角边，第三根木棒要取的长度是

61cm

（舍去）；②6cm

是斜边，第三根木棒要取的长度是

11cm

．故答案为：11cm．【点睛】考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长ab，满a2b=c就是直角三角形．三、解题

2那么这个三角形21．

的坐标为（，）【分析】根据勾股定理可求出AB的，由AB=AC，根据线段的和差关系可求出的，进而可求出点标．【详解】点，的坐标分别为（，，0，），OA=4OB=3，

AO

2

2

．以A为圆心，

长为半径画弧，

ABAC

，

OCAO

．交x

轴的负半轴于点

，点

的坐标为（，）【点睛】本题考查了勾股定理和坐标与图形性质的应用，根据勾股定理求出OC的长是解题关键．22．是理由见解析(2)0.05千米【分析】

(1)根勾股定理的逆定理验eq\o\ac(△,)CHB为直角三角形，进而得到AB再根据点到直线的距离垂线段最短即可解答；(2)eq\o\ac(△,)中根据勾股定理解答即可．【详解】解：是，理由如下：eq\o\ac(△,)中，CH+BH+0.9=2.25=1.5=BC2，即CH

+BH=BC2，CHB为角三角形，，CHAB，由点到直线的距离垂线段最短可知CH是村庄到边AB的近路；(2)设AC=x千，在eq\o\ac(△,)中由知得，CH=1.2，由勾股定理得：=AH

+CH2x=(x-0.9)2+1.2，解得x=1.25，AC=1.25故AC-CH=1.25-1.2=0.05（米）答：新路CH比原路CA少0.05千．【点睛】此题考查勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本题的关键．23．尺【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（﹣），利用勾股定理解题即可【详解】解：设竹子折断处离地面x尺则斜边为（﹣）尺，根据勾股定理得＝10﹣x）,解得：＝，折处离地面的度为2.55尺【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意构建直角三角形利用勾股定理求解是解题的关键.24．1）；（）．【分析】（）根据勾定理的逆定理可得，根据勾股定理即可得；（）根据线的和差可得的，再根据三角形面积公式即可得．【详解】（）

△

中，BD

2

AD

2

6

2

2

，AB

2

2

100，