Ch3.4(角动量定理和角动量守恒定律)

复习：上一节的内容动量定理及动量守恒定律

1.动量定理2.动量守恒定律§3.4

冲量矩角动量定理和角动量守恒定律我们引入了描述物体运动状态的量——动量。本节引入新的状态量——角动量

为什么地球受太阳的引力而不会落到太阳上去？地球为什么能以一定的角速度运转?

引入角动量是为了研究转动，但角动量本身不限于转动，运动的质点也有角动量。在粒子物理中角动量具有更重要的意义，角动量守恒定律的应用比经典物理中还广泛。

本节讨论质点、质点系的角动量，介绍外界作用量——冲量矩（角冲量），建立角动量原理和角动量守恒定律。（一）质点的角动量对O点的径矢为，则它对O点的角动量(动量矩)为

1.定义：某一质点，动量注意：（1）大小：方向：用右手螺旋定则确定。（2）相对性①对不同的参考系，矢径不同，动量不同，角动量也不同。②参考点不同，矢径不同，角动量也不同。一、角动量3.

当θ＝0，π时，L=0；θ＝π/2，L最大。4.

把P分解成径向分量Pcosθ和横向分量Psinθ。

则只有横向分量对L有贡献。5.

L的直角分量式6.SI中单位：kg·m2/s。（二）作圆周运动质点的角动量质点m绕圆心O作半径为r的圆周运动，故质点对圆心

O的角动量（三）作直线运动的质点的角动量③

若不变，则：

，即匀速直线运动的质点对同一参考点的角动量守恒。④

当的方向正好指向或背离参考点时，质点的角动量为零。讨论：②

对不同参考点的角动量一般不同。①

作直线运动的质点，和可能逐点变化，但保持不变。解：解：质点相对原点的角动量[例题2]如图，一个质量为m的质点以恒定的速度沿着一条直线运动。该直线到原点的垂直距离为b，求该质点对原点的角动量。[例题1]地球绕太阳的运动可以近似看作匀速圆周运动，求地球对太阳的角动量的大小。（四）质点系的角动量设有

n

个质点，各个质点对同一参考点的角动量之和二、质点的角动量原理引入力矩：（一）力矩及其计算1)大小：M=rFsinθ

方向：由右手螺旋定则确定。3)

在直角坐标系中：单位：牛·米（N·m）为合外力F

对参考点O的矢径r的力矩表示为：2)相对性：依赖于O点的选取。rsin

为“力臂”。3)作用于质点上所有力矩的矢量和，等于合力的力矩。力矩满足叠加原理——质点的角动量原理即：质点所受的合外力矩等于它的角动量的变化率。（力矩和角动量是对惯性系中同一参考点而言的）积分关系此即为角动量原理：质点角动量的增量等于质点受到的角冲量。（二）质点的角动量原理（三）质点的角动量守恒定律角动量守恒定律

—若对某一参考点，质点所受的合外力矩为零，则此质点对该参考点的角动量将保持不变。

即有心力作用的质点相对力心的角动量守恒。例：①行星对太阳的角动量守恒（忽略行星之间作用）；

②氢原子中电子对原子核的角动量守恒。讨论：条件：结论：

[例题1]质量为m、线长为l的单摆，可绕点O在竖直平面内摆动，初始时刻摆线被拉至水平，然后自由放下，求：①摆线与水平线成θ角时，摆球所受到的力矩及摆球对点O的角动量；②摆球到达点B时，角速度的大小。解：受力：重力；张力。重力对O点的力矩为M=mglcosθ，力矩的方向垂直于屏幕向里，大小随θ变化。由角动量原理作变换瞬时角动量L=ml2ωθABlmO

[例题2]利用角动量守恒定律证明开普勒第二定律：行星相对太阳的径矢在单位时间内扫过的面积(面积速率)是常量。

解：如图，行星在太阳引力作用下沿椭圆轨道运动，Δt时间内行星径矢扫过的面积面积速率：★★

开普勒定律大师思路

天文学先于物理学。物理学的发端始于揭开行星运行之谜。开普勒定律和万有引力定律的发现，堪称一部揭示物理学规律简洁美、普适美的壮丽史诗。约公元150年，古希腊的托勒密（C.Ptolemy）发表巨著《天文学大成》，共13卷。建立了宇宙的地心体系。他以地球为中心，确定了一年的持续时间。给出了计算日蚀和月蚀的方法，说明了进动。编制了1028个星体的星表。

一千多年后，波兰的哥白尼（N.Copernicus）(1473-1543)大胆摈弃了统治了1000多年的托勒密的地心说，革命性地创建了日心说。根据简单的天体绕太阳的转动和地球的自转规律推导出行星的表观运动。他写出了伟大的著作《天体运行论》，直到1543年，在他临终前才得以问世。哥白尼的思想把科学从神学和经验哲学中解放出来，是自然科学的一次伟大的革命。1616年，他的著作被罗马教廷列为“禁书”。为宣传和发展他的思想，意大利的布鲁诺（G.Bruno）(1548-1600)被宗教裁判所活活烧死。

1632年，意大利的伽利略（G.Galileo）发表名著《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》，继续捍卫和发展哥白尼的学说，受到罗马教会的迫害，被软禁。

人们把这段历史，豪迈地形容为：

“哥白尼拦住了太阳，推动了地球”。

丹麦的天文学家第谷（B.Tycho）认为地球太笨重了，不可能绕太阳运转。但是，他二十年如一日，精确测定了行星的位置，绘制了上千颗恒星的星图。

第谷的学生开普勒

(J.Keplker

德国，1571-1630)，善于理论研究。在第谷死后，开普勒全力以赴整理第谷的观测数据，发现哥白尼的行星运行的圆形轨道有问题，与第谷的数据不合。他放弃了“匀速圆周运动”这个一向为人们所钟爱的古老的完美观念。他着手用各种卵形线去拟合行星轨道，经过大量的仔细计算后，终于成功地发现了他最重要的成果：行星的轨道是椭圆形的，太阳位于其一焦点上。经过长年深入的思考和艰苦的计算，他终于完成了行星运动三定律。★★

开普勒（J.Kepler1571-1630）行星运动三定律第一定律（轨道定律）（1609年）

——行星沿椭圆轨道运行，太阳位于椭圆的一个焦点上。第二定律（面积速度定律）（1609年）

——行星相对太阳的径矢在单位时间内扫过的面积是常量。第三定律（周期定律）（1619年）

——行星绕太阳运动的周期的平方与轨道椭圆半长轴的立方成正比。

开普勒第一、二定律发表在他的著作《新天文学》（1609年版）中，第三定律发表在《宇宙和谐论》（1619年版）中。在《宇宙和谐论》中，他描述了宇宙交响曲。认为宇宙是建立在美学基础上的，宇宙是最和谐、最完美的。他还写出《哥白尼天文学概要》、《宇宙的神秘》、《论彗星》、《稀奇的1631年天象》、《鲁道夫星表》、《折光学》、《天文光学》等等大量科学著作。他还写了一本科幻小说《一个梦——月球的天文学》于1634年在他死后出版。他的著作全集1-18卷，于1937-1969年在慕尼黑出版。

开普勒对光学有很大贡献。制成由两个双凸透镜组成的望远镜——开普勒望远镜。建立了几何成象理论，表述了照度与至光源距离的平方成反比的定律。还表述了近似的折射定律和全反射现象，给出了透镜公式和视觉条件。开普勒当时已具有了“引力”的思想，认为海洋的潮汐来源于月球的作用。他还提出“力”是“加速度”的原因。在开普勒三定律的基础上，牛顿发现了“万有引力定律”。

前沿思考

太阳系是否有第十大行星？（1）水星（Mercury）传信神（掌管商业、道路、通讯）（2）金星（Venus）爱和美的女神（维纳斯）（3）地球（Earth）（4）火星（Mars）战神（5）木星（Jupiter）主神（6）土星（Saturn）农神（7）天王星（Uranus）天神、天王（1781年W.Herschel发现）（8）海王星（Neptune）海神（1846年Adams和LeVerrier计算出新星轨道参数,柏林天文台C.Galle发现）（9）冥王星（Pluto）阴间神、冥王（1930年W.Tambaugh

计算并发现）1.一对作用力与反作用力的力矩之和（一）质点系的角动量原理方向⊙

三、质点系的角动量原理和角动量守恒定律2.质点系的角动量原理推广得：

Om1m2讨论：外力矩的矢量和非合外力的力矩质点系的角动量原理：质点系所受的合外力矩等于系统总角动量的时间变化率。对比牛顿第二定律：

外力矩对时间的累积作用

=

角动量的增量积分形式角动量原理：动量原理：对比：（二）质点系的角动量守恒定律对比动量守恒定律：1.孤立系统2.在有心力的作用下，对力心有心力：力的作用线始终通过空间一固定点。注:主要有以下情况：例题：m

质点，做初r，v运动角速度随r如何变化？★★

注意：“外力矩的矢量和”与“外力的矢量和”的区别

当作用于质点系的两个外力大小相等，反向平行但不作用在同一直线上时，它们的矢量和为零，但它们力矩的矢量和不为零。r

[例题]如图,两人质量相等,位于同一高度,各由绳子一端开始爬绳,绳子与轮的质量不计,轴无摩擦.他们那个先达顶?