ch3 时域响应及误差分析

第三章时域响应及误差分析2/4/20231所谓时域分析法，就是通过求解控制系统的时间响应，依据响应的表达式及时间响应曲线来分析系统的稳定性、快速性和准确性。并找出系统结构、参数与这些性能之间的关系。它是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观和准确的优点，可以提供系统时间响应的全部信息。尤其适用于低阶系统。2/4/20232规定一些特殊的试验输入信号各种系统比较各种系统对这些试验信号的响应2/4/20233

时域响应及典型输入信号时域响应包括：（以阶跃输入为例）稳态响应瞬态响应t2/4/20234常见的典型输入信号：阶跃信号

0t2/4/20235斜坡信号

10t2/4/202363加速度信号

0t2/4/20237脉冲信号

因此脉冲高度趋于无穷大，持续时间趋于无穷小，脉冲面积为α。当α=1

时，称为单位脉冲函数，又称δ

函数。002/4/20238正弦信号0t2/4/20239究竟采用哪种典型信号？

取决于系统在正常工作情况下最常见的输入信号形式。斜坡信号随时间逐渐变化的输入阶跃信号突然的扰动量、突变的输入脉冲信号冲击输入正弦信号随时间周期性变化的输入

如机床、温控装置等如开关的转换、电源的突然接通等如导弹发射等如电源的波动、机械的振动等2/4/202310为什么常用阶跃信号？阶跃函数是自动控制系统在实际工作中经常遇到的一种外作用形式。例如电源电压的突然跳动，负载突然增大或减小，都可近似成阶跃函数形式。因此，在控制系统的分析设计中，阶跃函数是用的最多的一种评价系统动态性能的典型实验输入信号。

因为常用，所以一些性能指标才根据阶跃函数的响应来定义。2/4/202311

一阶系统的瞬态响应×-?2/4/202312一、一阶系统的单位阶跃响应2/4/202313结论：

1一阶系统总是稳定的；

2可用实验方法测T；

3经过3~4T，响应已达稳态值的95%~98%4

T2T3T4T5T98.2%95%99.3%86.5%B0t1A63.2%0.632一阶系统的单位阶跃响应曲线2/4/202314二、一阶系统的单位斜坡响应2/4/202315t0一阶系统的单位斜坡响应曲线2/4/202316三、一阶系统的单位脉冲响应98.2%95%99.3%86.5%B0tT2T3T4T5T63.2%A2/4/2023172/4/202318这种对应表明，系统对输入信号导数的响应可以通过对系统原信号响应进行微分而得出，系统对原信号积分的响应等于系统对原响应的积分，而积分常数可由零输出初始条件确定。这是线性定常系统的特性。线性时变系统或非线性系统不具备这种特性。由此得出，在研究线性定常系统的时间响应时，只要对其中一种典型输入信号响应的研究即可。

瞬态性能指标是以阶跃信号为典型输入信号定义的。2/4/202319二阶系统的瞬态响应×-2/4/202320阻尼：（英语：damping）是指任何振动系统在振动中，由于外界作用或系统本身固有的原因引起的振动幅度逐渐下降的特性，以及此一特性的量化表征。阻尼是指阻碍物体的相对运动、并把运动能量转化为热能或其他可以耗散能量的一种作用。阻尼的作用主要有以下五个方面：（1）阻尼有助于减少机械结构的共振振幅，从而避免结构因震动应力达到极限造成机构破坏；（2）阻尼有助于机械系统受到瞬时冲击后，很快恢复到稳定状态；（3）阻尼有助于减少因机械振动产生的声辐射，降低机械性噪声。许多机械构件，如交通运输工具的壳体、锯片的噪声，主要是由振动引起的，采用阻尼能有效的抑制共振，从而降低噪声；（4）可以提高各类机床、仪器等的加工精度、测量精度和工作精度。各类机器尤其是精密机床，在动态环境下工作需要有较高的抗震性和动态稳定性，通过各种阻尼处理可以大大的提高其动态性能；（5）阻尼有助于降低结构传递振动的能力。在机械系统的隔振结构设计中，合理地运用阻尼技术，可使隔振、减振的效果显著提高。2/4/202321二阶系统特征方程：[s]0000特征方程的根：2/4/202322[s]002/4/2023230[s]一、二阶系统的单位阶跃响应欠阻尼2/4/202324衰减振荡2/4/2023250一、二阶系统的单位阶跃响应无阻尼等幅振荡2/4/2023260一、二阶系统的单位阶跃响应临界阻尼不振荡2/4/2023270一、二阶系统的单位阶跃响应过阻尼不振荡动态过程更长2/4/202328一、二阶系统的单位阶跃响应[s]0负阻尼不相等正实根单调发散2/4/202329共轭复根0负阻尼发散振荡2/4/202330二阶系统的单位阶跃响应2/4/202331二、二阶系统的单位脉冲响应2/4/202332二、二阶系统的单位脉冲响应2/4/202333二、二阶系统的单位脉冲响应2/4/2023342/4/202335三、二阶系统的单位斜坡响应2/4/2023362/4/2023372/4/2023382/4/202339-2/4/202340四、二阶系统的性能指标二阶系统动态性能？2/4/2023411、二阶系统瞬态响应指标响应曲线达到第一个峰值所用时间-峰值时间在响应曲线的稳态值上，用稳态值的绝对百分数做一个允许误差范围，响应曲线达到并且永远保持在这一允许误差范围内所用的最小时间-调节时间1响应曲线从0上升到稳态值的100%所用时间-上升时间0t这些点已被确定0.05或0.02最大超调量2/4/2023421、二阶系统瞬态响应指标0[s]2/4/2023432/4/2023442/4/2023452/4/2023462/4/202347标准二阶系统瞬态响应指标2/4/202348×-2/4/20234922/4/202350Mfk8.9N求M、k、f的数值0.00292/4/2023512/4/2023522/4/202353比较对二阶系统单位阶跃响应的影响0[s]衰减振荡2/4/2023542/4/2023552/4/202356§3-4高阶系统的时域响应分析

对于一般二阶以上的单输入单输出线性定常系统，其传递函数可以表示为：2/4/202357

可见，高阶系统的瞬态响应是由一些一阶惯性环节和二阶振荡环节的响应函数迭加组成的。当所有极点均具有负实部时，除了α，其它各项随着t→∞而衰减为零，即系统是稳定的。

高阶系统通过合理的简化，可以用低阶系统近似。2/4/2023581、系统极点的负实部愈是远离虚轴，则该极点对应的项在瞬态响应中衰减得愈快。反之，距虚轴最近的闭环极点对应着瞬态响应中衰减最慢的项，该极点对（或极点）对瞬态响应起主导作用，称之为主导极点。

工程上当极点A距虚轴的距离大于5倍的极点B距虚轴的距离时，分析时可忽略极点A。2、闭环传递函数中，如果零、极点数值上相近，则可将该零点和极点一起消去，称之为偶极子相消。2/4/2023592/4/202360当考虑主导极点削去(s+60)时，只去掉s，保证静态增益不变。2/4/202361

稳定性是线性控制系统中最重要的问题§3-5线性控制系统的稳定性2/4/202362一个系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，而当扰动取消后，这个系统又能够逐渐恢复到原来的状态，则称系统是稳定的。否则，称这个系统是不稳定的。一、稳定的概念2/4/202363Mbcoodfabcde条件稳定系统b、c——允许偏差范围d、e——规定偏差边界稳定系统不稳定系统2/4/202364

稳定性反映在干扰消失后的过渡过程的性质上。这样，在干扰消失的时刻，系统与平衡状态的偏差可以看作是系统的初始偏差。因此，控制系统的稳定性也可以这样定义：2/4/202365

若控制系统在任何足够小的初始偏差作用下，其过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复原平衡状态的性能，则称该系统稳定。否则，称该系统不稳定。2/4/202366

控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性，也就是讨论输入为零，仅存在初始偏差时的稳定性，即讨论自由振荡是收敛的还是发散的。至于机械工程系统往往用激振或外力的方法施以强迫振动或运动，而造成系统共振或偏离平衡位置，这并不是控制理论所要讨论的稳定性。2/4/202367

二、系统稳定的充要条件ttt=0t-2/4/202368-反之，若特征根中有一个或多个根具有正实部，则零输入响应将随时间的推移而发散，这样的系统就不稳定。2/4/202369可见，稳定性是控制系统自身的固有特性，它取决于系统本身的结构和参数，而与输入无关；控制理论所讨论的稳定性都是指自由振荡下的稳定性，即讨论输入为零，系统仅存在初始偏差时的稳定性，即讨论自由振荡是收敛的还是发散的。2/4/202370控制系统稳定的充分必要条件是：

系统特征方程式的根全部具有负实部。或闭环传递函数的极点全部具有负实部（位于左半s平面）。2/4/202371

为了避开对特征方程的直接求解，就只好讨论特征根的分布，看其是否全部具有负实部，并以此来判断系统的稳定性。这就产生了一系列稳定判据。2/4/202372控制理论对于判别控制系统的稳定性提供了多种方法：1884年E.J.Routh（劳斯）提出了基于闭环控制系统的特征方程判定系统稳定的方法，及劳斯稳定判据；1892年李雅普诺夫对控制系统稳定性做出了样的定义和理论阐述，主要是对时变系统和非线性系统的稳定性研究；1895年A.Hurwitz（胡尔维茨）提出了基于闭环控制系统的特征方程判定系统稳定的另一种方法，及胡尔维茨判据；1932年奈奎斯特（Nyquist)提出了基于开环频率特性的几何图形（奈奎斯特图或极坐标图）进而判断闭环系统的稳定方法，及奈奎斯特稳定判据；2/4/202373判断控制系统稳定的方法：1884 劳斯稳定判据（代数判据）1892 李雅普诺夫稳定性阐述1895 胡尔威茨稳定判据（代数判据）1932 乃奎斯特稳定判据（几何判据）2/4/202374

§3-6劳斯稳定判据2/4/202375一、劳斯判据稳定的必要条件：特征方程中各项系数>0稳定的充分条件：

劳斯阵列中第一列所有项>02/4/202376劳斯阵列如下：

一直计算到最后一行算完为止。然后判断阵列中第一列系数的符号，若全部>0,则系统稳定；否则，第一列系数符号改变的次数，就为特征方程在右半s平面的根数。2/4/202377解：满足必要条件

13-232/4/202378-例2K为何值时，系统稳定2/4/202379劳斯判据的两种特殊情况：1、某一行第一个元素为零，而其余各元素均不为零、或部分不为零；2、某一行所有元素均为零。2/4/202380

第一列系数符号改变两次，系统有两个右根，所以，系统不稳定。1012/4/20238102第一列系数符号无改变，故系统没有正实部的根。[S]行为0，表明系统有一对共轭虚根，所以，系统临界稳定。

2/4/202382由该行的上一行元素来解决：（1）构成辅助多项式，并求导，用其系数代替全为零的行；（2）构成辅助方程，并解出这些大小相等但位置径向相反的特征根。2、某一行所有元素均为零

表明在S平面内存在大小相等但位置径向相反的根，即存在两个大小相等、符号相反的实根和（或）一对共轭虚根，[S]显然，这些根的数目一定是偶数。2/4/202383辅助多项式\1\3

第一列符号全为正，说明系统无右根，但有共轭虚根，可由辅助方程解出。辅助方程3

8

8\1\6\800

系统临界稳定212162/4/202384赫尔维茨判据系统特征方程的一般形式为：各阶赫尔维茨行列式为：（一般规定）系统稳定的充分必要条件是：系统的特征方程的各项系数均为正值，且各阶赫尔维茨行列式全部为正值。2/4/202385对于控制系统的基本要求是稳定、准确、快速。

误差问题就是控制系统的准确度问题。

系统过渡完成后的误差称为系统稳态误差。稳态误差是系统在过渡完成后控制准确度的一种度量。一个控制系统，只有满足要求的控制精度，才有实际工程意义。§3-7控制系统的误差分析2/4/202386t0一阶系统的单位斜坡响应曲线0t1一阶系统的单位阶跃响应曲线2/4/202387二阶系统的单位阶跃响应2/4/202388机电控制系统中，元件的不完善，如静摩擦、间隙以及放大器的零点漂移、元件老化或变质都会造成误差，这种误差称为静差。

本章不研究静差，只研究由于系统不能很好地跟踪输入信号而引起的稳态误差，或者由于扰动而引起的稳态误差，即系统原理性误差。通常把在阶跃输入作用下没有原理性稳态误差的系统称为无差系统；而把有原理性稳态误差的系统称为有差系统。

2/4/202389一、概念和术语1、系统的型和阶、系统开环增益2/4/2023902、误差系数2/4/202391二、偏差和误差及稳态误差理论1、误差定义2、稳态误差计算理论3、扰动作用下的稳态误差计算理论2/4/202392图1误差和偏差的概念+-+-1、误差定义2/4/202393输入信号与反馈信号比较后的信号也能反映误差的大小，称为偏差，即

为系统希望的输出量，为系统实际的输出量，则误差定义为：误差信号的稳态分量被称为稳态误差。图1误差和偏差的概念+-+-一般情况下，系统的误差信号与偏差信号并不相等。2/4/202394图中反映的是输入与输出之间的比例、微分或积分等关系，称为理想变换算子。一般情况下，误差信号与偏差信号之间的关系为：

对于实际使用的控制系统来说，往往是一个常数，因此，通常误差信号与偏差信号之间存在简单的比例关系，求出稳态偏差也就求出了稳态误差。对于单位反馈控制系统，偏差信号与误差信号相同。+-+-2/4/202395（1）单位反馈控制系统误差传递函数为：也即：

系统的稳态误差为：2、稳态误差计算理论2/4/202396（2）非单位反馈控制系统偏差为：稳态偏差为：误差为：一般情况下，为常值H，则有稳态误差为：

注意：在求稳态偏差和稳态误差时，用到了拉氏变换的终值定理，而终值定理只对有终值的变量才有意义，如果系统本身不稳定，用终值定理求出的值是虚假的。

故在求系统稳态误差前，应先判断稳定性。2/4/202397

实际控制系统中，不仅存在给定的输入信号，还存在干扰作用，如图。图2干扰引起误差的系统-

3、扰动作用下的稳态误差计算理论2/4/202398由输入信号引起的偏差为，则有稳态偏差为稳态误差为

-

2/4/202399由扰动信号引起的偏差为（此时不考虑输入信号）。稳态偏差为：此即干扰引起的稳态偏差。由此可得干扰引起的稳态误差为：则系统总的稳态偏差为总的稳态误差为-

2/4/2023100例1：系统结构如图，当输入信号，干扰时，求系统总的稳态误差。图3系统方块图-

2/4/2023101解：（1）先判断稳定性

系统传递函数为：只要，系统稳定。（2）输入引起的稳态误差干扰引起的稳态误差为

故系统总的稳态误差为：-

2/4/20231021、计算稳态误差的一般方法（1）判定系统的稳定性

（2）求误差传递函数

（3）用终值定理求稳态误差

三、稳态误差的计算方法2/4/2023103单位反馈控制系统，其开环传递函数为：式中，分母阶次高于分子阶次；，为0型系统；，为I型系统；，为II型系统；

2、静态误差系数法2/4/2023104（1）静态位置误差系数Kp

对于0型系统

对于I型或高于I型的系统

在单位阶跃输入时，

稳态误差对于0型系统对于I型或高于I型系统

2/4/2023105（2）静态速度误差系数Kv

对于0型系统对于I型系统对于II型或高于II型的系统2/4/2023106在单位斜坡输入时，稳态误差对于0型系统对于I型系统对于II型系统或高于II型2/4/2023107由上可知，单位斜坡输入时，

0型系统不能跟踪输入，因为其误差为；

I型系统能够跟踪斜坡输入，但是有一定的误差；

II型或高于II型的系统能够跟踪斜坡输入，因为其稳态误差为0。对于0型系统对于I型系统对于II型系统或高于II型在单位斜坡输入时2/4/2023108（3）静态加速度误差系数Ka

对于0型系统

对于I型系统

对于II型系统对于III型或高于III型的系统

2/4/2023109在单位加速度输入下，稳态误差为：对于0型系统对于I型系统对于II型系统对于III型或高于III型的系统2/4/2023110由上可知，

0型和I型系统都不能跟踪单位加速度输入，因为其误差为；

II型系统能够跟踪单位加速度输入，但是有误差；

III型及以上系统能够跟踪单位加速度输入，因为其稳态误差为0。对于0型系统对于I型系统对于II型系统对于III型或高于III型的系统在单位加速度输入下2/4/2023111

1.位置误差、速度误差、加速度误差分别指输入是阶跃、斜坡、加速度输入时所引起的输出位置上的