CH05-静定平面桁架

第五章静定平面桁架§5-1平面桁架的计算简图§5-2结点法§5-3截面法§5-4结点法和截面法的联合应用§5-5常用梁式桁架的比较§5-6组合结构的计算§5-7用零载法分析体系的几何构造§5-1平面桁架的计算简图桁架：由梁演变而来的梁和刚架是以承受弯矩为主，横截面上主要产生非均匀分布的弯曲正应力，其边缘处应力最大，而中部的材料未充分利用。桁架由杆件组成，整体以承受弯矩为主，而杆件则主要承受轴力。§5-1平面桁架的计算简图平面桁架的计算简图引入如下假定（1）各结点都是无摩擦的理想铰；（2）各杆轴都是直线，并在同一平面内且通过铰中心；（3）荷载作用在结点上并在桁架的平面内。符合上述理想假定的桁架各杆将只受轴力，截面上的应力分布比较均匀，可同时达到容许值，材料能得到充分利用。因此，桁架与梁相比，桁架的用料较省，并能跨越更大的跨度。§5-1平面桁架的计算简图

实际结构与计算简图之间的差别（1）结点的刚性。（2）各杆轴不可能绝对平直，在结点处也不可能准确交于一点。（3）非结点荷载（自重，风荷载等）。（4）结构的空间作用等。通常把按照平面桁架算得的应力称为主应力，而把上述一些因素所产生的附加应力称为次应力。理论计算和实际测量表明，在一般情况下次应力的影响是不大的，可以忽略不计。对于必须考虑次应力的桁架，则应将其各结点视为刚结点而按照刚架计算，宜采用矩阵位移法用计算机计算。§5-1平面桁架的计算简图上弦下弦斜杆竖杆上下弦杆承受梁中的弯矩,腹杆(竖杆和斜杆)承受梁中的剪力相邻两结点间的区间称为节间其间距称为节间长度两支座间的水平距离称为跨度支座连线至桁架最高点的距离称为桁高

N

N桁架的杆件，按其所在位置不同，可分为弦杆和腹杆两类。桁架的分类§5-1平面桁架的计算简图根据桁架的外形分平行弦桁架折弦桁架三角形桁架根据竖向荷载是否引起水平反力分无推力（梁式）桁架：图a、b、c；有推力（拱式）桁架：图d。根据几何组成方式分简单桁架：图a、b、c；联合桁架：图d、e；复杂桁架：图f。§5-1平面桁架的计算简图1、简单桁架——由基础或一个基本铰结三角形开始，依此增加二元体所组成的桁架§5-1平面桁架的计算简图2、联合桁架——由简单桁架按几何不变体系组成法则所组成的桁架。§5-1平面桁架的计算简图3、复杂桁架------不属于以上两类桁架之外的其它桁架。其几何不变性往往无法用两刚片及三刚片组成法则加以分析，需用零荷载法等予以判别。§5-2结点法求桁架内力，可以取桁架一部分为隔离体，结点法——结点为隔离体：汇交力系截面法——隔离体包含2个以上结点：一般力系静定结构：W＝2j-b-r＝0

轴力+反力数（b+r

）=平衡方程数（2j）联立方程——可解求解方法——按几何组成的相反次序求解 避免解联立方程

每个结点隔离体仅二个未知力。§5-2结点法结点法：取一个结点为隔离体，计算桁架杆件的内力如图，FN—斜杆的内力

Fx—FN水平分力

Fy—FN竖向分力

l—斜杆的长度lx—l水平投影

ly—l竖向投影

由比例关系可得汇交力系：两个平衡方程任知其一便可很方便地推算其余两个，而无需使用三角函数。（1）由桁架的整体平衡求支反力如图a。§5-2结点法结点G隔离体如图b，由由比例关系由依次取结点F、E、D、C计算可求出所有杆件内力，最后一个结点作为校核用。解：1、整体平衡求反力∑X=0H=0∑M8＝0

V1=80kN∑Y=0

V8=100kNH=0V1=80kNV8=100kN2、求内力180kNN12N13Y13X13∑Y=0Y13=－80，=－80×3/4=－60kN=－80×5/4=－100kNN12N13=60kNX13∑X=0

由比例关系得40kN60kNN24N23100－＋＋－6080606040304050结点2∑X=0N24=60kN∑Y=0N23=40kN-60-8040N35X34Y34N34结点3∑Y=0Y34=80-40=40kNX34=40×3/4=30kNN34=40×5/4=50kN∑X=0N35=-60-X34=-90kN依次考虑5、4、6、7的平衡求其它轴力，还余三个方程作校核用。熟练之后可以直接在结构上进行，不必列平衡方程。如图所示。-90-90075152025807510075125例试求桁架各杆内力3m×4=12m4m1234567840kN60kN80kN校核790157581007575100由图a结点A，需解联立方程计算杆件内力。§5-2结点法如图b，将FN1在B点分解，对C点取矩。平面汇交力系——二斜杆问题几种特殊结点§5-2结点法（1）L形结点（2）T形结点（3）X形结点（4）K形结点§5-2结点法图示桁架中虚线所示杆件的轴力皆为0。§5-2结点法对称性的利用一、对称荷载作用下内力呈对称分布。对称性要求：N1=N2由D点的竖向平衡要求N1=－N2对称轴上的K型结点无外力作用时，其两斜杆轴力为零。12PPD（注意：该特性仅用于桁架结点）所以N1=N2=0二、反对称荷载作用下内力呈反对称分布。§5-2结点法P1PNN1杆1受力反对称=0=0与对称轴垂直贯穿的杆轴力为零1PP/2P/2PPPPPP与对称轴重合的杆轴力为零。§5-2结点法↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑qq§5-3截面法截面法：取桁架一部分为隔离体，计算桁架杆件的内力用截面切断拟求杆件，取一侧为隔离体

——三个独立的平衡方程（平面一般力系） →求解三个未知内力 （不交于一点，不完全平行）适用： 求指定杆件内力求解联合桁架（1）力矩法§5-3截面法按所选方程类型不同，截面法又可分为力矩法和投影法图a所示简支桁架，设支座反力已求出，现要求EF、ED、CD杆件的内力。取I-I截面左侧部分为隔离体，如图b。由力矩平衡方程分子为相应简支梁E点的弯矩下弦杆受拉§5-3截面法取ED、CD两杆交点D为矩心，将FNEF在其作用线上的F点处分解为水平和竖向两个分力，竖向分力FyEF通过D点，而水平分力FxEF的力臂即为高桁H分子为相应简支梁D点的弯矩，并可由比例关系求得FNEF取EF、CD两杆交点O为矩心，将FNED在其作用线上的D点处分解为水平和竖向两个分力，水平分力FxEF通过O点可由比例关系求得FNED结论：可证简支桁架，竖直向下荷载作用下弦杆受拉力，上弦杆受压力——对应梁，受竖直向下荷载的下、上边缘§5-3截面法（2）投影法取II-II截面左侧部分为隔离体，如图d。括号内值为相应简支梁DG段的剪力，故此法有时也称剪力法。§5-3截面法2m×6=12m1m2mP例:【解】：先找出零杆，将它们去掉123取ⅠⅠⅠ-Ⅰ截面以左为隔离体N1N2N3X2Y2X3Y32m1mP/22m4mCD∑MD=3N1+P/2×6=0得N1=－P∑MC=2X3－P/2×2=0得X3=P/2

∴N3=X3/4×4.12=0.52P∑X=N1+X2+X3=0∴X2=P/2∴N2=5X2/4=5P/8

§5-3截面法取I-I截面左侧部分为隔离体由可求得FNa取I-I截面上侧部分为隔离体由可求得FNb截面法：①所截杆件一般不超过三根——三个独立平衡方程可解②截面多于三个未知力，其中除一根外，其余均交于一点、或平行

——可解此杆§5-3截面法aⅠⅠB3d3dAEBCYaXaP35-=YNaa25=32PYa-=dYdPMaA032=×+×=åACEPNaPP联合桁架取I-I截面左（右）侧部分为隔离体，求出DE杆的内力，再分析各简单桁架。计算图a所示桁架，截断两个铰结三角形之间的联系，取隔离体如图b。§5-3截面法§5-3截面法如图示结构取Ⅰ-Ⅰ界面以内为隔离体，Ⅰ

ⅠN1N2N3对其中两个力的交点取矩可求出另一个力，在这里可得三力全为零。本题也直接可用力学概念判定三杆轴力为零。或由里面的小三角形为附属部分，不受外力。其内力为零。由三力平衡汇交定理知，该三力不相交而使物体平衡，它们必为零。§5-4截面法和结点法的联合应用单独使用结点法或截面法有时并不简洁。为了寻找有效的解题途径，必须不拘先后地应用结点法和截面法,但是要注意：①选择合适的出发点，即从哪里计算最易达到计算目标；②选择合适的截面，即巧取分离体，使出现的未知力较少；③选用合适的平衡方程，即巧取矩心和投影轴，并注意列方程的先后顺序，力求使每个方程中只含一个未知力。§5-4截面法和结点法的联合应用例5-1试求图a所示K式桁架中a、b杆的内力。解：算法一作截面I-I，取其左侧为隔离体。由结点K由∑MC=0可求得FNb。算法二：作截面II-II，取其左侧为隔离体。§5-4截面法和结点法的联合应用例5-2试求图示桁架HC杆的内力。解：取截面I-I左侧部分为隔离体，由由结点E的平衡：FNEC=FNED=112.5kN将FNHC在C点分解为水平和竖向分力取截面II-II右侧部分为隔离体，由例：求

a、b杆轴力NNNNNβNaNDEF解：1、由内部X形结点知：位于同一斜线上的腹杆内力相等。

2、由周边上的K形结点知各腹杆内力值相等，但正负号交替变化。所有右上斜杆同号（设为N），所有右下斜杆同号（设为－N）。3、取图示隔离体：P2d2ddddabEFD4、取DEF为隔离体5、取隔离体如图NbNaNNNN1、弦杆2P1245∑M2=N1×6+（2P－P/2）×4=0N1=－P∑M5=N4×6－（2P－P/2）×4=0N4=PN1=－PN4=PP/2P2P2PN3N1N2N4ⅠⅠP/2P/2PPP4m4m4m4m3m3m12654123456ⅡⅡN1N5N6N42、斜杆∵结点6为K型结点。∴N6=－N5再由∑Y=0得：Y5－Y6+2P－P－P/2=0∴Y6=P/4∴N6=－N5=5P/12P/2P12652P3、竖杆取结点7为隔离体。由于对称：N3=N537由∑Y=0得：Y5+Y3+P+N2=0∴N2=－P/2PNN1N5N3N22P2P2P2P2P2P2P2P例：求指定杆的轴力。先求出反力。2Plll2l2llabAB例：求图示桁架指定杆轴力。解：①整体平衡得：5P/3P/3Na5P/3x②1-1截面以上P/3Ncxc②2-2截面以下1122x③3-3截面以右P/3NaNbNc33例：求图示桁架指定杆轴力。解：①找出零杆如图示；000000②D点11③1-1以左4×4m2×3m5m12ACDBPPEFCPNCE22PN1④2-2以下§5-5常用梁式桁架的比较平行弦桁架抛物线形桁架对三种常用的简支梁式桁架，将均布荷载用等效结点荷载代替，且各结点荷载F=1时，弦杆的内力计算公式M0：相应简支梁与矩心对应的点的弯矩；r

：内力对矩心的力臂。

1）平行弦桁架中，弦杆的力臂是一常数，故弦杆内力与弯矩的变化规律相同；腹杆内力可根据投影法，竖杆内力与斜杆内力的竖向分量各等于相应简支梁上对应节间的剪力，故它们的大小分别由两端向中间递减；

2）抛物线形桁架，各下弦杆内力及各上弦杆的水平分力对其矩心的力臂，即为各竖杆长度。故各下弦杆内力与各上弦杆水平力分量相等。由截面法可知各斜杆内力均为零，故各竖杆内力相等，均等于相应下弦结点荷载。§5-5常用梁式桁架的比较三角形桁架结论（1）平行弦桁架内力分布不均匀，弦杆内力向跨中递增；（2）抛物线形桁架内力分布均匀，材料使用上最为经济；（3）三角形桁架内力分布不均匀，弦杆内力在两端最大，端点结点处夹角甚小，适合屋顶构造需要。几类简支桁架的共同特点是：上弦受压，下弦受拉，竖杆、斜杆内力符号相反。

3）三角形桁架，弦杆所对应力臂由两端向中间按直线变化递增，其增加速度比弯矩的增加来得快，因而弦杆的内力由两端向中间递减；由结点法可知，各竖杆及斜杆的内力都是由两端向中间递增的。§5-6组合结构的计算组合结构：链杆和受弯杆件组成的结构。常用于房屋中的屋架吊车梁桥梁的承重结构下撑式五角形屋架计算组合结构时应注意：①注意区分链杆（只受轴力）和梁式杆（受轴力、剪力和弯矩）；②前面关于桁架结点的一些特性对有梁式杆的结点不再适用；③一般先计算反力和链杆的轴力，然后计算梁式杆的内力；④取分离体时，尽量不截断梁式杆。角钢钢筋混凝土

§5-6组合结构的计算链杆是两端是铰、中间不受力、也无连结的直杆。梁式杆NAB=NCD=0（）ABC2P/3DP①N1=N2=0②N1=－N2③N1≠N2

④N1=N2≠0PP12对称结构受对称荷载作用×√×AC§5-6组合结构的计算例5-3试分析图a所示组合结构的内力。解：整体平衡求支座反力FBVFAHFAVFCVFCHFNDE作截面I-I拆开铰C和截断杆件DE，取隔离体如图b。由∑MC=0可求得FNDE。由结点D、E

的平衡，可求得各链杆的内力，进而绘出受弯杆件弯矩图。§5-6组合结构的计算图a所示为静定拱式组合结构。拱和梁两部分总的竖向反力等于相应简支梁（图b）的竖向反力。由链杆拱上每一结点的平衡条件∑Fx=0，每一杆件的水平分力=拱的水平推力FH取I-I截面左（右）侧为隔离体，被截杆的内力在C’点沿水平和竖向分解，由∑MC=0链杆拱及加劲梁的竖向反力为3.5+§5-6组合结构的计算②求链杆的内力↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=1kN/mADFC6kNNDE③截面的剪力和轴力:Q=Ycosa－15sinaN=－Ysina

－15cosa

其中Y为截面以左所有竖向力的合力。sina=0.084，cosa=0.996↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=1kN/m3m3m3m3mf1=0.5mf2=0.7m

f=1.2mADFCE6kN6kN1515-3.515.4解：①求反力15153.515.43.5152.5④作内力图αkN17.15-=996.015084.0×-×NFC)35.35.2(-+-=kN74.1=084.015996.0×-×QFC)35.35.2(-+=0.750.75M图(kN.m)1.241.741.751.25+－－+Q图(kN)－－15.1314.9715.1714.92N图(kN)§5-6组合结构的计算讨论:影响屋架内力图的主要原因有两个:①高跨比f/l高跨比越小轴力

NDE=MC0/f越大屋架轴力也越大。f1=0.5mf2=0.7m

f=1.2mADFCE0.750.750.75-15.0815-3.515.4

f1=0.5m，f2=0.7mDE

f=1.2m-6-1516.1615f1=0，f2=1.2m4.5DEC4.5150-15.88

f=1.2mf1=1.2m，f2=0DEC②f1与f2的关系当高度f

确定，内力