高二数学必修五导学案：3.4.4基本不等式（第4学时）

3．4．4基本不等式（第4课时）35**学习目标**1．拓展基本不等式的内涵，了解均值不等式不等式链；2．能综合应用均值不等式解决一些较复杂的问题。**要点精讲**1．均值不等式（不等式链）：若，则。其中，分别称为正数的调和平均数（H）、几何平均数（G）、算术平均数（A）、平方平均数（P），即有。基本功能有：（1），将平方和与两数和互化；（2），将和与积互化；（3），将和与倒数和互化；（4）重要变形：，其中为正数。2．含有参变量的恒成立问题，常用分离参量的方法，转化为最值问题得以解决。**范例分析**例1．（1）已知为正数，则的最小值为；（2）已知为正数，且，则的最小值为；（3）已知为正数，且，则的最小值为；例2．（1）已知x2+y2=4,则的最小值为（）新课标第一网A.－2 B.－C.2－2 D.2+2（2）若实数m，n，x，y满足，（a≠b）则的最大值是（）（A）（B）（C）（D）（3）若为正数，则的最小值是（）A、3B、C、4D、例3．（1）设，且恒成立，则的最大值是（）A、2B、3C、4D、5（2）若都是正实数，且不等式恒成立，则的最小值是（）21（3）若对任意的，恒成立，则实数的最大值为，实数的最小值为。例4、记。（1）是否存在，使？请说明理由；（2）若对任意的，恒有，请求出的取值范围。请思考：若改，（2）的结论如何？规律总结1.应用不等式解决数学问题时，关键在于要善于把等量关系转化为不等量关系，以及不等关系的转化等，把问题转化为不等式的问题求解.2.与不等式相关联的知识较多，如函数与不等式、方程与不等式、数列与不等式、解析几何与不等式，要善于寻找它们之间的联系，从而达到综合应用的目的.3.化归思想在解决不等式问题中占有重要位置，等式和不等式之间的转化、不等式和不等式之间的转化、函数与不等式之间的转化等，对于这些转化，一定要注意条件.4．引进待定系数巧用基本不等式，体现了一定的数学智慧。**基础训练**一、选择题1．已知，全集为，集合，，，则满足（）wWw.xKb1.coMA、B、C、D、2．若，，，，则（）A、B、C、D、3．已知不等式(x+y)(eq\f(1,x)+eq\f(a,y))≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为()A.2B.4C.6D.84．.已知a、b是不相等的正数，x=，y=，则x、y的关系是（）A.x＞y B.y＞x C.x＞y D.不能确定5．设且则之间的大小关系是（） A． B． C． D．二、填空题6．函数的值域为。7．的三边成等比数列，则的取值范围是。8．三个同学对问题“关于的不等式＋25＋|－5|≥在[1，12]上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是．三、解答题9．已知函数，且成等差数列。（1）求实数的值；（2）若是两两不等的正数，且成等比数列，试判断与的大小关系，并证明你的结论。10．（1）证明：一次函数，若，则对任意的，都有；（2）试证明：若，则。四、能力提高11．已知，且，则的最小值为（）A、1B、2C、3D、412．已知，求的最小值。3．4．4基本不等式（综合应用）例1．解：（1）当时，最小值为4；（2）当时，最小值为1；（3），由，得，当时，最小值为8；例2．解：（1）方法1：令，则，再令，则，当且仅当取等号。选C。方法2：。（2）方法1，，当且仅当时，的最大值是；选B。方法2，令，，则；选B。评注：若由，则错选A，为什么？方法3，设，，则。选B。（3），当且仅当时等号成立。例3．解：（1）令，则恒成立，因为，故的最大值为。（2）原问题转化为m≥恒成立.从而m的最小值就是的最大值.∵x＞0，y＞0，∴≥=.∴≤=.∴m的最小值为.（3）因为，所以实数的最小值为；又，所以实数的最大值为1。评注：分离参数法是求参数的范围问题常用的方法，化归是解这类问题常用的手段.例4．解：（1），因为，所以。当时，存在满足条件；当或时，这样的不存在。（2）由知，对任意的成立，只需不大于的最小值。方法1，因为，从而，故。方法2，根据分子、分母为齐次式的特点，令，则，当且仅当时取等号，故。评注：（2）中方法1，由于系数的特殊性，很巧妙地利用基本不等式进行了放缩，但对于更一般的系数，如根号下的系数2改为3，怎么办？——引入待定系数，再用基本不等式：，则，只需，即，就有，从而。**参考答案**1~5AABBC；3．提示：不等式(x+y)()≥9对任意正实数x，y恒成立，则≥≥9，∴≥2或≤－4(舍去)，所以正实数a的最小值为4，选B．4．提示：∵x2=（+）2=（a+b+2），X|k|B|1.c|O|my2=a+b=（a+b+a+b）＞（a+b+2）=x2，又x＞0，y＞0.∴y＞x.5．提示：令，则在上为增函数；在上为减函数；从而，当且仅当时等号成立。6．令，则，由得，当时，最大值为；当时，最小值为。或，所以。7．；提示：，。8．；提示：由＋25＋|－5|≥，而，等号当且仅当时成立；且，等号当且仅当时成立；所以，，等号当且仅当时成立；故。9．解：（1）由已知，，得；（2）因为是两两不等的正数，且，