2022年秋新教材高中数学课时跟踪检测四十古典概型新人教A版必修第二册

PAGEPAGE6古典概型层级(一)“四基”落实练1．下列试验是古典概型的是 ()A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，样本点为{取中白球}和{取中黑球}B．在区间[－1,5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面D．某人射击中靶或不中靶解析：选C根据古典概型的两个特征进行判断．A项中两个样本点不是等可能的，B项中样本点的个数是无限的，D项中“中靶”与“不中靶”不是等可能的，C项符合古典概型的两个特征．2．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为 ()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D．1解析：选C从甲、乙、丙三人中任选两人有：(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)共3种情况．其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P＝eq\f(2,3).3.五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明的重要组成部分．古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成．如图是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系图．若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,5)解析：选A从金、木、水、火、土中任选两类，样本空间Ω＝{金木，金水，金火，金土，木水，木火，木土，水火，水土，火土}，共有10个样本点，其中两类元素相生的有金水，水木，木火，火土，土金，共5个样本点，所以2类元素相生的概率为P＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2)，故选A.4．同时抛掷三枚均匀的硬币，出现一枚正面、二枚反面的概率等于 ()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(3,8) D.eq\f(1,2)解析：选C试验的样本空间Ω＝{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}，共8种，出现一枚正面、二枚反面的样本点有3种，故概率为P＝eq\f(3,8).5．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如40＝3＋37.在不超过11的素数中，随机选取2个不同的数，其和小于等于10的概率是 ()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,5)解析：选A根据题意，不超过11的素数有2,3,5,7,11，共5个，从中任选2个，有(2,3)，(2,5)，(2,7)，(2,11)，(3,5)，(3,7)，(3,11)，(5,7)，(5,11)，(7,11)，共10种取法．其中，和小于等于10的取法有(2,3)，(2,5)，(2,7)，(3,5)，(3,7)，共5种，则取出的两个数和小于等于10的概率P＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2).6．从3男3女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率等于________．解析：用A，B，C表示3名男同学，用a，b，c表示3名女同学，则从6名学生中选出2人的样本空间Ω＝{AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc}，其中事件“2名都是女同学”包含的样本点的个数为3，故所求的概率为eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).答案：eq\f(1,5)7.如图，在四棱锥D­OABC中，底面OABC为正方形，OD⊥底面OABC，以O为起点，再从A，B，C，D四个点中任取两点分别为终点，得到两个向量，记这两个向量的数量积为M，则事件“M＝0”的概率为________．解析：记事件A＝“这两个向量的数量积M＝0”，样本点总数n(Ω)＝6，其中，事件A＝{eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OC,\s\up7(→))，eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OD,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))·eq\o(OD,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))·eq\o(OD,\s\up7(→))}，n(A)＝4，∴P(A)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)8．某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，质检人员依次不放回地从某箱中随机抽出2听，求检测出不合格产品的概率．解：只要检测的2听中有1听不合格，就表示查出了不合格产品．分为两种情况：1听不合格和2听都不合格．设合格饮料为1,2,3,4，不合格饮料为5,6，则从6听中选2听试验的样本空间为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，共15个样本点．有1听不合格的样本点有(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8个；有2听不合格的样本点有(5,6)，共1个，所以检测出不合格产品的概率为eq\f(8＋1,15)＝eq\f(3,5).9．先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6，记骰子的点数分别为x，y，向量a＝(x－1,1)，b＝(10－2y,2)，求两向量平行的概率．解：记事件A＝“两向量平行”，n(Ω)＝6×6＝36，∵a∥b，∴10－2y－2(x－1)＝0，解得x＋y＝6，∴A＝{(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)}，n(A)＝5，∴两向量平行的概率是P＝eq\f(5,36).层级(二)能力提升练1．(2019·全国卷Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为 ()A.eq\f(2,3) B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,5)解析：选B设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过该项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).2．2019年庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵式彰显了中华民族从站起来、富起来迈向强起来的雄心壮志．阅兵式规模之大、类型之全均创历史之最，编组之新、要素之全彰显强军成就．装备方阵堪称“强军利刃”“强国之盾”，见证着人民军队迈向世界一流军队的坚定步伐．此次大阅兵不仅得到了全中国人的关注，还得到了无数外国人的关注．某单位有6位外国人，其中关注此次大阅兵的有5位，若从这6位外国人中任意选取2位做一次采访，则被采访者都关注了此次大阅兵的概率为 ()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,5)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,5)解析：选C这6位外国人分别记为a，A，B，C，D，E，其中a未关注此次大阅兵，从这6位外国人中任意选取2位做一次采访，样本空间Ω＝{(a，A)，(a，B)，(a，C)，(a，D)，(a，E)，(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)}，n(Ω)＝15，记事件A＝“被采访者都关注了此次大阅兵”，n(A)＝10，故被采访者都关注了此次大阅兵的概率为P＝eq\f(10,15)＝eq\f(2,3).3．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一．直角三角形最短的边称为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据称为勾股数．现从1～5这5个数中随机选取3个不同的数，这三个数为勾股数的概率为________．解析：现从1～5这5个数中随机选取3个不同的数，样本点总数n＝10，这三个数为勾股数包含的样本点有：(3,4,5)，共1个，∴这三个数为勾股数的概率为P＝eq\f(1,10).答案：eq\f(1,10)4．从一批苹果中，随机抽取50个作为样本，其重量(单位：克)的频数分布表如下：重量/克[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)频数/个5102015(1)根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率．(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？(3)在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．解：(1)苹果的重量在[90,95)的频率为eq\f(20,50)＝0.4.(2)重量在[80,85)的有4×eq\f(5,5＋15)＝1个．(3)设这4个苹果中[80,85)分段的为1，[95,100)分段的为2,3,4，从中任取两个，可能的情况有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种.“任取2个苹果，重量在[80,85)和[95,100)中各有1个”记为事件A，则事件A包含(1,2)，(1,3)，(1,4)，共3种，故P(A)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).层级(三)素养培优练1．(多选)某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示．若从第3,4,5组中用分层随机抽样的方法抽取6名志愿者参与广场的宣传活动，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，则下列结论正确的是()A．应从第3,4,5组中分别抽取3人、2人、1人B．第4组志愿者恰有一人被抽中的概率为eq\f(8,15)C．第5组志愿者被抽中的概率为eq\f(1,3)D．第3组志愿者至少有一人被抽中的概率为eq\f(2,3)解析：选ABC第3组的人数为0.06×5×100＝30，第4组的人数为0.04×5×100＝20，第5组的人数为0.02×5×100＝10.因为第3,4,5组共有60名志愿者，利用分层随机抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，抽样比为eq\f(1,10)，所以应从第3,4,5组中分别抽取3人、2人、1人．故A正确．记第3组的3名志愿者分别为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者分别为B1，B2，第5组的1名志愿者为C，则从6名志愿者中抽取2名志愿者的样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C)，(B1，B2)，(B1，C)，(B2，C)}，共有15个样本点．第4组的2名志愿者恰有一人被抽中，所含的样本点个数为8，所以第4组志愿者恰有一人被抽中的概率为eq\f(8,15)，故B正确．第5组的志愿者恰好被抽中，所含的样本点个数为5，所以第5组志愿者被抽中的概率为eq\f(5,15)＝eq\f(1,3)，故C正确．第3组志愿者至少有一人被抽中，所含的样本点个数为12，所以第3组志愿者至少有一人被抽中的概率为eq\f(12,15)＝eq\f(4,5)，故D不正确．综上，应选