高二数学必修五导学案：3.4.2基本不等式（第2学时）

3．4．2基本不等式（第2课时）33**学习目标**1．进一步理解基本不等式；2．能用基本不等式求最值。**要点精讲**最值定理：若都是正数，且，，则①如果P是定值,那么当x=y时，S的值有最小值；②如果S是定值,那么当x=y时，P的值有最大值.注意：eq\o\ac(○,1)前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；还要注意选择恰当的公式；eq\o\ac(○,2)“和定积最大，积定和最小”，可用来求最值；eq\o\ac(○,3)均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。**范例分析**例1．求下列函数的最值，并说明当取何值时函数取到最值（1）；（2）；（3），（4）。例2．求函数①；②的最小值。变式：若不等式恒成立，则正数的取值范围是。例3．（1）已知正数a、b满足，求的最大值。（2）设、、、，，求证：≤例4．（1）若实数，且有，求出的最小值。（2）已知，且，求的最小值。变式：（1）已知，，且，求证：。（2）已知：,求证：。规律总结1．在应用均值定理求最值时，要把握定理成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”.若忽略了某个条件，就会出现错误.有时要能“凑”均值不等式的模式。2．对于函数定义域内不含实数的类型的最值问题，要会用函数的单调性求解．**基础训练**一、选择题1．若a>1,则a+的最小值是（）A２BaCD32．已知，且a+b=3，则的最小值是().A.6B.C.D.５．当x>0,y>0,且则xy有（）A最大值64B最小值C最小值D最小值644．已知正实数满足，则的最大值为（）A、B、C、D、5．若a,b,c＞0且a(a+b+c)+bc=4-2,则2a+b+c的最小值为（）（A）-1(B)+1(C)2+2(D)2-2二、填空题6．若x>0,y>0,且5x+7y=20,则xy的最大值为;7．设且则的最小值是.6．已知且x+y=4，求的最小值。某学生给出如下解法：由x+y=4得，①，即②，又因为③，由②③得④，即所求最小值为⑤。请指出这位同学错误的原因___________________________。三、解答题9．（1）如果正数满足，求的取值范围。（2）已知均为正数，且有，求的最小值。10．（1）若有,求函数的最小值。（2）时，求函数的最小值四、能力提高11．设，则三个数（）A、都大于2B、都小于2C、至少有一个大于2D、至少有一个不小于212．若、，，求证：。3．4．2基本不等式（求最值）例1．（1）因为，所以，当且仅当，即时，；（2）因为，所以，当且仅当，即时，；（3）因为，所以，当且仅当，即时，；（4）因为，所以，当且仅当，即时，；例2．解：①令，则；当，即时，；②令，则在上单调递增，当，即时，。变式：令，则；；例3．（1）因为，所以解1：当且仅当即时取等号，故的最大值为。解2：；解3：。（2）因为、、、，，所以方法1：左右；方法2：左右；例4．解：（1）因为，所以，解得，当且仅当时，有最小值；（2）因为，且，所以方法1：，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为。方法2：，当且仅当时，等号成立。方法3：，得，由，得，当且仅当时，等号成立。变式：（1）因为，，所以由已知，，即，得，又，得，解得。（2）因为，令，则。**参考答案**1~5DBDCD；5．提示：若且所以，∴，则()≥，选D.6．；7．；提示：，所以的最小值是。8．①③两个不等式中，等号不能同时取到9．解：（1）方法1：，得；方法2：由已知，，当且仅当取等号。（2），当且仅当取等号。10．解：（1）令，则，当