彩票方案的优化

彩票的科学分析作者:梁彤彤指导老师:周韶林摘要:本文首先将介绍彩票中的排列组合,随机分布,中奖概率,然后用相应的数学理论来客观地分析彩票.最后给出一些彩票的方案,通过建立模型对给出的方案进行优劣排序和方案优化.关键词:排列组合;随机分布;中奖概率;优劣排序;方案优化ScientificanalysisoflotteryAuthor:LiangTongtongInstructor:ZhouShaolinAbstract:thesepapersfirstdescribesthelotterypermutationsandcombinations,randomdistribution,theprobabilityofwinning,andthenusetheappropriatemathematicaltheorytoanalyzeobjectivelyFinally,someofthelotterylotteryprogram,throughtheestablishmentofmodelprogramsweregiventhemeritsofthesort.andprogramoptimization.Keywords:permutationsandcombinations;randomdistribution;winningprobability;meritsofthesort;Optimization引言近年来,我国的彩票市场蓬勃发展,运营机制日趋成熟,彩票作为一种建立在机会均等基础上的娱乐游戏,愈来愈得到广大市民的支持与参与,逐渐成为市民生活的一部分.目前在全国内地31个省都有彩票发行,可以说彩票遍布中华大地,涉及全国千家万户,相关的信息也是全国各地方媒体如电视,电台,报纸和网站关注的热点新闻之一,从国家到到地方都有专门的管理机构和专职人员,各地方也都有了专门的网站和报纸.作为一种物质利益与社会公益相结合的资金筹搭形式,彩票缓解了政府的财政压力,成为资助体育,福利等社会公益事业发展的重要途径,并随着社会的发展而发展.时至今日,彩票已成为世界第六大产业.据统计2012年中国福利彩票发行销售再创历史新高,年销量达到1510.32亿元,为国家筹集公益金数量达到464亿多元.随着福利彩票发行规模的扩大,为国家筹集公益金的数量也同步增长.在国际上许多国家和地区也都有相应的彩票发行.对有些人来说,博彩已成为生活的一部分,影响之大不言而喻.概率统计作为一门研究随机现象数量规律性的数学学科,它广泛应用于自然科学,技术科学,社会科学和人文科学的各个方面,为了更准确地预测结果,就要依靠一定得数据积累分析,然后算出其出现某种结果的可能性.而概率分析就是一些复杂的计算,将一些出现概率较小的数字组合删除,从而提高中奖机会.理论上,一个彩民购买彩票的特等奖中奖率,可以用公式来计算.我们认为时尚没有无规律的事情,即使对于彩票而言,虽然规律性不是很强,但并不是没有规律可循.只要经过大量的观察,根据统计学的知识,就能进行统计预测,提高中奖的几率.比如,通过分析0-9这10个数字当中有90%的概率出现0、2、4这三个数字,那么你买0、2、4猜对的机会是你买全10个号码的90%,即花了的钱,就可以得到的收获.如今彩票论坛林立,研究方法繁多.到底什么样的方法是科学的,可靠的？随着彩票研究的进步,玄机这种伪科学将逐渐退出研究舞台,单双,生肖,波色,尾数的数理预测成了研究的热门课题.但是也有些研究的方法既不科学,也不系统.通过长期的跟踪实践,经过血与火的洗礼,彩票研究的真谛,归根结底就是数学问题与统计问题,真正值得信赖的是基于数学与统计之上的科学分析.彩票中的数学2.1彩票中的排列组合从纯数学的角度看,每一个0-9的回置式抽样选7的排列组合共有种,也就是说每次“10选6+1”摇号后所产生的结果有种可能,每个购买当期彩票的彩民的中特等奖的概率都大于或等于.不少数学家认为概率低于就可以定义为小概率事件,其出现几率是可以忽略不计的,显然“10选6+1”要中特等奖是十分艰难的.然而同时从纯数学角度看,任何一个小概率事件,当它的极限n取无穷大时,也可以是成为一个必然事件的.也就是说在同一条件下无限制地进行这项随机实验,这个微小概率结果也将必然出现,即它可能出现的概率p=1.的确不少彩民采取守号的原则,每期都买同一个号,守株待兔.这种方法虽然有一定的道理,却不尽科学.试想一个有种排列组合结果的随机事件,要使每一种结果都出现至少一遍,至少需要104166年.由此看来我们的概率分析在彩票中似乎是沧海一粟,这也是很多专家认为彩票无分析无科学的王牌根据.中特等奖用概率分析目前确实不行,但不要忘记一点,按照彩票的兑奖规则,并不需要每位都才对才中奖,只要猜对2位或3位就能得奖,就能享受中奖的喜悦..同样的我们可以计算双色球的所有可能结果,有种不同的排列,即若每月开13期,一年开156期,需要至少8189637年,这简直是不能完成的事件.有人曾经企图全面围剿中奖号码,最后倾家荡产,这只能说明他们的概率知识太浅薄,要知道他的区区几注,几十注,几百注甚至上千注彩票,只不过是庞大概率数字组合中的沧海一粟.排列组合不仅对中奖的分析起了一定的作用,而且对彩票的中奖规则也起了不可估量的作用.下面我们以传统型和乐透型来具体说明.“传统型”采用“10选6+1”方案:先从6组0-9号球中摇出6个基本号码,每组摇出一个,然后从0-4号球中摇出一个特别号码,构成一注,根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级.如表一表一:“传统型”彩票中奖说明中奖等级10选6+1（6+1/10）基本号码特别号码说明一等奖abcdefg选7中（6+1）二等奖abcdef选7中（6）三等奖abcdeXXbcdef选7中（5）四等奖abcdXXXbcdeXXXcdef选7中（4）五等奖abcXXXXbcdXXXXcdeXXXXdef选7中（3）六等奖abXXXXXbcXXXXXcdXXXXXdeXXXXXef选7中（2）“乐透型”有多种不同的形式,以“33选7”,“36选6+1”以及“双色球”为例.“33选7”方案:先从1-33个号码球中一个一个地摇出7个基本号码,再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码.投注者从1-33个号码中任选7个组成一注（不可重复）,根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定中奖等级,不考虑号码顺序,如表二;又如“36选6+1”方案:先从1-36个号码球中一个一个地摇出6个基本号码,再从剩余的30个号码球中摇出一个特别号码.投注者从1-36个号码中任选7个组成一注（不可重复）,根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定中奖等级,不考虑号码顺序,如表三;“双色球”每注投注由6个红色球号码和一个蓝色球号码组成,红色球号码从1-33中选择,蓝色球号码从1-16中选择.具体情况如表四表二:“33选7”中奖说明中奖等级33选7（7/33）基本号码特别号码说明一等奖●●●●●●●选7中（7）二等奖●●●●●●○★选7中（6+1）三等奖●●●●●●○选7中（6）四等奖●●●●●○○★选7中（5+1）五等奖●●●●●○○选7中（5）六等奖●●●●○○○★选7中（4+1）七等奖●●●●○○○选7中（4）表三:“36选6+1”中奖说明中奖等级36选6+1（6+1/36）基本号码特别号码说明一等奖●●●●●●●★选7中（6+1）二等奖●●●●●●●选7中（6）三等奖●●●●●●○★选7中（5+1）四等奖●●●●●●○选7中（5）五等奖●●●●●○○★选7中（4+1）六等奖●●●●●○○选7中（4）七等奖●●●●○○○★选7中（4）

（备注:顺序不限,其中●表示选中的基本号码,○表示未选中的基本号码,★表示选中的特别号码）表四:“双色球”中奖说明中奖等级36选6+1（6+1/36）基本号码说明一等奖●●●●●●★选7中（6个红球+1个蓝球）二等奖●●●●●●○选7中（6个红球）三等奖●●●●●○★选7中（5个红球+1个蓝球）四等奖●●●●●○○●●●●○○★选7中（5个红球）选7中（4个红球+1个蓝球）五等奖●●●●○○○●●●○○○★选7中（4个红球）选7中（3个红球+1个蓝球）六等奖●●○○○○★●○○○○○★○○○○○○★选7中（1个蓝球）（备注:顺序不限,其中●表示选中的红色球,○表示未选中的红色球,★表示选中的蓝色球）2.2彩票中的概率在摇出中奖号码的过程中,中奖号码发生的事件,以及各种号码出现的概率是相互独立的,是等概率的,这是一个古典概型的问题.由古典概型得知,中奖概率=该等奖中奖号码个数/所有可能的号码个数.下面以上面的几种模式为例,来探讨其单注彩票的中奖概率.2.2.1“传统型”彩票的中奖概率传统型彩票“10选6+1”特等奖中一等奖中二等奖中三等奖中四等奖中五等奖中中奖率2.2.2“乐透型”彩票中奖概率“33选7“中奖概率一等奖中二等奖中三等奖中四等奖中五等奖中六等奖中七等奖中中奖率“36选6+1“中奖概率一等奖中二等奖中三等奖中四等奖中五等奖中六等奖中七等奖中中奖率双色球中奖概率一等奖中6红+1蓝:二等奖中6红:三等奖中5红+1蓝:四等奖中5红/中4红+1蓝:五等奖中4红/中3红+1蓝:六等奖中1蓝:中奖率通过计算,以上几种形式的彩票,每期开奖中奖机会分别为,每一千个人中分别有46,26,16,67人能中奖.“双色球”中奖的概率最大,所以“双色球”是当前比较流行的一种“乐透型”福利彩票.“双色球“中奖概率高完全是由于蓝球产生的,因为六等奖只需中蓝球,而它的概率高达5.887%,从而提高了”双色球“整体的中奖概率.但是“双色球”一等奖中奖概率远远低于其他“乐透型”彩票中奖率,其一等奖中奖概率为,是普通乐透型彩票“36选6+1”一等奖中奖概率的0.471,连一半都不到.总体来说,靠彩票发家是不可能的,彩民们要以良好的心态来购买彩票,同时为国家的慈善机构做贡献.2.3彩票中的随机分布随机变量是指在同一组条件下,如果每次实验可能出现这样那样的结果,并把所有的结果列举出来,即把x的可能值都列举出来;而且其可能值有确定额概率;则x叫随机变量,P(x)叫随机变量x的概率函数.由于彩票每个位次上号码的所有值都能列举出来,因此我们可以将它看成是一个离散型随机变量.离散型随机变量有许多种分布形态,与彩票最有关联的是均匀分布,二项分布和超几何分布.2.3.1均匀分布均匀分布式每种结果都能列举出来,而且每种结果出现的概率是相等的.均匀分布是彩票号码分析中最重要的一个分布,它告诉我们这样一个事实:如果保证足够的样本容量,每个号码的出现机会大致是相同的.例如“10选6+1”各个位次上出现某个数码的概率都是.2.3.2二项分布首先阐述一下什么叫贝努里实验,贝努里实验是指具有下列特征的n次独立重复实验:ⅰ）实验中包含了n个相同的实验.彩票中的各期号码出现都是在同一种机器中摇出来的,可以看做是n次反复实验.ⅱ）每一次实验只有两种结果,“成功”或“失败”,这里的“成功”或“失败”是广义的,意思是彩票的每个位次上猜中数码就是“成功”,猜不中就是“失败”.ⅲ）出现成功的概率p每次是相同的,失败的概率q也是固定不变的.如“传统型”彩票“10选6+1”每个位次上成功的概率是,失败的概率是,容易看出.ⅳ)试验是相互独立的,每次摇完后号球都放回,本期结果不影响下期结果.ⅴ）试验“成功”或“失败”可以计数,即试验结果对应于一个离散型的随机变量.在贝努里试验中,以表示次重复独立试验中事件出现的次数,不难得出:其中注意到其中正好是二项式的展开式中的第项,故我们称此随机变量服从二项分布,参数为和,并记作显然,数学型彩票抽样只要不换摇奖机,就完全符合贝努里试验的要求.用二项分布来分析合情合理.2.3.3超几何分布对于乐透型,虽然每次开奖结果不影响下次摇奖,即期与期之间是独立事件,但在同一期内先开出的号球并不放入摇号机,在概率学上称作“无放回”的抽样,则必然会对下面的号码产生影响.此时,其试验条件就已经不同了,故不能直接套用二项分布.在时机情况中,真正在完全相同的条件下进行的实验室相当少的.对于抽样问题来说,只要满足一定的样本容量,无放回可当做有放回处理.况且,“无放回”的抽样只是在同一期内而言,期与期之间是独立事件.在分析乐透型的中奖号码时,仍以二项分布和均匀分布为主,兼顾超几何分布的一些特点.彩票方案的分析及优化表五彩票的常见销售规则及相应奖金设置方案奖项奖项方案一等奖比例二等奖比例三等奖比例四等奖金额五等奖金额六等奖金额七等奖备注16+1/1050%20%30%50按序26+1/1060%20%20%300205按序36+1/1065%15%20%30020按序46+1/1070%15%15%30020按序57/2960%20%20%3003066+1/2960%25%15%2002077/3065%15%20%5005015587/3070%10%20%2005010597/3075%10%15%20030105107/3160%15%25%500502010117/3175%10%15%320305127/3265%15%20%5005010137/3270%10%20%5005010147/3275%10%15%5005010157/3370%10%20%600606167/3375%10%15%50050105177/3465%15%20%50050102187/3468%12%20%300505197/3570%15%10%300505207/3570%10%20%500100305217/3575%10%15%1000100505227/3580%10%10%20050205237/35100%20002042246+1/3675%10%15%500100105256+1/3680%10%10%50010010267/3670%10%20%500100105277/3770%15%15%150010050286/4082%10%8%200101295/6060%20%20%30030【问题描述】⑴据上面方案的描述,综合分析各奖项出现的可能性,奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价彩票方案的合理性.⑵设计一种更好的方案及相应的算法以便求出对于不同注数应选择的最优方案.【模型假设】⑴每注彩票只兑付最高奖级奖金,不可兼得;⑵假设彩票的规则是以公平合理为原则;⑶假设彩票的发行费用不计,彩票总奖金比例一般为销售总额的50%;⑷奖金取决于当期彩票投注额的多少,投注额越多,奖金越高;⑸假设彩民大都有博彩心理;【符号说明】⑴表示等奖是否被取走,即或1.⑵表示k等奖中奖注数.⑶表示i等奖的奖金额.⑷n表示当期已售出的彩票注数.⑸表示每注彩票第i奖项的奖金额.⑹表示取走的奖金额.⑺表示一注中奖彩票被取走的奖金比率,即单注彩票的平均收益率.⑻表示第i等奖的中奖概率.⑼表示第i等奖的奖金分配的百分比.⑽表示博彩心理函数.⑾s表示低奖项奖金额在总奖项中所占的比例.⑿f表示判别方案合理性的判别函数.【问题分析】⑴求两种类型彩票每注中各奖项的概率.设彩票有7等奖,对某一方案而言,每注彩票中各等奖的概率是可求得,由古典概率问题求得传统型和乐透型概率如下:①传统型.单注总数为.各奖项的单注数分别为一等奖:1二等奖:三等奖:四等奖:五等奖:六等奖:由概率的定义可得中等奖的概率.②乐透型.在型的彩票中,选中个基本号当中的个的可能性,可以通过超几何分布得出.则选中个基本号加特别号的可能性为则选中个基本号不加特别号的可能性为.⑵设当期销售注彩票,研究没住彩票的收益.由于当期彩票的总奖金与售出彩票注数有关,注彩票中,获得第等奖的中奖注数是随机变量,且服从二项分布即.由伯努里大数定理可知,当足够大时,近似服从正态分布,其期望与方差分别为.记由的独立性,=高项奖的第等奖的奖金额,由案件中给出的计算方法得若表示等奖是否被取走,则服从两点分布.表示等奖没被取走,其分布律为若表示取走的奖金总额,它是一个随机变量,则表示单注彩票的收益率.基于彩票的总奖金比例一般为销售总额的50%,单注彩票金额为2元,首先分析的数学期望E():取n=100万,150万,200万,300万,利用上式,求出了表五中给出的29中方案在不同n下每注彩票的平均收益,从运算结果看,随着n的增大,平均收益率趋于稳定值1.⑶从公平因素出发进行分析利用公平原则确定奖金在各个奖项中的分配情况,中奖的概率Pi与第i项奖单注中奖金额xi具有相关性,即中奖可能性越小,奖金额越高.再者中奖几率和成本有直接关系,假设中一等的概率是0.001,中二等奖的概率是0.01,则一等奖平均抽1000注（需2000元）才能中一次,而二等奖需要100注（需200元）,可见中奖收益和中奖概率应成反比,最理想的情况为中奖概率和奖金额乘积等于常数.我们把总奖金额分成低项、高项两部分,在每项内部考虑公平因素,若考虑奖项为1到7等奖的方案为常数这里称该公式为公平尺度.若低项奖的百分比为s,则高项奖的百分比为（1-s）,由低项奖内部公平尺度有以下公式:由高项奖内部公平尺度有以下公式:则（当n是定值时,其值是常数）.以反映了高项奖的公平程度,由此当且仅当时,最大.同理反映了低项奖的公平程度.我们可取作为衡量公平程度的数学表达式,但由于远小于1,所以很小,设,记为总公平因子.⑷博彩心理的因素分析彩民的兴趣大小与单注收益率,公平度相关.对一个方案,彩民的看法主要是由收益决定的我们用这个量的某个函数来衡量该方案对彩民的吸引力,而彩民的看法是一个心理因素,是一个很难准确衡量的量.根据心理学的知识,人的心理因素的变化可用博彩心理函数来近似刻画,博彩心理与单注的收益有关,取博彩心理函数为其中,表示销售注数.【模型的建立与求解】综合以上分析,我们用影响方案合理性的三个因子.收益期望,公平因素,博彩因素,来构造给定方案合理性的评判函数,并且通过求解这个函数的值来判断各个方案的优劣.⑴评价函数的构造方案的吸引力函数博彩因子公平因子,即根据彩票目前开奖的有关资料,以及题目中对单注一等奖奖金的约束,取彩票销售注数n=200万进行计算.以29个方案的的有关数据代入判别函数中,求出的值,通过比较值得大小,就可以确定给定的各种方案的优劣.由此得到对29个方案的优劣排序:9,5,11,8,7,19,20,16,24,10,6,22,18,25,12,26,13,14,23,15,17,21,29,2,27,3,28,4,1⑵问题（2）的模型及解答.由问题（1）的求解结果可以看出,传统型和无特别号（23号）的方案已不可能列入最优方案中,